初三-圆-学案 无答案

圆

一、圆的知识梳理

知识点一 概念：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心、定长为半径的圆；

1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；

2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；

3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：

补充：

2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；

3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；

知识点二  确定圆的条件

1.确定圆的条件：不在_同一条直线上_的三个点确定一个圆．

2.三角形的外心：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做_三角形的外接圆_，外接圆的圆心是三角形三边的_垂直平分线_的交点，叫做三角形的_外心__．

3.三角形的内心：和三角形的三边都 相切_的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线_的交点，叫做三角形的_内心．

 补充

4. 三角形的重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍。
5. 垂心：是三角形三边高线的交点。

 知识点三  与圆有关的概念

1．连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．

2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每条弧都叫做半圆．大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．

3．顶点在圆心的角叫做圆心角．

4、顶点在圆周且两边与圆相交的角叫做圆周角。

5．圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆．能够互相重合的两个圆叫做等圆．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．

如果两条弧是等弧必须满足两个条件：（1）长度相等；（2）角度相等。

圆心角、弧、弦之间的关系（知一推二）：

    在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。

    在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。

知识点四  圆的对称性

一个圆绕圆心旋转任何角度后，都与它自身重合。

（1）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。

（2）圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。

知识点五  垂径定理及推论

     （1）垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。

     （2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

     （3）弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧。

     （4）平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦。

     （5）平行弦所夹的弧相等。

知识点六 圆周角定理

1圆周角定义：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

 圆心角定义：顶点在圆心的角角圆心角。

2圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

圆心与圆周角的位置关系，分三种情况：

(1)圆心在角的一边上；  (2)圆心在角的内部；  (3)圆心在角的外部(如图)．

3圆周角定理的推论：

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。

4. 圆内接四边形：

  圆内接四边形的对角互补。外角等于内对角。

二、典例精讲：

一、选择题：

1. （2018•山东淄博•4分）如图，⊙O的直径AB=6，若∠BAC=50°，则劣弧AC的长为（　　）

A．2π B． C． D．

2. （2018•湖北黄石•3分）如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD=30°，BO=4，则的长为（　　）

A． B． C．2π D．

3. （2018•山东滨州•3分）已知半径为5的⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=25°，则劣弧的长为（　　）

A． B． C． D．

4. （2018·浙江宁波·4分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，则的长为（　　）

A．π B．π C．π D．π

5. （2018·台湾·分）如图，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧交AC于E点，若∠A=60°，∠B=100°，BC=4，则扇形BDE的面积为何？（　　）

A． B． C． D．

6. （2018·浙江临安·3分）如图，⊙O的半径OA=6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC=（　　）

A． B． C． D．

7. （2018·山东威海·3分）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，点C为的中点，若∠ABC=30°，则弦AB的长为（　　）

A． B．5 C． D．5

8.（2018·浙江衢州·3分）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（　　）

A．3cm　　　　　　B． cm　　　　　　C．2.5cm　　　　　　D． cm

9. （2018·山东青岛·3分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC=140°，点B是的中点，则∠D的度数是（　　）

A．70° B．55° C．35.5° D．35°

10. （2018·湖北省宜昌·3分）如图，直线AB是⊙O的切线，C为切点，OD∥AB交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OC，EC，ED，则∠CED的度数为（　　）

A．30° B．35° C．40° D．45°

二、填空题：

11. （2018·新疆生产建设兵团·5分）如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为2，则图中阴影部的面积是　　．

12. （2018•江苏扬州•3分）用半径为10cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为　　cm．

13. （2018·山东青岛·3分）如图，Rt△ABC，∠B=90°，∠C=30°，O为AC上一点，OA=2，以O为圆心，以OA为半径的圆与CB相切于点E，与AB相交于点F，连接OE、OF，则图中阴影部分的面积是    　．

14. （2018·广东·3分）同圆中，已知弧AB所对的圆心角是100°，则弧AB所对的圆周角是　  　．

15. 如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=　80°　．

16. 如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中B点坐标为（4，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标为　   　．

