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三角函数5综合应用学案-无答案

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这是一份三角函数5综合应用学案-无答案，共14页。学案主要包含了知识梳理，基础知识点，典例精讲，巩固练习，拓展提升，课后总结等内容，欢迎下载使用。

三角函数综合应用

一、教学目的

1、使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．

2、通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角比解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力

二、知识梳理

一、基础知识点：

1、在RtΔABC中,设∠C=900，∠α为RtΔABC的一个锐角，则

∠α的正弦，

∠α的余弦，

∠α的正切，

∠α的余切

2、一般地，在Rt△ABC中, 当∠C=90°时，

sinA=cosB， cosA=sinB， tanA =cotB

tanA·tanB=1 0＜sina＜1，0＜cosa＜1.

注意：定义中应该注意的几个问题:

1、sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).

2、sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号,表示∠A的正切,习惯省去“∠”号.

3、sinA,cosA,tanA,是一个比值.注意比的顺序,且sinA,cosA,tanA,均﹥0,无单位.

4、sinA,cosA,tanA, 的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.

5、角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.

3、30°、45°、60°角的三角函数值

三角函数角	sinα	coα	tanα
30°
45°			1
60°

注意：sinα，tanα随着锐角α的增大而增大；

cosα, cotα随着锐角α的增大而减小．

二、锐角三角比的常见应用：

1、直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间的等量关系

．直角三角形的边角关系

在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.

(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；

(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；

(3)边角之间的关系：

sinA＝，cosA＝，tanA＝，cotA＝，sinB＝，cosB＝，tanB＝，cotB＝.

2、仰角、俯角的定义

3．方向角：指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角．如图③，表示北偏东60°方向的一个角．

注意：东北方向指北偏东45°方向，东南方向指

3、坡度相关概念

如图，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度（或坡比）.记作i,即i=.

坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.

坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a，有 i＝=tan a

显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡.

4、解题技巧：（注重直角、构造直角、方程）

三、典例精讲

【典型例题分析】

【例1】 (1)(2010·哈尔滨)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝7，则BC的长为(　　)

A．7sin35° 　B. 　C．7cos35° 　D．7tan35°

(2)(2010·黄冈)在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB＝________.(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

(3)(2010·江西)计算：sin30°·cos30°－tan30°＝________(结果保留根号)．

【例2】 (1)(2009·福州)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：

①用签字笔画AD∥BC(D为格点)，连结CD；

②线段CD的长为________；

③请你在△ACD的三个内角中任选一个锐角，若你所选的锐角是________，则它所对应的正弦函数值是________．

④若E为BC中点，则tan∠CAE的值是________．

(2)(2009·株州)如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别在AC、AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB，AE＝6，cosA＝.

求①DE、CD的长；

②tan∠DBC的值．

【巩固练习】

1．在Rt△ABC中，各边的长都扩大了3倍，那么锐角A的正弦值(　　)

A．扩大了3倍　　　　　　　B．缩小了3倍

C．没有变化 D．不能确定

2．计算tan 60°＋2sin 45°－2cos 30°的结果是(　　)

A．2　　　B.　　　C.　　　D．1

3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，cosA＝，则AC的长是________ .

(第3题)　　　　　　(第4题)

4．如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是___.

5．如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正切值等于____.

四、巩固练习

【考点训练】

一、选择题(每小题4分，共48分)

1．(中考变式题)如图，在Rt△ABC中，∠ACB是直角，BC＝1，AB＝2，则下列结论正确的是(　　)

A．sinA＝　　　B．tanA＝ C．cosB＝　　　D．tanB＝

2．(山西)在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值(　　)

A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．不变

3．(中考预测题)在Rt△ABC中，已知sinA＝，则锐角A的度数是(　　)

A．30° B．45° C．60° D．90°

4．(中考变式题)如果一个直角三角形的两条边分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值(　　)

A．只有1个　　　B．可以有2个

C．有2个以上，但有限　　　D．有无数个

5．(中考预测题)正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为(　　)

A. B. C. D．2

6．中考预测题)在△ABC中，若|sinA－|＋(－cosB)2＝0，∠A、∠B都是锐角，则∠C的度数是(　　)

A．70° B．90° C．105° D．120°

7．(中考变式题)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝40°，AB＝3，则AC的长为(　　)

A．3cos40°　　B．sin40°　　C.　　D.

