2022年广西壮族自治区柳州市中考数学押题卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

考生须知：

1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产值30万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为x万千克，根据题意，列方程为（　　）

A．﹣=10 B．﹣=10

C．﹣=10 D． +=10

2．已知一个正多边形的一个外角为36°，则这个正多边形的边数是（　　）

A．8    B．9    C．10    D．11

3．夏新同学上午卖废品收入13元，记为+13元，下午买旧书支出9元，记为（　　）元．

A．+4    B．﹣9    C．﹣4    D．+9

4．下列说法中，正确的是(    )

A．两个全等三角形，一定是轴对称的

B．两个轴对称的三角形，一定是全等的

C．三角形的一条中线把三角形分成以中线为轴对称的两个图形

D．三角形的一条高把三角形分成以高线为轴对称的两个图形

5．若分式有意义，则x的取值范围是（ ）

A．x＞3 B．x＜3 C．x≠3 D．x=3

6．如图，在▱ABCD中，AB＝1，AC＝4，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC的中点，连接AE交BD于点F．若AC⊥AB，则FD的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6

7．甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，参赛学生每分钟输入汉字个数的统计结果如下表：

某同学分析上表后得出如下结论：

①甲、乙两班学生的平均成绩相同；

②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字≥150个为优秀）；

③甲班成绩的波动比乙班大．

上述结论中，正确的是（　　）

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③

8．图1和图2中所有的正方形都全等，将图1的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形不能围成正方体的位置是（　　）

A．① B．② C．③ D．④

9．下列条件中不能判定三角形全等的是(      )

A．两角和其中一角的对边对应相等 B．三条边对应相等

C．两边和它们的夹角对应相等 D．三个角对应相等

10．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔60n mile的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离为（　　）

A．60 n mile B．60 n mile C．30 n mile D．30 n mile

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．如图，一根直立于水平地面的木杆AB在灯光下形成影子AC（AC＞AB），当木杆绕点A按逆时针方向旋转，直至到达地面时，影子的长度发生变化．已知AE＝5m，在旋转过程中，影长的最大值为5m，最小值3m，且影长最大时，木杆与光线垂直，则路灯EF的高度为_____ m．

12．一次函数y=kx+b（k≠0）的图象如图所示，那么不等式kx+b＜0的解集是_____．

13．如图，在矩形ABCD中，过点A的圆O交边AB于点E，交边AD于点F，已知AD=5，AE=2，AF=1．如果以点D为圆心，r为半径的圆D与圆O有两个公共点，那么r的取值范围是______．

14．已知a＋b＝1，那么a2－b2＋2b＝________．

15．一个圆的半径为2，弦长是2，求这条弦所对的圆周角是_____．

16．如图的三角形纸片中，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，则的周长为__________.

17．如图，已知正六边形ABCDEF的外接圆半径为2cm，则正六边形的边心距是__________cm．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由．过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC=2，⊙O的半径是3，求BE的长．

19．（5分）在“植树节”期间，小王、小李两人想通过摸球的方式来决定谁去参加学校植树活动，规则如下：在两个盒子内分别装入标有数字1，2，3，4的四个和标有数字1，2，3的三个完全相同的小球，分别从两个盒子中各摸出一个球，如果所摸出的球上的数字之和小于5，那么小王去，否则就是小李去．用树状图或列表法求出小王去的概率；小李说：“这种规则不公平”，你认同他的说法吗？请说明理由．

20．（8分）某公司计划购买A，B两种型号的电脑，已知购买一台A型电脑需0.6万元，购买一台B型电脑需0.4万元，该公司准备投入资金y万元，全部用于购进35台这两种型号的电脑，设购进A型电脑x台．

（1）求y关于x的函数解析式；

（2）若购进B型电脑的数量不超过A型电脑数量的2倍，则该公司至少需要投入资金多少万元？

21．（10分）如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离BC为30m，在A点测得D点的仰角∠EAD为45°，在B点测得D点的仰角∠CBD为60°.求这两座建筑物的高度（结果保留根号）.

