2022年广东省河源市市级名校中考试题猜想数学试卷含解析
展开2021-2022中考数学模拟试卷
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)
1.如图,已知点E在正方形ABCD内,满足∠AEB=90°,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是( )
A.48 B.60
C.76 D.80
2.郑州某中学在备考2018河南中考体育的过程中抽取该校九年级20名男生进行立定跳远测试,以便知道下一阶段的体育训练,成绩如下所示:
成绩(单位:米)
2.10
2.20
2.25
2.30
2.35
2.40
2.45
2.50
人数
2
3
2
4
5
2
1
1
则下列叙述正确的是( )
A.这些运动员成绩的众数是 5
B.这些运动员成绩的中位数是 2.30
C.这些运动员的平均成绩是 2.25
D.这些运动员成绩的方差是 0.0725
3.下列方程中,没有实数根的是( )
A. B.
C. D.
4.如图是由四个相同的小正方形组成的立体图形,它的俯视图为( )
A. B. C. D.
5.如图,直线a,b被直线c所截,若a∥b,∠1=50°,∠3=120°,则∠2的度数为( )
A.80° B.70° C.60° D.50°
6.若α,β是一元二次方程3x2+2x-9=0的两根,则的值是( ).
A. B.- C.- D.
7.将一副三角尺(在中,,,在中,,)如图摆放,点为的中点,交于点,经过点,将绕点顺时针方向旋转(),交于点,交于点,则的值为( )
A. B. C. D.
8.如图,在△ABC中,D、E分别是边AB、AC的中点,若BC=6,则DE的长为( )
A.2 B.3 C.4 D.6
9.下列运算结果正确的是( )
A.a3+a4=a7 B.a4÷a3=a C.a3•a2=2a3 D.(a3)3=a6
10.2018的相反数是( )
A. B.2018 C.-2018 D.
二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)
11.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB的中点,F为CD上一点,且CF=CD,过点B作BE∥DC交AF的延长线于点E,BE=12,则AB的长为_____.
12.如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=6,点D,E分别是边BC,AC上的动点,则DA+DE的最小值为_____.
13.PA、PB分别切⊙O于点A、B,∠PAB=60°,点C在⊙O上,则∠ACB的度数为_____.
14.已知(x、y、z≠0),那么的值为_____.
15.在平面直角坐标系中,点 A的坐标是(-1,2) .作点A关于x 轴的对称点,得到点A1 ,再将点A1 向下平移 4个单位,得到点A2 ,则点A2 的坐标是_________.
16.已知 ,是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根,且满足=﹣1,则m的值是____.
17.在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、直角梯形的5张纸片中随机抽取一张,抽到中心对称图形的概率是________.
三、解答题(共7小题,满分69分)
18.(10分)某学校为弘扬中国传统诗词文化,在九年级随机抽查了若干名学生进行测试,然后把测试结果分为4个等级;A、B、C、D,对应的成绩分别是9分、8分、7分、6分,并将统计结果绘制成两幅如图所示的统计图.请结合图中的信息解答下列问题:
(1)本次抽查测试的学生人数为 ,图①中的a的值为 ;
(2)求统计所抽查测试学生成绩数据的平均数、众数和中位数.
19.(5分)如图,AC是⊙O的直径,PA切⊙O于点A,点B是⊙O上的一点,且∠BAC=30°,∠APB=60°.
(1)求证:PB是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为2,求弦AB及PA,PB的长.
20.(8分)如图,△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4). 请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△ABC; 请画出△ABC关于原点对称的△ABC; 在轴上求作一点P,使△PAB的周长最小,请画出△PAB,并直接写出P的坐标.
21.(10分)已知:如图,抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A(0,6),B(6,0),C(﹣2,0),点P是线段AB上方抛物线上的一个动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当点P运动到什么位置时,△PAB的面积有最大值?
(3)过点P作x轴的垂线,交线段AB于点D,再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E,连结DE,请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
22.(10分)如图1,四边形ABCD中,,,点P为DC上一点,且,分别过点A和点C作直线BP的垂线,垂足为点E和点F.
证明:∽;
若,求的值;
如图2,若,设的平分线AG交直线BP于当,时,求线段AG的长.