8．(中考预测题)若菱形的边长为1 cm，其中一个内角为60°，则它的面积为(　　)

A．2 cm2 B. cm2 C.cm2 D．2 cm2

9．(中考变式题)如图，在△ABC中，∠A＝30°，tanB＝，AC＝2，则AB的长是(　　)

A．3＋　　　B．2＋2 C．5 　　　 D.

10．(中考预测题)如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE＝α，且cos α＝，AB＝4，则AD的长为(　　)

A．3 B. C. D.

11.(中考预测题 )如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连结CD.若⊙O的半径r＝，AC＝2，则cosB的值是(　　)

A. 　　　　　　B.

C. 　　　　　　D.

12.(中考预测题)如图，∠AOB＝30°，OP平分∠AOB，PC∥OB，PD⊥DB，如果PC＝6，那么PD等于(　　)

A．4 B．3 C．2 D．1

二、填空题(每小题4分，共24分)

13．(烟台)－2sin60°＋(π－1)0＝________.

14．(广东)如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD＝4，cosB＝，则AC＝________.

15．(·荆州)如图，在△ABC中，∠B＝45°，cosC＝，AC＝5a，则△ABC的面积用含a的式子表示是________．

16．(襄樊)在△ABC中，AB＝8，∠ABC＝30°，AC＝5，则BC＝________.

17.(中考预测题)如图，在△ABC中∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝4，那么AD＝________.

18．(湛江)因为cos30°＝，cos210°＝－，所以cos210°＝cos(180°＋30°)＝－cos30°＝－；因为cos45°＝，cos225°＝－，所以cos225°＝cos(180°＋45°)＝－cos45°＝－；猜想：一般地，当α为锐角时，有cos(180°＋α)＝－cosα.由此可知cos240°的值等于________．

三、解答题(共28分)

19．(12分)(中考变式题)

(1)sin60°－3tan30°＋2cos45°；

(2)cos60°＋sin45°＋tan30°·cos30°；

(3)sin60°·cos60°＋sin45°·cos45°－sin30°·cos30°；

(4)已知tanA＝3.207 8，利用计算器求锐角A.(精确到1′)

20．(8分)(中考预测题)请你画出一个以BC为底边的等腰△ABC，使底边上的高AD＝BC.

(1)求tanB和 sinB的值；

(2)在你所画的等腰三角形△ABC中，假设底边BC＝5米，求腰上的高BE.

五、拓展提升

（1）如图，已知一商场自动扶梯的长l为10米，该自动扶梯到达的高度h为6米，自动扶梯与地面所成的角为θ，则tanθ的值等于(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

(2)(湖州)河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比是1∶(坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比)，则AC的长是(　　)

A．5米 B．10米 C．15米 D．10米

(3)(深圳)如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔40海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为________海里(结果保留根号)．

【例2】 (长沙)为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌(如图)．已知立杆AB高度是3 m，从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°.求路况显示牌BC的高度．

【巩固练习】

1．某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角(梯子与地面的夹角)不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为(　　)

A．8米　　B．8米　　C.米　　D.米

2．如图，在平地上种植树木时，要求株距(相邻两树间的水平距离)为4 m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4 m，那么相邻两树间的坡面距离为(　　)

A．5 m B．6 m C．7 m D．8 m

3．AC是电线杆AB的一根拉线，测得BC＝6米，∠ACB＝52°，则拉线AC的长为(　　)

A.米　　　　B.米

C．6cos 52°米　　　D.米

4．如图，有一段斜坡BC长为10米，坡角∠CBD＝12°，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为5°.

