2022广西桂林、河池、来宾、北海、崇左市5月联考数学（文、理）试题及答案

桂林市二模数学（文科）参考答案及评分标准

一、选择题:（每小题5分，共60分）

1. D   2.D   3.A   4.A   5. B   6.C   7.C   8.D   9.B   10.A   11.C   12. B

1. 【答案】D【解析】∵集合，，

∴.故选：D.

2. 【答案】D【解析】，故选：D.
3. 【答案】A【解析】由三视图可知几何体是如下图所示的圆锥，

其中圆锥的底面圆半径为，母线长为，

几何体的表面积.故选：A.

4. 【答案】A【解析】.故选：A.
5. 【答案】B【解析】在方向投影，故选：B.
6. 【答案】C【解析】由，得，则

，所以函数的图象在点处的切线的斜率为，

故选：C

7. 【答案】C【解析】设，，中点横坐标为，则，解得：；

.故选：C.

8. 【答案】D【解析】由等比数列，解得，所以，所以，

故选：D.

9. 【答案】B【解析】对于A，内有无数条直线与平行不能得出内的所有直线与平行才能得出，故A错；对于D、C，垂直于同一平面或平行于同一条直线，不能确定的位置关系，故D、C错；对于B，垂直于同一条直线可以得出，反之当时，若垂于某条直线，则也垂于该条直线.故选：B.
10. 【答案】A【解析】，，，

所以不等式的解集为，所以所求概率为.故选：A.

11. 【答案】C【解析】当时，最大信息传递率

当时，最大信息传递率

.故选：C.

12. 【答案】B【解析】因为，所以，

因为，且，所以，

设，

又因为，所以，且，

则，，所以，

化简，得，即，即，

所以，，，

则，，即（2）（3）正确.故选：B.

二、填空题:（每小题5分，共20分）

13. 4         14.           15. 7         16.

13. 【解析】，应抽取的大型城市个数为个.故答案为：4.

14. 【解析】根据线性约束条件，画出可行域如下所示：

由，则，平移直线，由

，解得，即，当直线过点时，直线在轴上的截距最小，此时取最大值，即；故答案为：

15. 【解析】设等差数列的公差为，由题意可知，解得，，所以．故答案为：7.

16. 【解析】由双曲线方程可得渐近线方程为：,由抛物线方程可得准线方程为：.

可解得渐近线和准线的交点坐标为：,，解得：,  .故答案为：

三、解答题:（共70分）

17. 【解】依据题意得：

，，

，.

∴所求回归方程为.

当时，.

所以预测该校2023年的毕业生中，去从事大学生村官工作的人数大约为11人.

18. 【解】(1)由正弦定理得，

因为，所以，

所以，即.

因为，所以，所以.

(2)因为△的周长为，所以，

因为，所以，

所以.

所以△的面积为.

19.【解】(1)取AB的中点M，连接CM，DM，△ABC与△ABD都是等边三角形，

所以CM⊥AB，DM⊥AB，∠DMC为二面角D—AB—C的平面角，又AB=2，

∴，又，

∴，

所以，即，

∴平面ABC⊥平面ABD；

(2)取AD的中点N，连接BN，CN，

则BN⊥AD，又AD⊥BC，，

∴AD⊥平面BCN，

∴AD⊥CN，△ACD也是等边三角形，

由题可得，BC=2，

∴，

∴三棱锥D-ABC的体积为.

20.【解】（1）由已知得，所以椭圆C的方程为．

将点代入椭圆C的方程，得，解得.   

椭圆C的方程为.                                                  

（2）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，，

由消去y，得，

所以，，

.        

化简得，即.                                

所以，.                                                                      

因为直线不经过点，所以.

直线的方程为.

直线经过定点．设此定点为D.                                          

所以，

，

，得，令，

所以，

当且仅当即时取等号，即△APQ面积的最大值为．

21.【解】（1）当时，,

令得,当时，,当时，,

∴函数在上单调递增；上单调递减；

（2）[方法一]：分离参数

,设函数,

则,令，得,

在内,单调递增；

在上,单调递减；

,

又，当趋近于时，趋近于0，

所以曲线与直线有且仅有两个交点，即曲线与直线有两个交点的充分必要条件是,这即是,

所以的取值范围是.

[方法二]：构造差函数

由与直线有且仅有两个交点知，即在区间内有两个解，取对数得方程在区间内有两个解．

构造函数，求导数得．

当时，在区间内单调递增，所以，在内最多只有一个零点，不符合题意；

当时，，令得，当时，；当时，；所以，函数的递增区间为，递减区间为．

由于，

当时，有，即，由函数在内有两个零点知，所以，即．

构造函数，则，所以的递减区间为，递增区间为，所以，当且仅当时取等号，故的解为且．

所以，实数a的取值范围为．

22.【解】(1)；

；

∴直线l的方程为：；

曲线的方程为：；

(2)将代入曲线C的方程得，①，

则M、N的极径为方程①的两根，则，，均为负数，

，

，

∴直线l的斜率.

23.【解】（1）当时，，

当时，，

当时，，

则，的图象如下图所示：

可以看成向上或向下平移得到，如下图所示，

由图可知，实数的取值范围为.

（2）由（1）可知函数的最大值为，则，即，

由柯西不等式得

　　　　　　　　　　　，

故.