2020届江西省景德镇市高三第三次质检数学（文）试卷（解析版）

这是一份2020届江西省景德镇市高三第三次质检数学（文）试卷（解析版），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
景德镇市2020届高三第三次质检试题数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则集合的子集的个数为（    ）A. 3 B. 4 C. 7 D. 8【答案】D【解析】分析】通过解不等式，得到集合A，进而得出.因为集合中有3个元素，故其子集个数为个.【详解】由得，则，则的子集个数为个.故选：D.【点睛】本题考查了补集的运算，集合子集个数的结论，属于基础题.2.已知i为虚数单位，若，则实数a的值是（    ）A.  B. –1 C. 1 D. 2【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法运算，求出复数.因为该复数是实数，所以令其虚部为零，求出的值.【详解】，且，，即.故选：A.【点睛】本题考查了复数的除法运算，复数的分类知识，属于基础题.3.用计算机生成随机数表模拟预测未来三天降雨情况，规定1，2，3表示降雨，4，5，6，7，8，9表示不降雨，根据随机生成的10组三位数：654  439  565  918  288  674  374  968  224  337，则预计未来三天仅有一天降雨的概率为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】从所给的随机三位数中找出有且仅有一个之间的数字的三位数，即表示未来三天仅有一天降雨.据古典概型的计算公式，即可得出结果.【详解】题中规定：1，2，3表示降雨，4，5，6，7，8，9表示不降雨，在10组三位随机数：654  439  565  918  288  674  374  968  224  337中，439  918  288  374这4组随机数仅含有一个的数，即表示未来三天仅有一天降雨，根据古典概型的概率计算公式可知，其概率.故选：D.【点睛】本题考查了古典概型的概率计算，属于基础题.4.设是等比数列的前n项和，若，则首项（    ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】【分析】将已知两式相减，可得出，则该等比数列的公比为，再将用和来表示，即可解得的值.【详解】由得，即，则该等比数列的公比为，，即，.故选：B.【点睛】本题考查了利用等比数列的通项公式求基本量，其中两式相减求得公比，是本题的关键.属于基础题.5.已知，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】利用二倍角公式将已知三角函数式化简，结合可得，再利用平方关系，即可求出.【详解】，即，由二倍角公式可得，，，则又，且 .故选：C.【点睛】本题考查了利用二倍角公式进行三角恒等变换，同角三角函数的平方关系，属于基础题.6.科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到：任画…条线段，然后把它分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了由4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每一条小线段重复上述步骤，得到由16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”；…；如此进行“n次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度大于初始线段的100倍，则至少需要构造的次数是（    ）（取，）A. 16 B. 17 C. 24 D. 25【答案】B【解析】【分析】由题知，每一次构造即可将折线长度变成上一次长度的倍，故折线长度构成一个以为公比的等比数列，写出其通项公式，则要在构造过程中使得到的折线的长度大于初始线段的100倍，只需求解不等式，即可得解.【详解】设初始长度为，各次构造后的折线长度构成一个数列，由题知，，则为等比数列，，假设构造次后，折线的长度大于初始线段的100倍，即 ，，【点睛】本题考查了图形的归纳推理，等比数列的实际应用，指数不等式的求解，考查了数形结合的思想.其中对图形进行归纳推理，构造等比数列是关键.属于中档题.7.已知，为两个不同平面，，为两条不同直线，则下列说法不正确是（    ）A. 若，，则 B. 若，，则C. 若，，则 D. 若，，且，则【答案】B【解析】【分析】利用线线，线面以及面面的位置关系的判定定理和性质定理，对每个选项进行逐一判断，即可得解.【详解】对于A，，，根据线面垂直的性质可知，垂直于同一平面的两直线平行，选项A正确；对于B， ，，根据线面垂直的定义以及线面平行的判定定理可知或，故选项B错误；对于C， ，，根据线面垂直的性质定理以及面面平行的判定定理可得，故选项C正确；对于D，由和可知或，又，则由线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理可知，，故选项D正确.故选：B.【点睛】本题考查了线面垂直的性质定理，线面平行的性质定理，面面平行的性质定理，属于基础题.8.已知是数列的前n项和，且点在直线上，则（    ）A.  B.  C.  D. 3【答案】B【解析】【分析】由题得，利用，求出且，，从而判断出数列是等比数列.再利用等比数列的求和公式，即可求出比值.【详解】点在直线上，，当时，，两式相减，得：且，又当时，，则，是首项为1，公比为3的等比数列，，.故选：B.【点睛】本题考查了数列中由与的关系求数列的通项问题，等比数列的判定，等比数列的前项和公式，属于中档题.9.蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆的蒙日圆为，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】分两条切线的斜率是否同时存在进行分类讨论，在两条切线的斜率同时存在时，可在圆上任取一点，并设过该点的直线方程为，与椭圆方程联立，利用可得出关于的二次方程，利用韦达定理可求得实数的值.【详解】当椭圆两切线与坐标垂直时，则两切线的交点坐标为，该点在圆上，所以，，解得；当椭圆两切线的斜率同时存在时，不妨设两切线的斜率分别为、，设两切线的交点坐标为，并设过该点的直线方程为，联立，消去得，，化简得，由韦达定理得，整理得，解得.综上所述，.故选：B.【点睛】本题考查利用椭圆两切线垂直求参数，考查分类讨论思想以及方程思想的应用，属于中等题.10.已知正数a、b满足，则的最大值是（    ）A. 7 B. 8 C. 9 D. 10【答案】C【解析】【分析】将当作整体，在原式的两边同时乘以，使这一部分配凑基本不等式的条件，从而得到一个关于的二次不等式，求解即可.【详解】由，得，，当且仅当，即时，等号成立，，则.故选：C.【点睛】本题考查了基本不等式的应用，解一元二次不等式.其中构造基本不等式的结构形式，将看成一个整体，是本题的关键，属于中档题.11.双曲线的上、下焦点为、，P是双曲线上位于第一象限的点，，直线交轴于点Q，则的内切圆半径为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】分析出，并设，可得出，设，利用切线长定理可求得的内切圆半径.【详解】易知，双曲线的上焦点为、，又，，设，则，设，则，设的内切圆与边、、切于点、、，由切线长定理得，，，，，，且，则四边形为正方形，所以，，则，因此，的内切圆半径为.故选：A.【点睛】本题考查双曲线中三角形内切圆半径的计算，涉及双曲线定义的应用，考查计算能力，属于中等题.12.已知函数满足，当时，，则函数在上的零点个数的值域为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】先由求出时，.再将函数的零点问题，转化为函数的图象与直线的公共点的问题，利用数形结合思想，即可判断出公共点个数，求出函数，从而求出的值域.【详解】由知，设，则， 则，，令=0，即，函数的零点个数，即为函数与直线的交点个数，若与函数的图象相切，设切点为，则切线斜率，，故不能相切，若 与函数的图象相切，设切点为，则切线斜率，，故也不能相切，又，，则，，，则的值域为.故选：B.【点睛】本题考查了代入法求函数的解析式，函数的零点个数，考查了转化思想和数形结合思想，属于较难题.第Ⅱ卷（非选择题）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生必须做答，第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，，，且，则__________.【答案】3【解析】【分析】根据向量平行的坐标关系，即可求解,【详解】，，，.故答案为:3【点睛】本题考查向量的坐标表示、平行向量的坐标形式的充要条件，属于基础题.14.已知数列满足，且，则该数列的前9项之和为__________.【答案】34【解析】【分析】对分奇偶进行讨论，得出数列是常数列，数列是公差为的等差数列，然后用分组求和法，即可求解.【详解】，当为奇数时，，则数列常数列，；当为偶数时，，则数列是以为首项，的等差数列，.故答案为：34.【点睛】本题考查了数列递推求通项，等差数列的判定，分组求和法，等差数列的求和公式.考查了分类讨论的思想，属于中档题.15.三棱锥中，底面是边长为的等边三角形， 面， ,则三棱锥外接球的表面积是_____________ .【答案】【解析】【详解】由题意可知三棱锥外接球，即为以为底面以为高的正三棱柱的外接球∵是边长为的正三角形∴的外接圆半径， 设球的半径为，因为面， ,所以，∴外接球的表面积为，故答案为点睛：本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题. 要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.16.设函数，则满足的实数a的取值集合为__________.【答案】或【解析】【分析】由知，当时，，当时，.令，对进行分类讨论，结合分段函数解析式，求出的值，再进一步求出.【详解】当时，，当时，令，若，，与已知解析式相符，，即；若，则由，得或，当时，，；当时，，. 故答案为：或.【点睛】本题考查了求分段函数的自变量的问题，考查了分类讨论思想，注意解题过程中分类讨论标准的适当选取，做到不重不漏.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选做题，考生根据要求作答.17.若的内角A，B，C的对边为a，b，c，且.（1）求；（2）若的面积为，求内角A的角平分线AD长的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】分析】（1）由正弦定理将已知式化角为边，再由余弦定理求出；（2）由（1）的结论及的面积为，求出和.再由二倍角公式求出.将拆分成两个三角形和，利用面积相等，求出，再利用基本不等式求出其最大值.【详解】解：（1）由正弦定理，及，可得，即，由余弦定理得：；（2）由，得 ，，，则，由 得，，当且仅当时，等号成立，即.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，二倍角公式，基本不等式的应用，属于中档题.18.如图，正方体的棱长为，点、为棱、的中点.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中点，连接、，证明出平面平面，利用面面平行的性质可证明出平面；（2）取的中点，连接、、、、，证明出、、、四点共面，利用等体积法计算出点到平面的距离，即为所求.【详解】（1）取的中点，连接、，在正方体中，且，、分别为、的中点，且，四边形为平行四边形，，平面，平面，平面，、分别为、的中点，，平面，平面，平面，，平面平面，平面，平面；（2）取的中点，连接、、、、，、分别为、的中点，，在正方体中，且，所以，四边形是平行四边形，，，、、、四点共面，的面积为，平面，三棱锥的体积为.