18第九讲 分数计算、速算和巧算练习题

这是一份18第九讲 分数计算、速算和巧算练习题，共5页。试卷主要包含了 公式法， 图解法， 裂项法， 分组法， 代数法， 计算等内容，欢迎下载使用。

知识要点与学法指导：
分数计算的常用技法有：
1. 公式法：直接运用一些公式来计算，如运用等差数列求和公式等。
2. 图解法：将算式或算式中的某些部分的意思，用图表示出来，从而找出简便的方法。
3. 裂项法：在计算分数加、减法时，先将其中的一些分数作适当的拆分，使得其中一部分分数可以互相抵消，从而使计算简化。
4. 分组法：运用运算定律，将原式重新分组组合，把能凑整或能约分化简的部分结合在一起简算。
5. 代数法：将算式中的某些部分用字母代替并化简，然后再计算出结果。
例1 计算： EQ \F(1,2) ＋ EQ \F(1,4) ＋ EQ \F(1,8) ＋ EQ \F(1,16) ＋ EQ \F(1,32) ＋ EQ \F(1,64) 
【分析与解】
解法一：先画出线段图：
从线段图中可以看出： EQ \F(1,2) ＋ EQ \F(1,4) ＋ EQ \F(1,8) ＋ EQ \F(1,16) ＋ EQ \F(1,32) ＋ EQ \F(1,64) ＝1－ EQ \F(1,64) ＝ EQ \F(63,64)
解法二：观察和式 EQ \F(1,2) ＋ EQ \F(1,4) ＋ EQ \F(1,8) ＋ EQ \F(1,16) ＋ EQ \F(1,32) ＋ EQ \F(1,64) ，可以发现后一个加数总是前一个加数的一半。因而，只要添上一个加数 EQ \F(1,64) ，就能凑成 EQ \F(1,32) ，以此向前类推，可以迅速求出和。
EQ \F(1,2) ＋ EQ \F(1,4) ＋ EQ \F(1,8) ＋ EQ \F(1,16) ＋ EQ \F(1,32) ＋ EQ \F(1,64)
＝ EQ \F(1,2) ＋ EQ \F(1,4) ＋ EQ \F(1,8) ＋ EQ \F(1,16) ＋ EQ \F(1,32) ＋（ EQ \F(1,64) ＋ EQ \F(1,64) ）－ EQ \F(1,64) 
＝ EQ \F(1,2) ＋ EQ \F(1,4) ＋ EQ \F(1,8) ＋ EQ \F(1,16) ＋（ EQ \F(1,32) ＋ EQ \F(1,32) ）－ EQ \F(1,64) 
＝ EQ \F(1,2) ×2－ EQ \F(1,64) ＝ EQ \F(63,64) 
试一试1
计算：1＋ EQ \F(1,2) ＋ EQ \F(1,4) ＋ EQ \F(1,8) ＋…＋ EQ \F(1,64) ＋ EQ \F(1,128) 
例2 计算： EQ \F(1,2004) ＋ EQ \F(2,2004) － EQ \F(3,2004) － EQ \F(4,2004) ＋ EQ \F(5,2004) ＋ EQ \F(6,2004) － EQ \F(7,2004) － EQ \F(8,2004) ＋ EQ \F(9,2004) ＋ EQ \F(10,2004) －……－ EQ \F(1999,2004) － EQ \F(2000,2004) ＋ EQ \F(2001,2004) ＋ EQ \F(2002,2004)
【分析与解】
这道题可以用分组法求解。算式中共有2002个分数，从第二个分数 EQ \F(2,2004) 开始依次往后数，每4个分数为一组，到 EQ \F(2001,2004) 为止，共有500组，每组计算后的结果都是0。
EQ \F(1,2004) ＋ EQ \F(2,2004) － EQ \F(3,2004) － EQ \F(4,2004) ＋ EQ \F(5,2004) ＋ EQ \F(6,2004) － EQ \F(7,2004) － EQ \F(8,2004) ＋ EQ \F(9,2004) ＋ EQ \F(10,2004) －……－ EQ \F(1999,2004) － EQ \F(2000,2004) ＋ EQ \F(2001,2004) ＋ EQ \F(2002,2004) 