23.(12分)某校学生会准备调查六年级学生参加“武术类”、“书画类”、“棋牌类”、“器乐类”四类校本课程的人数.
(1)确定调查方式时,甲同学说:“我到六年级(1)班去调查全体同学”;乙同学说:“放学时我到校门口随机调查部分同学”;丙同学说:“我到六年级每个班随机调查一定数量的同学”.请指出哪位同学的调查方式最合理.
类别
频数(人数)
频率
武术类
0.25
书画类
20
0.20
棋牌类
15
b
器乐类
合计
a
1.00
(2)他们采用了最为合理的调查方法收集数据,并绘制了如图所示的统计表和扇形统计图.
请你根据以上图表提供的信息解答下列问题:
①a=_____,b=_____;
②在扇形统计图中,器乐类所对应扇形的圆心角的度数是_____;
③若该校六年级有学生560人,请你估计大约有多少学生参加武术类校本课程.
24.(14分)雅安地震,某地驻军对道路进行清理.该地驻军在清理道路的工程中出色完成了任务.这是记者与驻军工程指挥部的一段对话:记者:你们是用9天完成4800米长的道路清理任务的?
指挥部:我们清理600米后,采用新的清理方式,这样每天清理长度是原来的2倍.
通过这段对话,请你求出该地驻军原来每天清理道路的米数.
参考答案
一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)
1、C
【解析】
试题解析:∵∠AEB=90°,AE=6,BE=8,
∴AB=
∴S阴影部分=S正方形ABCD-SRt△ABE=102-
=100-24
=76.
故选C.
考点:勾股定理.
2、B
【解析】
根据方差、平均数、中位数和众数的计算公式和定义分别对每一项进行分析,即可得出答案.
【详解】
由表格中数据可得:
A、这些运动员成绩的众数是2.35,错误;
B、这些运动员成绩的中位数是2.30,正确;
C、这些运动员的平均成绩是 2.30,错误;
D、这些运动员成绩的方差不是0.0725,错误;
故选B.
【点睛】
考查了方差、平均数、中位数和众数,熟练掌握定义和计算公式是本题的关键,平均数平均数表示一组数据的平均程度.中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(或最中间两个数的平均数);方差是用来衡量一组数据波动大小的量.
3、B
【解析】
分别计算四个方程的判别式的值,然后根据判别式的意义确定正确选项.
【详解】
解:A、△=(-2)2-4×(-3)=16>0,方程有两个不相等的两个实数根,所以A选项错误;
B、△=(-2)2-4×3=-8<0,方程没有实数根,所以B选项正确;
C、△=(-2)2-4×1=0,方程有两个相等的两个实数根,所以C选项错误;
D、△=(-2)2-4×(-1)=8>0,方程有两个不相等的两个实数根,所以D选项错误.
故选:B.
【点睛】
本题考查根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2-4ac有如下关系:当△>0根时,方程有两个不相等的两个实数根;当△=0时,方程有两个相等的两个实数根;当△<0时,方程无实数根.
4、B
【解析】
根据俯视图是从上往下看的图形解答即可.
【详解】
从上往下看到的图形是:
.
故选B.
【点睛】
本题考查三视图的知识,解决此类图的关键是由三视图得到相应的立体图形.从正面看到的图是正视图,从上面看到的图形是俯视图,从左面看到的图形是左视图,能看到的线画实线,被遮挡的线画虚线.
5、B
【解析】
直接利用平行线的性质得出∠4的度数,再利用对顶角的性质得出答案.
【详解】
解:
∵a∥b,∠1=50°,
∴∠4=50°,
∵∠3=120°,
∴∠2+∠4=120°,
∴∠2=120°-50°=70°.
故选B.
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质,正确得出∠4的度数是解题关键.
6、C
【解析】
分析:根据根与系数的关系可得出α+β=-、αβ=-3,将其代入=中即可求出结论.
详解:∵α、β是一元二次方程3x2+2x-9=0的两根,
∴α+β=-,αβ=-3,
∴===.
故选C.
点睛:本题考查了根与系数的关系,牢记两根之和等于-、两根之积等于是解题的关键.
