2021届江西省萍乡市高考二模数学（理科）试卷及答案

这是一份2021届江西省萍乡市高考二模数学（理科）试卷及答案，共22页。试卷主要包含了已知复数z满足，已知函数f，已知抛物线C等内容，欢迎下载使用。

2021年江西省萍乡市高考数学二模试卷（理科）
一．选择题（每小题5分）.
1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，N＝{2，5，6}，则图中阴影部分表示的集合是（　　）

A．{1} B．{1，4} C．{5，6} D．{1，2，4，5，6}
2．已知复数z满足（1﹣2i）z＝3+4i（i为虚数单位），则|z|＝（　　）
A． B．5 C． D．
3．已知与满足||＝1，||＝2，|﹣2|＝，则与的夹角为（　　）
A．120° B．90° C．60° D．30°
4．已知函数f（x）为偶函数，且当x∈（0，+∞）时，f（x）＝lnx．若a＝f（4ln3），b＝f（2﹣e），（其中e为自然对数的底数，π为圆周率），则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a
5．2021年3月12日是全国第43个植树节，为提高大家爱劳动的意识，某中学组织开展植树活动，并收集了高三年级1～11班植树量的数据（单位：棵），绘制了下面的折线图．根据折线图，下列结论不正确的是（　　）
A．各班植树的棵数不是逐班增加的
B．4班植树的棵数低于11个班的平均值
C．各班植树棵数的中位数为6班对应的植树棵数
D．1至5班植树的棵数相对于6至11班，波动更小，变化比较平稳
6．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），以M（﹣2，0）为圆心，半径为5的圆与抛物线C交于A，B两点，若|AB|＝8，则p＝（　　）
A．4 B．8 C．10 D．16
7．某几何体的三视图如图所示，该几何体的各个面的面积中，最大的为（　　）

A． B． C．2 D．
8．某小型摩天轮共10个座舱，每个座舱有两个座位．现所有座舱全部为空座，有10人依次排好队准备乘搭，第一个人坐第1个舱，其他人在可选的情况下，随机选择是与前一个人共乘一个座舱，或是乘搭下一个座舱，则10人不同的座舱选择情况共有（　　）
A．89种 B．90种 C．637种 D．638种
9．2021年是中国共产党百年华诞，3月24日，中宣部发布中国共产党成立100周年庆祝活动标识（图1），标识由党徽、数字“100”“1921”“2021”和56根光芒线组成，生动展现中国共产党团结带领中国人民不忘初心、牢记使命、艰苦奋斗的百年光辉历程．其中“100”的两个“0”设计为两个半径为R的相交大圆，分别内含一个半径为r的同心小圆，且同心小圆均与另一个大圆外切（图2）．已知，则在两个大圆的区域内随机取一点，则该点取自两大圆公共部分的概率为（　　）

A． B． C． D．
10．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝3，AA1＝4，P是侧面BCC1B1内的动点，且AP⊥BD1，记AP与平面BCC1B1所成的角为θ，则tanθ的最大值为（　　）

A． B． C．2 D．
11．已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*，有，且（an+1﹣p）（an﹣p）＜0恒成立，则实数p的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
12．若函数f（x）＝ex﹣e﹣x+sinx﹣x，则满足f（a﹣2ln（|x|+1））+f（）≥0恒成立的实数a的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，a6+a3﹣a5＝3，则S7＝　 　．
14．已知圆C：x2+y2＝1，点P在直线x﹣y﹣2＝0上运动，若圆C上存在两点A，B，使得PA⊥PB，则点P的坐标是　 　．
15．已知函数，若存在三个互不相同的实数a，b，c，满足f（a）＝f（b）＝f（c），则abc的取值范围是　 　．
16．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点，AF2，BF2分别交y轴于P，Q两点，若△PQF2的周长为4，则的取值范围为　 　．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知函数最大值为2，对称中心与对称轴间的最短距离为．
（1）求函数y＝f（x）的单调递增区间；
（2）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（B）＝1，D为BC的中点，且AD＝b，求的值．
18．在如图所示的空间几何体中，两等边三角形△ACD与△ABC互相垂直，AC＝BE＝4，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上．
（1）求证：DE∥平面ABC；
（2）求平面ABE与平面ACD所成夹角的余弦值．