22．（10分）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x=1．

23．（12分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来.

24．（14分）如图，已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点C（0，3），与x轴分别交于点A，点B（3，0）．点P是直线BC上方的抛物线上一动点．求二次函数y=ax2+2x+c的表达式；连接PO，PC，并把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP′C．若四边形POP′C为菱形，请求出此时点P的坐标；当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积．

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、A

【解析】
根据题意可得等量关系：原计划种植的亩数-改良后种植的亩数=10亩，根据等量关系列出方程即可.

【详解】

设原计划每亩平均产量万千克，则改良后平均每亩产量为万千克，

根据题意列方程为：.

故选：.

【点睛】

此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系.

2、C

【解析】

试题分析：已知一个正多边形的一个外角为，则这个正多边形的边数是360÷36=10，故选C.

考点：多边形的内角和外角.

3、B

【解析】
收入和支出是两个相反的概念，故两个数字分别为正数和负数.

【详解】

收入13元记为＋13元，那么支出9元记作－9元

【点睛】

本题主要考查了正负数的运用，熟练掌握正负数的概念是本题的关键.

4、B

【解析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．

解：A. 两个全等三角形，一定是轴对称的错误，三角形全等位置上不一定关于某一直线对称，故本选项错误；

B. 两个轴对称的三角形，一定全等，正确；

C. 三角形的一条中线把三角形分成以中线为轴对称的两个图形，错误；

D. 三角形的一条高把三角形分成以高线为轴对称的两个图形，错误.

故选B.

5、C

【解析】
试题分析：∵分式有意义，∴x﹣3≠0，∴x≠3；故选C．

考点：分式有意义的条件．

6、C

【解析】
利用平行四边形的性质得出△ADF∽△EBF，得出=，再根据勾股定理求出BO的长，进而得出答案．

【详解】

解：∵在□ABCD中，对角线AC、BD相交于O，

∴BO=DO,AO=OC,AD∥BC，

∴△ADF∽△EBF，

∴=，

∵AC=4，

∴AO=2，

∵AB=1，AC⊥AB，

∴BO===3，

∴BD=6，

∵E是BC的中点，

∴==，

∴BF=2， FD=4.

故选C.

【点睛】

本题考查了勾股定理与相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握勾股定理与相似三角形的判定与性质.

7、D

【解析】

分析：根据平均数、中位数、方差的定义即可判断；

详解：由表格可知，甲、乙两班学生的成绩平均成绩相同；

根据中位数可以确定，乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数；

根据方差可知，甲班成绩的波动比乙班大．

故①②③正确，

故选D．

点睛：本题考查平均数、中位数、方差等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

8、A

【解析】
由平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点解题．

【详解】

将图1的正方形放在图2中的①的位置出现重叠的面，所以不能围成正方体，

故选A．

【点睛】

本题考查了展开图折叠成几何体，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．注意：只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图．

9、D

【解析】
解:A、符合AAS，能判定三角形全等；

B、符合SSS，能判定三角形全等；；

C、符合SAS，能判定三角形全等；

D、满足AAA，没有相对应的判定方法，不能由此判定三角形全等；

故选D．

10、B

【解析】
如图，作PE⊥AB于E．

在Rt△PAE中，∵∠PAE=45°，PA=60n mile，

∴PE=AE=×60=n mile，

在Rt△PBE中，∵∠B=30°，

∴PB=2PE=n mile．

故选B．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、7.5

【解析】

试题解析：当旋转到达地面时，为最短影长，等于AB，

∵最小值3m，

∴AB=3m，

∵影长最大时，木杆与光线垂直，

即AC=5m，

∴BC=4，

又可得△CAB∽△CFE，

∴

∵AE=5m，

∴

解得：EF=7.5m.

故答案为7.5.

点睛：相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例.