7、C
【解析】
先根据直角三角形斜边上的中线性质得CD=AD=DB,则∠ACD=∠A=30°,∠BCD=∠B=60°,由于∠EDF=90°,可利用互余得∠CPD=60°,再根据旋转的性质得∠PDM=∠CDN=α,于是可判断△PDM∽△CDN,得到=,然后在Rt△PCD中利用正切的定义得到tan∠PCD=tan30°=,于是可得=.
【详解】
∵点D为斜边AB的中点,
∴CD=AD=DB,
∴∠ACD=∠A=30°,∠BCD=∠B=60°,
∵∠EDF=90°,
∴∠CPD=60°,
∴∠MPD=∠NCD,
∵△EDF绕点D顺时针方向旋转α(0°<α<60°),
∴∠PDM=∠CDN=α,
∴△PDM∽△CDN,
∴=,
在Rt△PCD中,∵tan∠PCD=tan30°=,
∴=tan30°=.
故选:C.
【点睛】
本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等.也考查了相似三角形的判定与性质.
8、B
【解析】
根据三角形的中位线等于第三边的一半进行计算即可.
【详解】
∵D、E分别是△ABC边AB、AC的中点,
∴DE是△ABC的中位线,
∵BC=6,
∴DE=BC=1.
故选B.
【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理,中位线是三角形中的一条重要线段,由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连,因此,它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用.
9、B
【解析】
分别根据同底数幂的乘法及除法法则、幂的乘方与积的乘方法则及合并同类项的法则对各选项进行逐一分析即可.
【详解】
A. a3+a4≠a7 ,不是同类项,不能合并,本选项错误;
B. a4÷a3=a4-3=a;,本选项正确;
C. a3•a2=a5;,本选项错误;
D.(a3)3=a9,本选项错误.
故选B
【点睛】
本题考查的是同底数幂的乘法及除法法则、幂的乘方与积的乘方法则及合并同类项的法则等知识,比较简单.
10、C
【解析】
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得.
【详解】2018与-2018只有符号不同,
由相反数的定义可得2018的相反数是-2018,
故选C.
【点睛】本题考查了相反数的定义,熟练掌握相反数的定义是解题的关键.
二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)
11、1.
【解析】
根据三角形的性质求解即可。
【详解】
解:在Rt△ABC中, D为AB的中点, 根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得:AD=BD=CD,
因为D为AB的中点, BE//DC, 所以DF是△ABE的中位线,BE=2DF=12
所以DF==6,
设CD=x,由CF=CD,则DF==6,
可得CD=9,故AD=BD=CD=9,
故AB=1,
故答案:1.
.
【点睛】
本题主要考查三角形基本概念,综合运用三角形的知识可得答案。
12、
【解析】
【分析】如图,作A关于BC的对称点A',连接AA',交BC于F,过A'作AE⊥AC于E,交BC于D,则AD=A'D,此时AD+DE的值最小,就是A'E的长,根据相似三角形对应边的比可得结论.
【详解】如图,作A关于BC的对称点A',连接AA',交BC于F,过A'作AE⊥AC于E,交BC于D,则AD=A'D,此时AD+DE的值最小,就是A'E的长;
Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=6,
∴BC==9,
S△ABC=AB•AC=BC•AF,
∴3×6=9AF,
AF=2,
∴AA'=2AF=4,
∵∠A'FD=∠DEC=90°,∠A'DF=∠CDE,
∴∠A'=∠C,
∵∠AEA'=∠BAC=90°,
∴△AEA'∽△BAC,
∴,
∴,
∴A'E=,
即AD+DE的最小值是,
故答案为.
【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题、三角形相似的性质和判定、两点之间线段最短、垂线段最短等知识,解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题.
13、60°或120°.
【解析】
连接OA、OB,根据切线的性质得出∠OAP的度数,∠OBP的度数;再根据四边形的内角和是360°,求出∠AOB的度数,有圆周角定理或圆内接四边形的性质,求出∠ACB的度数即可.
【详解】
解:连接OA、OB.
∵PA,PB分别切⊙O于点A,B,
∴OA⊥PA,OB⊥PB;
∴∠PAO=∠PBO=90°;
又∵∠APB=60°,
∴在四边形AOBP中,∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣60°=120°,
∴
即当C在D处时,∠ACB=60°.