19．已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0），A，B为其左、右顶点，G点坐标为（c，1），c为椭圆的半焦距，且有＝0，椭圆E的离心率e＝．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）已知O为坐标原点，M，N为椭圆上不重合两点，且M，N的中点H落在直线y＝x上，求△MNO面积的最大值．
20．某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了制定提升农民收入、实现2020年脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如图频率分布直方图：
（1）根据频率分布直方图，估计这50位农民的平均年收入（单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）．
（2）为推进精准扶贫，某企业开设电商平台进行扶贫，让越来越多的农村偏远地区的农户通过经营网络商城脱贫致富．甲计划在A店，乙计划在B店同时参加一个订单“秒杀”抢购活动，其中每个订单由n（n≥2，n∈N*）个商品W构成，假定甲、乙两人在A，B两店订单“秒杀”成功的概率分别为p，q，记甲、乙两人抢购成功的订单总数量、商品W总数量分别为X，Y．
①求X的分布列及数学期望E（X）；
②若，，求当Y的数学期望E（Y）取最大值时正整数n的值．

21．已知函数，函数g（x）满足ln[g（x）+x2]＝lnx+x﹣a．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若g（x）有两个不同的零点x1，x2，证明：x1x2＜1．
请考生在第22，23两题中任选一题作答.只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题号后方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系中，P为曲线（α为参数）上的动点，将P点纵坐标不变，横坐标变为原来的一半得Q点．记Q点轨迹为C2，以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求证曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ；
（Ⅱ）A，B是曲线C2上两点，且，求的取值范围．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知．
（1）关于x的不等式f（x）≤a2﹣a有解，求实数a的取值范围；
（2）设m，n∈R+，且m+2n＝2，求证：．


参考答案
一．选择题（每小题5分）.
1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，N＝{2，5，6}，则图中阴影部分表示的集合是（　　）

A．{1} B．{1，4} C．{5，6} D．{1，2，4，5，6}
解：∵全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，N＝{2，5，6}，
∴∁UM＝{3，5，6}，
∴图中阴影部分表示的集合是：
（∁UM）∩N＝{5，6}．
故选：C．
2．已知复数z满足（1﹣2i）z＝3+4i（i为虚数单位），则|z|＝（　　）
A． B．5 C． D．
解：由（1﹣2i）z＝3+4i，得z＝，
∴|z|＝||＝．
故选：C．
3．已知与满足||＝1，||＝2，|﹣2|＝，则与的夹角为（　　）
A．120° B．90° C．60° D．30°
解：根据题意，设与的夹角为θ，
若，，，则有（﹣2）2＝2﹣4•+42＝17﹣8cosθ＝13，
变形可得：cosθ＝，
则θ＝60°，
故选：C．
4．已知函数f（x）为偶函数，且当x∈（0，+∞）时，f（x）＝lnx．若a＝f（4ln3），b＝f（2﹣e），（其中e为自然对数的底数，π为圆周率），则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a
解：函数f（x）为偶函数，且当x∈（0，+∞）时，f（x）＝lnx单调递增．
因为a＝f（4ln3），b＝f（2﹣e），＝f（lnπ），且4ln3＞lnπ＞2﹣e，
所以f（4ln3）＞f（lnπ）＞f（2﹣e），
则a＞c＞b．
故选：A．
5．2021年3月12日是全国第43个植树节，为提高大家爱劳动的意识，某中学组织开展植树活动，并收集了高三年级1～11班植树量的数据（单位：棵），绘制了下面的折线图．根据折线图，下列结论不正确的是（　　）
A．各班植树的棵数不是逐班增加的
B．4班植树的棵数低于11个班的平均值
C．各班植树棵数的中位数为6班对应的植树棵数
D．1至5班植树的棵数相对于6至11班，波动更小，变化比较平稳
解：对于选项A：由折线图可知，各班植树的棵数有增有减，不是逐班增加的，所以选项A错误，
对于选项B：11个班中只有2，3，8班3个班的植树棵树小于10，大于5，其余各个班的植树数目大于10，
且6，7，8，9，10，11五个班植树都不小于15颗，将这5个班的植树各取5颗，加到2，3，8班，除4班外，
其余各班的植树都超过了4班，所以4班的植树棵树低于11个班的平均值，所以B正确；
比6班植树多的只有9，10，11，3个班，其余7个班都比6班少，所以6班所对应植树棵树不是中位数，所以C不正确；
1到5班的植树棵树的极差在10以内，6到11班的植树棵树的极差超过了15，另外从图明显看出，
1至5班植树棵树相对于6到11班波动更小，变化比较平稳，所以D正确．
故选：C．
6．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），以M（﹣2，0）为圆心，半径为5的圆与抛物线C交于A，B两点，若|AB|＝8，则p＝（　　）
A．4 B．8 C．10 D．16
解：设A（m，n），由A在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，可得n2＝2pm，
由A在以P（﹣2，0）为圆心，半径为5的圆上，可得（m+2）2+n2＝25，
由|AB|＝8，可得n＝4，所以即（m+2）2+42＝25，
可得m＝1，代入n2＝2pm，可得p＝8，
故选：B．
7．某几何体的三视图如图所示，该几何体的各个面的面积中，最大的为（　　）