12、x＞﹣1．

【解析】
一次函数y=kx+b的图象在x轴下方时，y＜0，再根据图象写出解集即可．

【详解】

当不等式kx+b＜0时，一次函数y=kx+b的图象在x轴下方，因此x＞﹣1．

故答案为：x＞﹣1．

【点睛】

本题考查了一次函数与一元一次不等式:从函数的角度看,就是寻求使一次函数y=kx+b（k≠0）的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围;从函数图象的角度看,就是确定直线y=kx+b（k≠0）在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合.

13、

【解析】
因为以点D为圆心，r为半径的圆D与圆O有两个公共点，则圆D与圆O相交，圆心距满足关系式：|R-r|<d<R+r，求得圆D与圆O的半径代入计算即可.

【详解】

连接OA、OD，过O点作ON⊥AE，OM⊥AF.

AN=AE=1，AM=AF=2，MD=AD-AM=3

∵四边形ABCD是矩形

∴∠BAD=∠ANO=∠AMO=90°，

∴四边形OMAN是矩形

∴OM=AN=1

∴OA=,OD=

∵以点D为圆心，r为半径的圆D与圆O有两个公共点，则圆D与圆O相交

∴

【点睛】

本题考查了圆与圆相交的条件，熟记圆与圆相交时圆的半径与圆心距的关系是关键.

14、1

【解析】
解：∵a+b=1，

∴原式=

故答案为1.

【点睛】

本题考查的是平方差公式的灵活运用.

15、60°或120°

【解析】
首先根据题意画出图形,过点O作OD⊥AB于点D, 通过垂径定理, 即可推出∠AOD的度数, 求得∠AOB的度数, 然后根据圆周角定理,即可推出∠AMB和∠ANB的度数.

【详解】

解：如图：

连接OA,过点O作OD⊥AB 于点D,

OA=2,AB=,AD=BD=,

AD:OA=:2,

∠AOD=,∠ AOB=,

∠AMB=,∠ANB=.

故答案为: 或.

【点睛】

本题主要考查垂径定理与圆周角定理，注意弦所对的圆周角有两个，他们互为补角.

16、

【解析】
由折叠的性质，可知：BE=BC，DE=DC，通过等量代换，即可得到答案.

【详解】

∵沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，

∴BE=BC，DE=DC，

∴的周长=AD+DE+AE=AD+DC+AE=AC+AE=AB+BC+AC-BC-BE=8+6+5-6-6=7cm，

故答案是：

【点睛】

本题主要考查折叠的性质，根据三角形的周长定义，进行等量代换是解题的关键.

17、

【解析】

连接OA，作OM⊥AB于点M，

∵正六边形ABCDEF的外接圆半径为2cm

∴正六边形的半径为2 cm， 即OA＝2cm

在正六边形ABCDEF中，∠AOM=30°，

∴正六边形的边心距是OM= cos30°×OA=(cm)

故答案为.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、解：（1）直线CD和⊙O的位置关系是相切，理由见解析

（2）BE=1．

【解析】

试题分析：（1）连接OD，可知由直径所对的圆周角是直角可得∠DAB+∠DBA=90°，再由∠CDA=∠CBD可得∠CDA+∠ADO=90°，从而得∠CDO=90°，根据切线的判定即可得出；

（2）由已知利用勾股定理可求得DC的长，根据切线长定理有DE=EB，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．

试题解析：（1）直线CD和⊙O的位置关系是相切，

理由是：连接OD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠DAB+∠DBA=90°，

∵∠CDA=∠CBD，

∴∠DAB+∠CDA=90°，

∵OD=OA，

∴∠DAB=∠ADO，

∴∠CDA+∠ADO=90°，

即OD⊥CE，

∴直线CD是⊙O的切线，

即直线CD和⊙O的位置关系是相切；

（2）∵AC=2，⊙O的半径是3，

∴OC=2+3=5，OD=3，

在Rt△CDO中，由勾股定理得：CD=4，

∵CE切⊙O于D，EB切⊙O于B，

∴DE=EB，∠CBE=90°，

设DE=EB=x，

在Rt△CBE中，由勾股定理得：CE2=BE2+BC2，

则（4+x）2=x2+（5+3）2，

解得：x=1，

即BE=1．

考点：1、切线的判定与性质；2、切线长定理；3、勾股定理；4、圆周角定理

19、（1）；（2）规则是公平的；

【解析】

试题分析：（1）先利用画树状图展示所有12种等可能的结果数，然后根据概率公式求解即可；

（2）分别计算出小王和小李去植树的概率即可知道规则是否公平．

试题解析：（1）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中摸出的球上的数字之和小于6的情况有9种，