三、解答与计算题：

17. （2018•湖州）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．

（1）求证：AE=ED；

（2）若AB=10，∠CBD=36°，求的长．

18. （2017内蒙古赤峰）如图，点A是直线AM与⊙O的交点，点B在⊙O上，BD⊥AM垂足为D，BD与⊙O交于点C，OC平分∠AOB，∠B=60°．

（1）求证：AM是⊙O的切线；

（2）若DC=2，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．

19. 如图，AB和CD分别是⊙O上的两条弦，过点O分别作ON⊥CD于点N，OM⊥AB于点M，若ON=AB，证明：OM=CD．

【考点】垂径定理；全等三角形的判定与性质．

【专题】证明题．

20. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DE⊥AC，垂足为点E．求证：（1）△ABC是等边三角形；

（2）．

三、课堂作业：

一、选择题：

1. 如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则∠AOB的度数是(　　)

A．72°       B．60°     C．54°     D．36°

2. （2017山东滨州）若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（　　）

A． B．2 C． D．1

3. 若AB是⊙O内接正五边形的一边，AC是⊙O内接正六边形的一边，则∠BAC等于(　　)

A． 120°    B． 6°    C． 114°    D． 114°或6°

4. （2017湖南株洲）下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（　　）

A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形

5. （2017·资阳）边长相等的正五边形和正六边形如图24－3－4所示拼接在一起，则∠ABC为（    ）°.

A．    24°    B． 12°    C． 45°    D．30°

6. （2018年四川省内江市）已知⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，圆心距O1O2=4cm，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（　　）

A．外高 B．外切 C．相交 D．内切

7. （2018·山东泰安·3分）如图，BM与⊙O相切于点B，若∠MBA=140°，则∠ACB的度数为（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°

8. （2018·江苏常州·2分）如图，AB是⊙O的直径，MN是⊙O的切线，切点为N，如果∠MNB=52°，则∠NOA的度数为（　　）

A．76° B．56° C．54° D．52°

9. （2018·重庆市B卷）（4.00分）如图，△ABC中，∠A=30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD=2，则线段CD的长是（　　）

A．2 B． C． D．

10. （2018·重庆市B卷）（4.00分）如图，△ABC中，∠A=30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD=2，则线段CD的长是（　　）

A．2 B． C． D．

二、填空题：

11. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为　   ．

12. （2017毕节）正六边形的边长为8cm，则它的面积为　   　cm2．

13. （2017•玉林）如图，在边长为2的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形ABCD，则四边形ABCD的周长是　  ．

14.（2018·浙江省台州·5分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D．若∠A=32°，则∠D=　   　度．

15. （2018·山东威海·3分）如图，在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是△ACD的内切圆，连接AE，BE，则∠AEB的度数为　   　．

16. （2017浙江衢州）如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（﹣1，0），半径为1，点P为直线y=﹣x+3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是   　．

三、解答与计算题：

17. 如图，在正五边形ABCDE中，点F，G分别是BC，CD的中点．

求证：△ABF≌△BCG.

18. 如图所示，已知△ABC是⊙O的内接等腰三角形，顶角∠BAC＝36°，弦BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB.求证：五边形AEBCD是正五边形．

19. （2018·山东潍坊·8分）如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE=∠C．

（1）求证：AE与⊙O相切于点A；

（2）若AE∥BC，BC=2，AC=2，求AD的长．

20. （2018·湖北省武汉· 8分）如图，PA是⊙O的切线，A是切点，AC是直径，AB是弦，连接PB、PC，PC交AB于点E，且PA=PB．

（1）求证：PB是⊙O的切线；

（2）若∠APC=3∠BPC，求的值．

21. （2017•温州）如图，过抛物线y=x2﹣2x上一点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，交y轴于点C，已知点A的横坐标为﹣2．

（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；

（2）在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D；

①连结BD，求BD的最小值；

②当点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方时，求直线PD的函数表达式．

四、课后总结