A． B． C．2 D．
解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱台ABC﹣DEF，
如图所示：

所以，，，，，
故选：D．
8．某小型摩天轮共10个座舱，每个座舱有两个座位．现所有座舱全部为空座，有10人依次排好队准备乘搭，第一个人坐第1个舱，其他人在可选的情况下，随机选择是与前一个人共乘一个座舱，或是乘搭下一个座舱，则10人不同的座舱选择情况共有（　　）
A．89种 B．90种 C．637种 D．638种
解：根据题意，10人最少需要5个座舱，最多10个，据此分6种情况讨论：
①10人用5个座舱，即每人都选择与前一个人共乘一个座舱，有1种座舱选择方法，
②10人用6个座舱，即前面6个座舱中有4个座舱坐满2人，有2个座舱只坐1人，有C62＝15种座舱选择方法，
③10人用7个座舱，即前面7个座舱中有3个座舱坐满2人，有4个座舱只坐1人，有C73＝35种座舱选择方法，
④10人用8个座舱，即前面8个座舱中有2个座舱坐满2人，有6个座舱只坐1人，有C82＝28种座舱选择方法，
⑤10人用9个座舱，即前面9个座舱中有1个座舱坐满2人，有8个座舱只坐1人，有C91＝9种座舱选择方法，
⑥10人用10个座舱，即每个座舱只坐1人，有1种座舱选择方法，
则共有1+15+35+28+9+1＝89种座舱选择方法，
故选：A．
9．2021年是中国共产党百年华诞，3月24日，中宣部发布中国共产党成立100周年庆祝活动标识（图1），标识由党徽、数字“100”“1921”“2021”和56根光芒线组成，生动展现中国共产党团结带领中国人民不忘初心、牢记使命、艰苦奋斗的百年光辉历程．其中“100”的两个“0”设计为两个半径为R的相交大圆，分别内含一个半径为r的同心小圆，且同心小圆均与另一个大圆外切（图2）．已知，则在两个大圆的区域内随机取一点，则该点取自两大圆公共部分的概率为（　　）

A． B． C． D．
解：如图，设D为线段AB的中点，OD＝，R＝，
在△AOD中，cos＝，
∴，∠AOB＝，
∴两大圆公共部分的面积为：，
则该点取自两大圆公共部分的概率为＝．
故选：B．

10．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝3，AA1＝4，P是侧面BCC1B1内的动点，且AP⊥BD1，记AP与平面BCC1B1所成的角为θ，则tanθ的最大值为（　　）

A． B． C．2 D．
解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设P（a，3，c），（0≤a≤3，0≤c≤4），
则A（3，0，0），B（3，3，0），D1（0，0，4），
＝（a﹣3，3，c），＝（﹣3，﹣3，4），平面BCC1B1的法向量＝（0，1，0），
∵AP⊥BD1，∴＝﹣3（a﹣3）﹣9+4c＝0，解得c＝，
∴＝（a﹣3，3，），
∵AP与平面BCC1B1所成的角为θ，
∴sinθ＝＝＝，
∴当a＝时，sinθ取最大值为．此时cosθ＝＝，
∴tanθ的最大值为：＝．
故选：B．