＝ EQ \F(1,2004) ＋ EQ \F(2002,2004) 
＝ EQ \F(2003,2004) 
试一试2
计算： EQ \F(1,2001) － EQ \F(2,2001) － EQ \F(3,2001) ＋ EQ \F(4,2001) ＋ EQ \F(5,2001) － EQ \F(6,2001) － EQ \F(7,2001) ＋ EQ \F(8,2001) ＋ EQ \F(9,2001) －……－ EQ \F(1998,2001) － EQ \F(1999,2001) ＋ EQ \F(2000,2001) 
例3 计算： EQ \F(1,1×2) ＋ EQ \F(1,2×3) ＋ EQ \F(1,3×4) ＋…＋ EQ \F(1,2003×2004) ＋ EQ \F(1,2004×2005) 
【分析与解】
因为1－ EQ \F(1,2) ＝ EQ \F(1,1×2) EQ \F(1,2) － EQ \F(1,3) ＝ EQ \F(1,2×3) …，所以，在求这个数列的和时，可以运用这个结论，先把积分解为差，再求和。这也就是前面谈到的裂项法。
EQ \F(1,1×2) ＋ EQ \F(1,2×3) ＋ EQ \F(1,3×4) ＋…＋ EQ \F(1,2003×2004) ＋ EQ \F(1,2004×2005)
＝1－ EQ \F(1,2) ＋ EQ \F(1,2) － EQ \F(1,3) ＋ EQ \F(1,3) － EQ \F(1,4) ＋……＋ EQ \F(1,2003) － EQ \F(1,2004) ＋ EQ \F(1,2004) － EQ \F(1,2005)
＝1－ EQ \F(1,2005)
＝ EQ \F(2004,2005) 
想一想： EQ \F(1,2) ＋ EQ \F(1,6) ＋ EQ \F(1,12) ＋ EQ \F(1,20) ＋ EQ \F(1,30) ＋ EQ \F(1,42) ＋ EQ \F(1,56) ＋ EQ \F(1,72) 怎么算呢？
试一试3
计算： EQ \F(1,10×11) ＋ EQ \F(1,11×12) ＋ EQ \F(1,12×13) ＋ EQ \F(1,13×14) ＋ EQ \F(1,14×15)
例4 计算： EQ \F(1,1×3) ＋ EQ \F(1,3×5) ＋ EQ \F(1,5×7) ＋ EQ \F(1,7×9) ＋ EQ \F(1,9×11) ＋ EQ \F(1,11×13)
【分析与解】
题中每个分数的分子都是1，分母不是两个相邻自然数的积，无法直接裂项，需要变形。因为 EQ \F(1,1×3) ＝（1－ EQ \F(1,3) ）× EQ \F(1,2) ， EQ \F(1,3×5) ＝（ EQ \F(1,3) － EQ \F(1,5) ）× EQ \F(1,2) ，…，所以先把算式中的每一项扩大2倍，再把所求的和乘 EQ \F(1,2) 即可。
EQ \F(1,1×3) ＋ EQ \F(1,3×5) ＋ EQ \F(1,5×7) ＋ EQ \F(1,7×9) ＋ EQ \F(1,9×11) ＋ EQ \F(1,11×13)
＝（ EQ \F(2,1×3) ＋ EQ \F(2,3×5) ＋ EQ \F(2,5×7) ＋ EQ \F(2,7×9) ＋ EQ \F(2,9×11) ＋ EQ \F(2,11×13) ）× EQ \F(1,2)
＝（1－ EQ \F(1,3) ＋ EQ \F(1,3) － EQ \F(1,5) ＋ EQ \F(1,5) － EQ \F(1,7) ＋ EQ \F(1,7) － EQ \F(1,9) ＋ EQ \F(1,9) － EQ \F(1,11) ＋ EQ \F(1,11) － EQ \F(1,13) ）× EQ \F(1,2) 