(1)求坡高CD；

(2)求斜坡新起点A与原起点B的距离(精确到0.1米)．

(中考变式题)如图，小东用长为3.2 m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8 m、与旗杆相距22 m，则旗杆的高为(　　)

A．12 m　　　B．10 m　　　C．8 m　　　D．7 m

2．(中考变式题)如图，在离地面高度5 m处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，则拉线AC的长为(　　)

A．5tan60° m B. m

C. m D. m

3．(中考变式题)如图，小明要测量河内小岛B到河边公路l的距离，在A点测得∠BAD＝30°，在C点测得∠BCD＝60°，又测得AC＝50 m，则小岛B到公路l的距离为________m

A．25 B．25

C. D．25＋25

4．(中考预测题)如图，从山顶A望地面C、D两点，测得它们的俯角分别为45°和30°，已知CD＝100 m，点C在BD上，则山高AB为(　　)

A．100 m B．50 m

C．50 m D．50(＋1)m

5．(中考变式题)某人沿着坡度i＝1∶1的山坡走了500米，这时他的垂直高度上升了(　　)

A．500米 B．500米 C．250米 D．250米

6．(中考变式题)如图，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为2∶3，顶宽为3米，路基高为4米，则路基的下底宽是(　　)

A．15米 B．12米 C．9米 D．7米

7．(中考预测题)如图，在高楼前D点测得楼顶的仰角为30°，向高楼前进60米到C点，又测得仰角为60°，则该高楼的高度大约为(　　)

A．82米 B．163米 C．52米 D．70米

8．(中考变式题)如图，在高为h的建筑物顶部看一个旗杆顶(旗杆高出建筑物顶)，仰角为30°，看旗杆与地面的接触点，俯角为60°，则旗杆的高为(　　)

A.h B.h C.h D.h

9．(中考变式题)如图，在高为2 m，倾斜角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要(　　)

A．[2＋(＋1)] m 　　　　　　B．4 m

C．2(＋1) m 　　　　　　 D．2(＋3) m

10．(中考变式题)如图，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD＝8米，BC＝20米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为(　　)

A．9米 B．28米

C．(7＋)米 D．(14＋2)米

二、填空题(每小题4分，共20分)

11．(宁波)如图，某河道要建造一座公路桥，要求桥面离地面高度AC为3米，引桥的坡角∠ABC为15°，则引桥的水平距离BC的长是________米．(精确到0.1米)

12．(中考预测题)某梯子与地面所成的角α满足45°≤α≤60°时，人就可以安全地爬上斜靠在墙面上的梯子的顶端．现有一个长6米的梯子，则使用这个梯子最高可以安全地爬上________米高的墙．

13．(·义乌)课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB在地面上的投影BC长为24米，则旗杆AB的高度约是________米．(结果保留3个有效数字，≈1.732)

14．(中考变式题)如图，某景区要修建一段登山阶梯AB，每个台阶的高度不能超过20厘米，已知AB＝15米，∠BAC＝30°，这段阶梯最少要修建________个台阶．

15．(中考预测题)如图是一台起重机的示意图，它的机身AM高为20.5米，吊杠AB的长是36.7米，吊杠与水平方向的倾角可以从30°转到80°，则这台起重机工作的最大高度为________米，最远水平距离是________米．(精确到0.1米)

三、解答题(共40分)

16．(12分)(陕西)在一次测量活动中，同学们要测量某公园湖的码头A与它正东方向的亭子B之间的距离，如图，他们选择了与码头A、亭子B在同一水平面上的点P，在点P处测得码头A位于点P北偏西30°方向，亭子B位于点P北偏东43°方向；又测得点P与码头A之间的距离为200米，请你运用以上测得的数据求出码头A与亭子B之间的距离．(结果精确到1米．参考数据：≈1.732，tan43°≈0.933)