11．已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*，有，且（an+1﹣p）（an﹣p）＜0恒成立，则实数p的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
解：由，得a1＝﹣，
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝（﹣1）nan++n﹣3﹣（﹣1）n﹣1an﹣1﹣﹣（n﹣1）+3
＝（﹣1）nan+（﹣1）nan﹣1﹣+1．
若n为偶数，则an﹣1＝﹣1，∴an＝﹣1（n为正奇数）；
若n为奇数，则an﹣1＝﹣2an﹣+1＝﹣2（﹣1）﹣+1＝3﹣，
∴an＝3﹣（n为正偶数）．
函数an＝﹣1（n为正奇数）为减函数，最大值为a1＝﹣，
函数an＝3﹣（n为正偶数）为增函数，最小值为a2＝．
若（an+1﹣p）（an﹣p）＜0恒成立，
则a1＜p＜a2，即﹣＜p＜，
即实数p的取值范围是（﹣，）．
故选：D．
12．若函数f（x）＝ex﹣e﹣x+sinx﹣x，则满足f（a﹣2ln（|x|+1））+f（）≥0恒成立的实数a的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
解：函数f（x）＝ex﹣e﹣x+sinx﹣x，
故函数f（x）的定义域是R，关于原点对称，
且f（﹣x）＝e﹣x﹣ex+sin（﹣x）+x＝﹣（ex﹣e﹣x+sinx﹣x）＝﹣f（x），
故函数f（x）是定义在R上的奇函数，
且满足f（a﹣2ln（|x|+1））+f（）≥0恒成立，
故f（a﹣2ln（|x|+1））≥﹣f（）＝f（﹣），
由cosx∈[﹣1，1]，f′（x）＝ex+e﹣x+cosx﹣1≥2+cosx﹣1＝cosx+1≥0（当且仅当x＝0时“＝”成立），
故函数f（x）在R单调递增，
由f（a﹣2ln（|x|+1））≥f（﹣），故a﹣2ln（|x|+1）≥﹣，
即a≥2ln（|x|+1）﹣，
令g（x）＝2ln（|x|+1）﹣，
欲使a≥2ln（|x|+1）﹣恒成立，则a≥g（x）max恒成立，
g（﹣x）＝2ln（|﹣x|+1）﹣＝2ln（|x|+1）﹣＝g（x），
且函数g（x）的定义域是R，关于原点对称，
故函数g（x）是定义在R上的偶函数，
故要求解g（x）在R上的最大值，只需要求解函数g（x）在[0，+∞）上的最大值即可，
当x∈[0，+∞）时，g（x）＝2ln（x+1）﹣，
故g′（x）＝﹣x＝﹣，
故当x∈[0，1]时，x﹣1≤0，则g′（x）≥0，g（x）在[0，1]上递增，
当x∈（1，+∞）时，x﹣1＞0，则g′（x）＜0，g（x）在（1，+∞）递减，
故g（x）max＝g（1）＝2ln2﹣，
故a≥2ln2﹣，故a的取值范围是[2ln2﹣，+∞），
故选：A．
二、填空题（每小题5分）.
13．已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，a6+a3﹣a5＝3，则S7＝　21　．
解：设数列{an}的公差为d，
∵a6+a3﹣a5＝3，∴a1+5d+a1+2d﹣a1﹣4d＝a1+3d＝3，
∴S7＝＝7（a1+3d）＝7×3＝21．
故答案为：21．
14．已知圆C：x2+y2＝1，点P在直线x﹣y﹣2＝0上运动，若圆C上存在两点A，B，使得PA⊥PB，则点P的坐标是　（1，﹣1）　．
解：由题可得圆C的圆心是O（0，0）半径为1，
过O作直线x﹣y﹣2＝0的垂线，垂足为M，则M（1，﹣1），
过M作圆C的两条切线，切点分别为E，F，
易得∠EMF＝，即EM⊥FM，
∴直线x﹣y﹣2＝0上只有唯一的一个点符合题意，即M与P重合，
故答案为：（1，﹣1）．
15．已知函数，若存在三个互不相同的实数a，b，c，满足f（a）＝f（b）＝f（c），则abc的取值范围是　（2，3）　．
解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则﹣log2a＝log2b＝﹣c+3∈（0，1），
∴ab＝1，0＜﹣c+3＜1，
∴abc＝c∈（2，3）．
故答案为：（2，3）．