＝（1－ EQ \F(1,13) ）× EQ \F(1,2)
＝ EQ \F(6,13) 
裂项法不是随便可以套用的，有时题目稍有变化，就需要我们抓住具体题目的特点，灵活地进行变形转化。
一般地，形如 EQ \F(1, a×(a＋1)) 的分数可以拆成 EQ \F(1,a) － EQ \F(1,a＋1) ；形如 EQ \F(1, a×(a＋n)) 的分数可以拆成 EQ \F(1,n) ×( EQ \F(1,a) － EQ \F(1,a＋n) )；形如 EQ \F(a＋b,a×b) 的分数可以拆成 EQ \F(1,a) ＋ EQ \F(1,b) 等等。
试一试4
计算： EQ \F(1,2×4) ＋ EQ \F(1,4×6) ＋ EQ \F(1,6×8) ＋…＋ EQ \F(1,46×48) ＋ EQ \F(1,48×50) 
例5 计算：（1＋ EQ \F(1,2) ＋ EQ \F(1,3) ＋ EQ \F(1,4) ）×（ EQ \F(1,2) ＋ EQ \F(1,3) ＋ EQ \F(1,4) ＋ EQ \F(1,5) ）－（1＋ EQ \F(1,2) ＋ EQ \F(1,3) ＋ EQ \F(1,4) ＋ EQ \F(1,5) ）×（ EQ \F(1,2) ＋ EQ \F(1,3) ＋ EQ \F(1,4) ）
【分析与解】
把算式中相同的一部分式子，设字母代替，可以化繁为简，化难为易（也就是前面提到的代数法）。我们把 EQ \F(1,2) ＋ EQ \F(1,3) ＋ EQ \F(1,4) 用字母A代替， EQ \F(1,2) ＋ EQ \F(1,3) ＋ EQ \F(1,4) ＋ EQ \F(1,5) 用字母B代替，可以很快算出结果。设 EQ \F(1,2) ＋ EQ \F(1,3) ＋ EQ \F(1,4) ＝A EQ \F(1,2) ＋ EQ \F(1,3) ＋ EQ \F(1,4) ＋ EQ \F(1,5) ＝B
（1＋ EQ \F(1,2) ＋ EQ \F(1,3) ＋ EQ \F(1,4) ）×（ EQ \F(1,2) ＋ EQ \F(1,3) ＋ EQ \F(1,4) ＋ EQ \F(1,5) ）－（1＋ EQ \F(1,2) ＋ EQ \F(1,3)
＋ EQ \F(1,4) ＋ EQ \F(1,5) ）×（ EQ \F(1,2) ＋ EQ \F(1,3) ＋ EQ \F(1,4) ）
＝（1＋A）×B－（1＋B）×A
＝B＋AB－A－AB
＝B－A
＝（ EQ \F(1,2) ＋ EQ \F(1,3) ＋ EQ \F(1,4) ＋ EQ \F(1,5) ）－（ EQ \F(1,2) ＋ EQ \F(1,3) ＋ EQ \F(1,4) ）
＝ EQ \F(1,5) 
试一试5
计算：（ EQ \F(1,2) ＋ EQ \F(1,3) ＋ EQ \F(1,4) ＋ EQ \F(1,5) ）×（ EQ \F(1,3) ＋ EQ \F(1,4) ＋ EQ \F(1,5) ＋ EQ \F(1,6) ）－（ EQ \F(1,2) ＋ EQ \F(1,3) ＋ EQ \F(1,4) ＋ EQ \F(1,5) ＋ EQ \F(1,6) ）×（ EQ \F(1,3) ＋ EQ \F(1,4) ＋ EQ \F(1,5) ）
练习九
1． EQ \F(1,2004) ＋ EQ \F(2,2004) ＋ EQ \F(3,2004) ＋ EQ \F(4,2004) ＋……＋ EQ \F(2002,2004) ＋ EQ \F(2003,2004)
2． EQ \F(1,100) ＋ EQ \F(2,100) ＋ EQ \F(3,100) ＋……＋ EQ \F(49,100) ＋ EQ \F(50,100)
3. 计算： EQ \F(1,49) ＋ EQ \F(3,49) ＋ EQ \F(5,49) ＋ EQ \F(7,49) ＋ EQ \F(9,49) ＋ EQ \F(11,49) ＋ EQ \F(13,49) 