所以P（小王）=；

（2）不公平，理由如下：

∵P（小王）=，P（小李）=，≠，

∴规则不公平．

点睛：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

20、（1）y=0.2x+14（0＜x＜35）；（2）该公司至少需要投入资金16.4万元．

【解析】
（1）根据题意列出关于x、y的方程，整理得到y关于x的函数解析式；

（2）解不等式求出x的范围，根据一次函数的性质计算即可．

【详解】

解：（1）由题意得，0.6x+0.4×（35﹣x）=y，

整理得，y=0.2x+14（0＜x＜35）；

（2）由题意得，35﹣x≤2x，

解得，x≥，

则x的最小整数为12，

∵k=0.2＞0，

∴y随x的增大而增大，

∴当x=12时，y有最小值16.4，

答：该公司至少需要投入资金16.4万元．

【点睛】

本题考查的是一次函数的应用、一元一次不等式的应用，掌握一次函数的性质是解题的关键．

21、甲建筑物的高AB为（30－30）m，乙建筑物的高DC为30m

【解析】
如图，过A作AF⊥CD于点F，

在Rt△BCD中，∠DBC=60°，BC=30m，

∵=tan∠DBC，

∴CD=BC•tan60°=30m，

∴乙建筑物的高度为30m；

在Rt△AFD中，∠DAF=45°，

∴DF=AF=BC=30m，

∴AB=CF=CD﹣DF=（30﹣30）m，

∴甲建筑物的高度为（30﹣30）m．

22、-1.

【解析】
先化简题目中的式子，再将x的值代入化简后的式子即可解答本题．

【详解】

解：原式=，

=，

=，

=﹣，

当x=1时，

原式=﹣=﹣1．

【点睛】

本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则

23、x≥

【解析】

分析：分别求解两个不等式，然后按照不等式的确定方法求解出不等式组的解集，然后表示在数轴上即可.

详解：，

由①得，x＞﹣2；

由②得，x≥，

故此不等式组的解集为：x≥．

在数轴上表示为：．

点睛：本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

24、（1）y=﹣x2+2x+3（2）（，）（3）当点P的坐标为（，）时，四边形ACPB的最大面积值为

【解析】
（1）根据待定系数法，可得函数解析式；

（2）根据菱形的对角线互相垂直且平分，可得P点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标；

（3）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PQ的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．

【详解】

（1）将点B和点C的坐标代入函数解析式，得

解得

二次函数的解析式为y=﹣x2+2x+3；

（2）若四边形POP′C为菱形，则点P在线段CO的垂直平分线上，

如图1，连接PP′，则PE⊥CO，垂足为E，

∵C（0，3），

∴

∴点P的纵坐标，

当时，即

解得（不合题意，舍），

∴点P的坐标为

（3）如图2，

P在抛物线上，设P（m，﹣m2+2m+3），

设直线BC的解析式为y=kx+b，

将点B和点C的坐标代入函数解析式，得

解得

直线BC的解析为y=﹣x+3，

设点Q的坐标为（m，﹣m+3），

PQ=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m．

当y=0时，﹣x2+2x+3=0，

解得x1=﹣1，x2=3，

OA=1，

S四边形ABPC=S△ABC+S△PCQ+S△PBQ

当m=时，四边形ABPC的面积最大．

当m=时，，即P点的坐标为

当点P的坐标为时，四边形ACPB的最大面积值为．

【点睛】

本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用菱形的性质得出P点的纵坐标，又利用了自变量与函数值的对应关系；解（3）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质．