16．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点，AF2，BF2分别交y轴于P，Q两点，若△PQF2的周长为4，则的取值范围为　（，+∞）　．
解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），
令x＝﹣c，可得y＝±b＝±，
可得|AB|＝，
由PQ为△ABF2的中位线，△PQF2的周长为4，
可得△ABF2的周长为8，
所以|AF2|+|BF2|+|AB|＝8，
由双曲线的定义，可得|AF2|+|BF2|﹣|AB|＝4a，
两式相减可得，2|AB|＝8﹣4a，
即为＝8﹣4a，即有b2＝2a﹣a2，
所以＝＝+（2﹣a）﹣2，
设2﹣a＝t（0＜t＜2），设f（t）＝t+﹣2，
则f′（t）＝1﹣＜0，即有f（t）在（0，2）递减，可得f（t）＞．
故的取值范围为（，+∞）．
故答案为：（，+∞）．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知函数最大值为2，对称中心与对称轴间的最短距离为．
（1）求函数y＝f（x）的单调递增区间；
（2）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（B）＝1，D为BC的中点，且AD＝b，求的值．
解：（1）因为函数最大值为2，对称中心与对称轴间的最短距离为，
可知：T＝π，所以ω＝2，可得A＝2，
所以f（x）＝2sin（2x+），
令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，可得函数y＝f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．
（2）由于f（B）＝1，可得2sin（2B+）＝1，可得sin（2B+）＝，
因为B∈（0，π），可得2B+∈（，），可得2B+＝，解得B＝，
因为点D为BC的中点，且AD＝b，
在△ABD中，由余弦定理AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BD•cosB，可得b2＝c2+﹣，①
在△ABC中，由余弦定理AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB，可得b2＝c2+a2﹣ac，②
由①②可得：﹣＝a2﹣ac，解得2c＝3a，
所以由正弦定理可得＝＝．

18．在如图所示的空间几何体中，两等边三角形△ACD与△ABC互相垂直，AC＝BE＝4，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上．
（1）求证：DE∥平面ABC；
（2）求平面ABE与平面ACD所成夹角的余弦值．

【解答】（1）证明：取AC中点O，连接BO，DO，
由题知，BO为∠ABC的平分线，BO⊥AC，DO⊥AC，
设点F是点E在平面ABC上的射影，由题知，点F在BO上，
连接EF，则EF⊥平面ABC．
∵平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC＝AC，DO⊂平面ACD，DO⊥AC，
∴DO⊥平面ABC，………………………
∴DO∥EF．
因为BE和平面ABC所成的角为60°，即∠EBF＝60°，∴EF＝2，又DO＝2，
∴四边形EFOD为平行四边形，∴DE∥BO，………………………………………………
BO⊂平面ABC，DE⊄平面ABC，∴DE∥平面ABC．……………………………………
（2）解：以OA，OB，OD方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，
则∴，………………………………
设平面ABE的一个法向量为，

则，取z＝1，得，
取平面ACD的法向量为………………………………………
设平面ABE与平面ACD所夹角为θ，
则，………………………………
∴平面ABE与平面ACD所夹角余弦值为．………………………………
19．已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0），A，B为其左、右顶点，G点坐标为（c，1），c为椭圆的半焦距，且有＝0，椭圆E的离心率e＝．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）已知O为坐标原点，M，N为椭圆上不重合两点，且M，N的中点H落在直线y＝x上，求△MNO面积的最大值．
解：（1）依题意：A（﹣a，0），B（a，0），
则，……………………（1分）
∴，即b2＝1，又，解得，………………
所以椭圆方程为：；………………………………………
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），H（x0，y0），则2y0＝x0，
因为M，N在椭圆上，
有：，………………………………
设直线MN：，
联立，………………
又△＝32﹣16m2＞0，得，
所以，…………………
原点O到直线MN的距离，
故，
当且仅当m2＝2﹣m2，即m＝±1时等号成立，故△MNO面积的最大值为1． ………
20．某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了制定提升农民收入、实现2020年脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如图频率分布直方图：
（1）根据频率分布直方图，估计这50位农民的平均年收入（单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）．
（2）为推进精准扶贫，某企业开设电商平台进行扶贫，让越来越多的农村偏远地区的农户通过经营网络商城脱贫致富．甲计划在A店，乙计划在B店同时参加一个订单“秒杀”抢购活动，其中每个订单由n（n≥2，n∈N*）个商品W构成，假定甲、乙两人在A，B两店订单“秒杀”成功的概率分别为p，q，记甲、乙两人抢购成功的订单总数量、商品W总数量分别为X，Y．
①求X的分布列及数学期望E（X）；
②若，，求当Y的数学期望E（Y）取最大值时正整数n的值．

