三角函数2正弦、余弦学案-无答案

正弦、余弦

一、教学目的

1、能够根据直角三角形的边角关系进行计算；

2、能用三角函数的知识根据三角形中已知的边和角求出未知的边和角。

3、理解并掌握正弦、余弦的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值。

4、能用函数的观点理解正弦、余弦和正切。

二、知识梳理

一、情景创设

问题1：如图，小明沿着某斜坡向上行走了13m后，他的相对

位置升高了5m，如果他沿着该斜坡行走了20m，

那么他的相对位置升高了_________m，行走了_________m。

问题2：在上述问题中，他在水平方向又分别前进了_________m，_________m。

二、探索活动

1、思考：从上面的两个问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值__________；它的邻边与斜边的比值___________。

（根据是______________________________________。）

2、正弦的定义：

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角∠A的对边a

与斜边c的比叫做∠A的______，记作________。

即：sinA＝________=________.

3、余弦的定义

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角∠A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的______，记作=_________。即：cosA=______=_____。

（你能写出∠B的正弦、余弦的表达式吗？）试试看.

___________________________________________________.

4、小试牛刀

根据如图中条件，分别求出下列直角三角形中锐角的正弦、余弦值。

5、思考与探索

怎样计算任意一个锐角的正弦值和余弦值呢？

（1）如图，当小明沿着15°的斜坡行走了1个单位

长度到P点时，他的位置在竖直方向升高了约

______个单位长度，在水平方向前进了约______

个单位长度。

根据正弦、余弦的定义，可以知道：

sin15°＝0.26，cos15°＝0.97

（2）你能根据图形求出sin30°、cos30°吗？

sin75°、cos75°呢？

sin30°＝_____，cos30°＝_____.

sin75°＝_____，cos75°＝_____.

（3）利用计算器我们可以更快、更精确地求得各个锐角的正弦值和余弦值。

（4）观察与思考：

从sin15°，sin30°，sin75°的值，你们得到什么结论？

____________________________________________________________。

从cos15°，cos30°，cos75°的值，你们得到什么结论？

____________________________________________________________。

当锐角α越来越大时，它的正弦值是怎样变化的？余弦值又是怎样变化的？

____________________________________________________________。

6、锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的__________。

总结

1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=12,BC=5.则sinA＝_____，cosA=_____，tanA＝_____；sinB＝_____，cosB=_____，tanB＝_____.

2、比较上述中，sinA与cosB，cosA与sinB，tanA与tanB的表达式，你有什么发现？________________________________________________________________。             

3、练习：

①如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10,sinA=，则BC=_____。

②在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=10,sinB=,则AC=_____。

③如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=15,sinC=，则AB=_____。

④在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，AC=12，则AB=_____,BC=_____。

二、典例精讲

基础积累1：

1．在Rt△ABC中,∠C＝90°, AC＝7．AB＝25．则sinA＝_____  cosB＝_______tanB＝_______．

2．在Rt△ABC中,∠C＝90°,BC＝3,sinA＝0．6,则AC＝______AB＝________

tanB＝__________．

3． 在Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝2,cosA＝0．8,则BC＝______ cosB＝______ tanA＝_____．

4．在Rt△ABC中，锐角A的对边和邻边同时扩大100倍，sinA的值（    ）

A．扩大100倍   　 B．缩小100倍   　　C．不变  　　  D．不能确定

5．已知∠A,∠B为锐角

(1)若∠A＝∠B，则sinA    sinB；

(2)若∠A<∠B，则sinA    sinB；cosA    cosB；tanA    tanB

6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝10，cosA＝，求：AB、sinB

7． 如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝20， sinA＝, 求△ABC的周长．

8.在Rt△ABC中,∠C＝90°, cosA＝，BC＝12,求斜边AB上的中线CD长.

基础积累1：

1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，

则sinA＝_____，cosA＝_____，sinB＝_____，cosB＝_____。

2、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝，则sinA＝_____，cosB=_______,cosA=________,sinB=_______.

3、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9a，AC＝12a，

AB＝15a，tanB=________,cosB=______,sinB=_______。

4、已知在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，且a：b：c＝5：12：13，试求最小角的三角函数值。

5、设∠A是一个锐角，试猜想sinA与cos（90°-A）的值之间有什么关系？

课堂小练1

1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,BC=6,AC=8,则sinA=_____,cosA=_____,tanA=_____。

2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,BC=2,AC=4,则sinB=_____,cosB=_____,tanB=_____。

3、在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=2BC,则sinC=_____。

4、（09齐齐哈尔市）如图，是的外接圆，是的直径，若的半径为，，则=_______。

5、在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大3倍，则锐角A的各个三角函数值    （　　）

A、不变化　 B、扩大3倍 　C、缩小　 D、缩小3倍

6、根据图示填空

（1）     （2）

（3）

（4）

7、若0°＜α＜90°，则下列说法不正确的是                          （　　）

A、sinα随α的增大而增大   　B、cosα随α的增大而减小

C、tanα随α的增大而增大   　D、sinα、cosα、tanα的值都随α的增大而增大

8、在Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°。求（1）cosA；（2）当AB＝4时，求BC的长。