在四边形ADBC中,∠ACB=180°﹣∠ADB=180°﹣60°=120°.
于是∠ACB的度数为60°或120°,
故答案为60°或120°.
【点睛】
本题考查的是切线的性质定理,圆内接四边形的性质,是一道基础题.
14、1
【解析】
解:由(x、y、z≠0),解得:x=3z,y=2z,原式===1.故答案为1.
点睛:本题考查了分式的化简求值和解二元一次方程组,难度适中,关键是先用z把x与y表示出来再进行代入求解.
15、(-1, -6)
【解析】
直接利用关于x轴对称点的性质得出点A1坐标,再利用平移的性质得出答案.
【详解】
∵点A的坐标是(-1,2),作点A关于x轴的对称点,得到点A1,
∴A1(-1,-2),
∵将点A1向下平移4个单位,得到点A2,
∴点A2的坐标是:(-1,-6).
故答案为:(-1, -6).
【点睛】
解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律:(1)关于x轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数;(2)关于y轴对称的点,纵坐标相同,横坐标互为相反数;(3)关于原点对称的点,横坐标与纵坐标都互为相反数.
16、3.
【解析】
可以先由韦达定理得出两个关于、的式子,题目中的式子变形即可得出相应的与韦达定理相关的式子,即可求解.
【详解】
得+=-2m-3,=m2,又因为,所以m2-2m-3=0,得m=3或m=-1,因为一元二次方程的两个不相等的实数根,所以△>0,得(2m+3)2-4×m2=12m+9>0,所以m>,所以m=-1舍去,综上m=3.
【点睛】
本题考查了根与系数的关系,将根与系数的关系与代数式相结合解题是解决本题的关键.
17、
【解析】
在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、直角梯形的5张纸片中,中心对称图案的卡片是圆、矩形、菱形,直接利用概率公式求解即可求得答案.
【详解】
∵在:等腰三角形、圆、矩形、菱形和直角梯形中属于中心对称图形的有:圆、矩形和菱形3种,
∴从这5张纸片中随机抽取一张,抽到中心对称图形的概率为:.
故答案为.
三、解答题(共7小题,满分69分)
18、(1)50、2;(2)平均数是7.11;众数是1;中位数是1.
【解析】
(1)根据A等级人数及其百分比可得总人数,用C等级人数除以总人数可得a的值;
(2)根据平均数、众数、中位数的定义计算可得.
【详解】
(1)本次抽查测试的学生人数为14÷21%=50人,a%=×100%=2%,即a=2.
故答案为50、2;
(2)观察条形统计图,平均数为=7.11.
∵在这组数据中,1出现了20次,出现的次数最多,∴这组数据的众数是1.
∵将这组数据从小到大的顺序排列,其中处于中间的两个数都是1,∴=1,∴这组数据的中位数是1.
【点睛】
本题考查了众数、平均数和中位数的定义.用到的知识点:一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数;如果这组数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.
19、(1)见解析;(2)2
【解析】
试题分析:(1)连接OB,证PB⊥OB.根据四边形的内角和为360°,结合已知条件可得∠OBP=90°得证;
(2)连接OP,根据切线长定理得直角三角形,根据含30度角的直角三角形的性质即可求得结果.
(1)连接OB.
∵OA=OB,∴∠OBA=∠BAC=30°.
∴∠AOB=80°-30°-30°=20°.
∵PA切⊙O于点A,∴OA⊥PA,
∴∠OAP=90°.
∵四边形的内角和为360°,
∴∠OBP=360°-90°-60°-20°=90°.
∴OB⊥PB.
又∵点B是⊙O上的一点,
∴PB是⊙O的切线.
(2)连接OP,
∵PA、PB是⊙O的切线,
∴PA=PB,∠OPA=∠OPB=,∠APB=30°.
在Rt△OAP中,∠OAP=90°,∠OPA=30°,
∴OP=2OA=2×2=1.
∴PA=OP2-OA2=2
∵PA=PB,∠APB=60°,
∴PA=PB=AB=2.
考点:此题考查了切线的判定、切线长定理、含30度角的直角三角形的性质
点评:要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.