由勾股定理得，，.在中，，，的面积为，设点到平面的距离为，由，即，解得.因此，点到平面的距离为.【点睛】本题考查利用面面平行证明线面平行，同时也考查了利用等体积法计算点到平面的距离，考查计算能力与推理能力，属于中等题.19.某连锁餐厅新店开业，打算举办一次食品交易会，招待新老顾客试吃.项目经理通过查阅最近次食品交易会参会人数（万人）与餐厅所用原材料数量（袋），得到如下统计表： 第一次第二次第三次第四次第五次参会人数（万人）原材料（袋） （1）根据所给组数据，求出关于的线性回归方程；（2）已知购买原材料的费用（元）与数量（袋）的关系为，投入使用的每袋原材料相应的销售收入为元，多余的原材料只能无偿返还，据悉本次交易大会大约有万人参加，根据（1）中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多少袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是多少？（注：利润销售收入原材料费用）.参考公式：，.参考数据：，，.【答案】（1）；（2）餐厅应该购买袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为元.【解析】【分析】（1）计算出、的值，利用题中的数据结合最小二乘法公式求出和的值，即可得出关于的线性回归方程；（2）由（1）中求出的线性回归方程计算时的值，再根据题意计算对应的利润值，比较大小即可．【详解】（1）由表格中的数据可得，，，，因此，关于的线性回归方程为；（2）由（1）中求出的线性回归方程知，当时，，即预计需要原材料袋.，当时，利润.当时，；当时，；当时，.综上所述，餐厅应该购买袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为元.【点睛】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也考查了利润计算问题，是中档题．20.已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，线段的中点的横坐标为，.（1）求抛物线的方程；（2）已知点，过点作直线交抛物线于、两点，求的最大值，并求取得最大值时直线的方程.【答案】（1）；（2）当直线的方程为时，取最大值.【解析】分析】（1）设点、，可得出，利用焦点弦长公式可求得的值，进而可得出抛物线的方程；（2）设点、，设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用平面向量数量积公式将表示为以为自变量的函数，利用二次函数的基本性质可求得的最大值及其对应的直线的方程.【详解】（1）设点、，由于线段的中点的横坐标为，则，由抛物线的焦点弦长公式得，解得.因此，抛物线的方程为；（2）设点、，设直线的方程为，联立，消去并整理得.由韦达定理得，.，同理可得，.当时，取最大值，此时，直线的方程为.【点睛】本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了抛物线中平面向量数量积的最值的求解，考查计算能力，属于中等题.21.已知函数有两个零点、.（1）求实数的取值范围;（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由得，构造函数，利用导数分析函数的单调性与极值，作出函数的图象，数形结合可得出实数的取值范围；（2）由题意推导出，分和两种情况讨论，结合以及函数的单调性得出的取值范围，再由以及函数的单调性可求得实数的取值范围.【详解】（1），令，可得，构造函数，则直线与函数的图象有两个交点.，令，得，列表如下：极大值 所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，且在处取得极大值.当时，；当时，，如下图所示：如上图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，因此，实数的取值范围是；（2）由（1）可知，，且，，.①若，则，合乎题意；②若，则，且函数的单调递减区间为，，即，即，解得，此时.综上所述，的取值范围是.函数在区间上单调递增，，即.因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查利用函数的零点个数以及函数不等式求参数的取值范围，考查数形结合思想的应用，属于难题.（二）选考题.共10分请考生在第22、23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系中，圆C的参数方程（为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段的长. 【答案】（1）；（2）2【解析】【分析】（1）首先利用对圆C的参数方程（φ为参数）进行消参数运算，化为普通方程，再根据普通方程化极坐标方程的公式得到圆C的极坐标方程．（2）设，联立直线与圆的极坐标方程，解得；设，联立直线与直线的极坐标方程，解得，可得．【详解】（1）圆C的普通方程为，又，所以圆C的极坐标方程为.（2）设，则由解得，，得；设，则由解得，，得；所以【点睛】本题考查圆的参数方程与普通方程的互化，考查圆的极坐标方程，考查极坐标方程的求解运算，考查了学生的计算能力以及转化能力，属于基础题. 23.如图，AB是半圆的直径，O为AB的中点，、C在AB上，且，.（1）用x、y表示线段OD，CD的长度：（2）若，，，求的最小值.【答案】（1），；（2）2【解析】【分析】（1）为直径，，为半径，则.中，利用勾股定理，可求出；（2）中，则，即可得.再令，同理可得，由此解得.【详解】解：（1）直径，则半径， 在中，，即；（2）由（1）知，，即，当且仅当时，等号成立，，令则（当且仅当时，等号成立），的最小值为2.【点睛】本题考查了勾股定理，基本不等式的变形应用，考查了转化的思想，属于中档题.