解：（1）＝12×0.04+14×0.12+16×0.28+18×0.36+20×0.1+22×0.06+24×0.04＝17.40（千元）；
（2）①X的可能取值为0，1，2，
P（X＝0）＝（1﹣p）（1﹣q），
P（X＝1）＝p（1﹣q）+q（1﹣p），
P（X＝2）＝pq，
故X的分布列为：
X
0
1
2
P
（1﹣p）（1﹣q）
P（1﹣q）+q（1﹣p）
pq
E（X）＝p（1﹣q）+q（1﹣p）+2pq＝p+q，
②E（Y）＝nE（X）＝n＝2sin﹣，
令t＝∈（0，，
设f（t）＝2sin（πt）﹣πt，则E（Y）＝f（t），
又f′（t）＝2πcosπt﹣π，且，
当t∈（0，]时，f′（t）≥0，
t∈（时，f′（t）≤0，
即f（t）在（0，）上单调递增，在（）上单调递减，
故t＝，此时n＝3，时取最大值f（）＝，
即n＝3时，E（Y）取最大值为．
21．已知函数，函数g（x）满足ln[g（x）+x2]＝lnx+x﹣a．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若g（x）有两个不同的零点x1，x2，证明：x1x2＜1．
解：（1）由已知得函数f（x）的定义域为（﹣a，+∞），
则，
∴当﹣a≥1，即a≤﹣1时，f（x）在（﹣a，+∞）上单调递增，
∴当﹣a＜1，即a＞﹣1时，f（x）在（﹣a，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
综上：a≤﹣1时，f（x）在（﹣a，+∞）上单调递增，
a＞﹣1时，f（x）在（﹣a，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
（2）证明：∵ln[g（x）+x2]＝lnx+x﹣a，
∴g（x）＝x⋅ex﹣a﹣x2＝x⋅（ex﹣a﹣x），其定义域为（0，+∞），
g（x）＝x⋅ex﹣a﹣x2＝x⋅（ex﹣a﹣x）＝0等价于ex﹣a﹣x＝0，即x﹣lnx＝a，
设h（x）＝x﹣lnx（x＞0），∴，
令h'（x）＞0，则x＞1；令h'（x）＜0，则0＜x＜1，
∴当x∈（1，+∞）时h（x）单调递增；当x∈（0，1）时h（x）单调递减，
∵函数g（x）有两个不同的零点，即h（x）有两个不同的零点，
∵x→0时h（x）→+∞，x→+∞时h（x）→+∞，
∴a＞h（1）＝1，
∴g（x）有两个不同的零点x1，x2，
且0＜x1＜1＜x2，h（x1）＝h（x2）＝a，
令，则，
∴φ（x）在x∈（0，1）时单调递增，
∴φ（x）＜φ（1）＝0，即0＜x＜1时，，又0＜x1＜1，∴，
∵，且 x∈（1，+∞）时h（x）单调递增，∴，
故而x1x2＜1，得证．
请考生在第22，23两题中任选一题作答.只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题号后方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系中，P为曲线（α为参数）上的动点，将P点纵坐标不变，横坐标变为原来的一半得Q点．记Q点轨迹为C2，以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求证曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ；
（Ⅱ）A，B是曲线C2上两点，且，求的取值范围．
解：（Ⅰ）曲线化为普通方程为：，
设P点坐标为（x'，y'），Q点坐标为（x，y），
则有，
消去x'，y'有（x﹣1）2+y2＝1，即x2+y2＝2x，此式即为C2的普通方程．
∴曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ．
（Ⅱ）设A（ρ1，θ），（），
∴＝，
因为，所以的取值范围是[﹣2，1）．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知．
（1）关于x的不等式f（x）≤a2﹣a有解，求实数a的取值范围；
（2）设m，n∈R+，且m+2n＝2，求证：．
【解答】（1）解：由……………………………
所以原不等式等价于2≤a2﹣a，得a≤﹣1，或a≥2…………………………………
∴a∈（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）…………………………………………………………
（2）证明：由（1）知f（x）min＝2，即……………………………
………………………
∴…………………………………………………………