4. 计算：1－ EQ \F(1,2) － EQ \F(1,4) － EQ \F(1,8) － EQ \F(1,16) － EQ \F(1,32) － EQ \F(1,64)
5. 计算： EQ \F(1,2002) ＋ EQ \F(2,2002) ＋ EQ \F(3,2002) ＋ EQ \F(4,2002) － EQ \F(5,2002) － EQ \F(6,2002) － EQ \F(7,2002) － EQ \F(8,2002) ＋ EQ \F(9,2002) ＋ EQ \F(10,2002) ＋……＋ EQ \F(1995,2002) ＋ EQ \F(1996,2002) － EQ \F(1997,2002) － EQ \F(1998,2002) － EQ \F(1999,2002) － EQ \F(2000,2002) ＋ EQ \F(2001,2002) ＋ EQ \F(2002,2002)
6. 以质数43为分母的最简真分数的和是多少？
7. 计算： EQ \F(1,2) ＋ EQ \F(3,4) ＋ EQ \F(7,8) ＋ EQ \F(15,16) ＋ EQ \F(31,32) ＋ EQ \F(63,64) ＋ EQ \F(127,128)
8. 计算：（ EQ \F(2,2002) ＋ EQ \F(4,2002) ＋ EQ \F(6,2002) ＋…＋ EQ \F(2002,2002) ）－（ EQ \F(1,2002) ＋ EQ \F(3,2002) ＋ EQ \F(5,2002) ＋…＋ EQ \F(2001,2002) ）
9. 计算： EQ \F(1,1×2) ＋ EQ \F(1,2×3) ＋ EQ \F(1,3×4) ＋ EQ \F(1,4×5) ＋ EQ \F(1,5×6) ＋ EQ \F(1,6×7)
10 计算： EQ \F(1,1998×1999) ＋ EQ \F(1,1999×2000) ＋ EQ \F(1, 2000×2001) ＋…＋ EQ \F(1, 2006×2007) ＋ EQ \F(1,2007)
11．计算： EQ \F(2,1×3) ＋ EQ \F(2,3×5) ＋ EQ \F(2,5×7) ＋…＋ EQ \F(2,97×99) ＋ EQ \F(2,99×101)
12. 计算： EQ \F(1,1×5) ＋ EQ \F(1,5×9) ＋ EQ \F(1,9×13) ＋…＋ EQ \F(1,29×33) ＋ EQ \F(1,33×37)
13. 计算： EQ \F(4,3) ＋ EQ \F(16,15) ＋ EQ \F(36,35) ＋ EQ \F(64,63) ＋ EQ \F(100,99) ＋ EQ \F(144,143)
14. 计算：（1＋ EQ \F(1,2) ＋ EQ \F(1,3) ＋ EQ \F(1,4) ＋ EQ \F(1,5) ）×（ EQ \F(1,2) ＋ EQ \F(1,3) ＋ EQ \F(1,4) ＋ EQ \F(1,5) ＋ EQ \F(1,6) ）－（1＋ EQ \F(1,2) ＋ EQ \F(1,3) ＋ EQ \F(1,4) ＋ EQ \F(1,5) ＋ EQ \F(1,6) ）×（ EQ \F(1,2) ＋ EQ \F(1,3) ＋ EQ \F(1,4) ＋ EQ \F(1,5) ）
15．计算：（ EQ \F(1,8) ＋ EQ \F(1,9) ＋ EQ \F(1,10) ＋ EQ \F(1,11) ）×（ EQ \F(1,9) ＋ EQ \F(1,10) ＋ EQ \F(1,11) ＋ EQ \F(1,12) ）－（ EQ \F(1,8) ＋ EQ \F(1,9) ＋ EQ \F(1,10) ＋ EQ \F(1,11) ＋ EQ \F(1,12) ）×（ EQ \F(1,9) ＋ EQ \F(1,10) ＋ EQ \F(1,11) ）