9、在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，AB＝10，求BC和cosB。

课堂小练2

1．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝，，则的长是（    ）

A．  B．  C．  D．

2．（ 山东东营）如图，为了测量河两岸A、B两点的距离，在与AB垂直的方向点C处测得AC＝a，∠ACB＝α，那么AB等于（    ）

A．a·sinα　　   B．a·tanα     C．a·cosα    D．

3．在Rt△ABC中，∠C＝900，∠A、∠B的对边分别是、，且满足，则tanA等于（    ）

4．以直角坐标系的原点O为圆心，以1为半径作圆.若点P是该圆上第一象限内的一点，且OP与x轴正方向组成的角为α，则点P的坐标为                                          (    )

   A．(cosα,1)    B．(1,sinα)     C．(sinα,cosα)     D．(cosα,sinα)

5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连结BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是          (    )

A、4cm      B、6cm     C、8cm      D、10cm

二、填空题（每题5分，共25分）

6．在Rt△ABC中，∠ACB＝900，SinB＝则cosB      ．

7．某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为_________米．

8．在Rt△ABC 中， ∠C＝90，AB＝4，AC＝1，则的值是_______．

9．已知α是锐角，sinα＝ a+2，则a的取值范围是                    

10．一等腰三角形的两边长分别为4cm和6cm，则其底角的余弦值为________．

三、解答题（每题10分，共50分）

11．平行四边形ABCD中，AB＝4cm, BC＝6cm，它们的夹角为600，求AC长．

12．在△ABC中，∠C＝90°，D是BC的中点，且∠ADC＝50°，AD＝2，求tanB的值.（保留两个有效数字）（参考数据：sin50°≈0.76，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

13．已知正方形ABCD中，CE＝3DE，AF⊥BE，求sin∠BAF．

14．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝150°，AB＝5，CD＝15，求AD、BC的长．

四、巩固练习

1、(宁夏)在中，，则的值是　　　　　．

2、（年益阳市）如图，将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到△，使点与C重合，连结，则的值为              。

3、(温州)如图，△ABC中，∠C=90°，AB=8，cosA=，则AC的长是    

4、(湖州)如图，在中，，，则下列结论正确的是                                                           （    ）

A． 　　　B．　    C．　 　D．

5． (鄂州)如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥AB，AD＝CD，cos∠DCA= ，BC＝10，则AB的值是                                              （    ）

  A．3       B．6      C．8   D．9

6、（临沂）如图，AC是的直径，PA，PB是的切线，A，B为切点，AB=6，PA=5．

求：（1）的半径；（2）的值．

7、（泸州）如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作DF⊥BC， 交AB的延长线于E，垂足为F．

 （1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）当AB=5，AC=8时，求cosE的值．

五、拓展提升

1、已知α是锐角，且sinα=cos54°26，则α=____________。

2、已知α是锐角，且sin（90°-α）=sinα，则α=____________。

3、在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，且a：b：c＝3：4：5，则sinA+sinB=_________。

4、（内蒙包头）已知在中，，则的值为（  ）

A．   B．   C．   D．

5、（清远）如图，是的直径，弦于点，

连结，若，，则=                           （  ）

A．     B．     C．    D．

6、已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，CD＝8cm，AC＝10cm，求AB，BD的长。

7、在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知cosA＝，请你求出sinA、cosB、tanA、tanB的值。

课后探究：

1、（广州）已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为65πcm2，设圆锥的母线与高的夹角为θ（如图）所示），则sinθ的值为                                    （    ）

（A）          （B）      （C）      （D）

2、（衡阳市） 如图，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足为E，，则下列结论中正确的个数为                                         （    ）

 ①DE=3cm； ②EB=1cm； ③．

 A．3个   B．2个    C．1个    D．0个

3、（济南）如图，是放置在正方形网格中的一个角，则的值是      ．

4、（白银市）如图，在△ABC中，，cosB．如果⊙O的半径为cm，且经过点B．C，那么线段AO=　　　　cm．

5、根据下列条件，求锐角A、B的正弦、余弦、正切值。

6、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=BC。求：（1）cosA；（2）当AB=4时，求BC的长。

7、等腰三角形周长为16，一边长为6，求底角的余弦值。

8、在△ABC中，∠C＝90°，cosB=，AC＝10，求△ABC的周长和斜边AB边上的高。

9.在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则sinB＝____．

10．已知α为锐角，则m＝sinα+cosα的值（      ）

 A．m＞1  B．m＝1   C．m＜1  D．m≥1

11．如图：在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为（    ）

A．  B．  C．  D．

12．方程的两根为直角三角形的两条直角边，则其最小角的余弦值为______．

13．已知锐角满足关系式，则的值为______．

14．小明从8m长的笔直滑梯自上而下滑至地面，已知滑梯的倾斜角为40°，则滑梯的高度为_________m．（精确到0.1m）

（参考数据：sin40°≈0.64,cos40°≈0.76，tan40°≈0.83）

15．如图，在 Rt∆ABC中, ∠ABC＝90º, BD⊥AC于D若AD∶CD＝4∶1，求sinA , tanA.

17．（山东荷泽）如图，在正方形ABCD中，O是CD边上一点，以O为圆心，OD为半径的半圆恰好与以B为圆心，BC为半径的扇形的弧外切，求∠OBC的正弦值．

已知的直径cm，为上的一点，

求BC长．

如图，小雅家（图中点Ｏ处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点Ａ处）在她家北偏东60度500m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是多少？

（山西）如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O一点，且∠AED＝45

   （1）试判断CD与⊙的位置关系，并说明理由；

   （2）若⊙O的半径为3cm，AE＝5cm，求∠ADE的正弦值.　　　

六、课后总结

通过本节课的学习，你有什么收获？