20、(1)图形见解析;
(2)图形见解析;
(3)图形见解析,点P的坐标为:(2,0)
【解析】
(1)按题目的要求平移就可以了
关于原点对称的点的坐标变化是:横、纵坐标都变为相反数,找到对应点后按顺序连接即可
(3)AB的长是不变的,要使△PAB的周长最小,即要求PA+PB最小,转为了已知直线与直线一侧的两点,在直线上找一个点,使这点到已知两点的线段之和最小,方法是作A、B两点中的某点关于该直线的对称点,然后连接对称点与另一点.
【详解】
(1)△A1B1C1如图所示;
(2)△A2B2C2如图所示;
(3)△PAB如图所示,点P的坐标为:(2,0)
【点睛】
1、图形的平移;2、中心对称;3、轴对称的应用
21、(1)抛物线解析式为y=﹣x2+2x+6;(2)当t=3时,△PAB的面积有最大值;(3)点P(4,6).
【解析】
(1)利用待定系数法进行求解即可得;
(2)作PM⊥OB与点M,交AB于点N,作AG⊥PM,先求出直线AB解析式为y=﹣x+6,设P(t,﹣t2+2t+6),则N(t,﹣t+6),由S△PAB=S△PAN+S△PBN=PN•AG+PN•BM=PN•OB列出关于t的函数表达式,利用二次函数的性质求解可得;
(3)由PH⊥OB知DH∥AO,据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°,结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形,则∠EDP=45°,从而得出点E与点A重合,求出y=6时x的值即可得出答案.
【详解】
(1)∵抛物线过点B(6,0)、C(﹣2,0),
∴设抛物线解析式为y=a(x﹣6)(x+2),
将点A(0,6)代入,得:﹣12a=6,
解得:a=﹣,
所以抛物线解析式为y=﹣(x﹣6)(x+2)=﹣x2+2x+6;
(2)如图1,过点P作PM⊥OB与点M,交AB于点N,作AG⊥PM于点G,
设直线AB解析式为y=kx+b,
将点A(0,6)、B(6,0)代入,得:
,
解得:,
则直线AB解析式为y=﹣x+6,
设P(t,﹣t2+2t+6)其中0<t<6,
则N(t,﹣t+6),
∴PN=PM﹣MN=﹣t2+2t+6﹣(﹣t+6)=﹣t2+2t+6+t﹣6=﹣t2+3t,
∴S△PAB=S△PAN+S△PBN
=PN•AG+PN•BM
=PN•(AG+BM)
=PN•OB
=×(﹣t2+3t)×6
=﹣t2+9t
=﹣(t﹣3)2+,
∴当t=3时,△PAB的面积有最大值;
(3)△PDE为等腰直角三角形,
则PE=PD,
点P(m,-m2+2m+6),
函数的对称轴为:x=2,则点E的横坐标为:4-m,
则PE=|2m-4|,
即-m2+2m+6+m-6=|2m-4|,
解得:m=4或-2或5+或5-(舍去-2和5+)
故点P的坐标为:(4,6)或(5-,3-5).
【点睛】
本题考查了二次函数的综合问题,涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等,熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.
22、(1)证明见解析;(2);(3).
【解析】
由余角的性质可得,即可证∽;
由相似三角形的性质可得,由等腰三角形的性质可得,即可求的值;
由题意可证∽,可得,可求,由等腰三角形的性质可得AE平分,可证,可得是等腰直角三角形,即可求AG的长.
【详解】
证明:,
又,
又,
∽
∽,
又,,
如图,延长AD与BG的延长线交于H点
,
∽
∴
,由可知≌
,
,
代入上式可得,
∽,
,,
∴
,,
平分
又平分,
,
是等腰直角三角形.
∴.
【点睛】
本题考查的知识点是全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,解题关键是添加恰当辅助线构造相似三角形.
23、(1)见解析; (2)① a=100,b=0.15; ②144°;③140人.
【解析】
(1)采用随机调查的方式比较合理,随机调查的关键是调查的随机性,这样才合理;
(2)①用喜欢书画类的频数除以喜欢书画类的频率即可求得a值,用喜欢棋牌类的人数除以总人数即可求得b值.②求得器乐类的频率乘以360°即可.③用总人数乘以喜欢武术类的频率即可求喜欢武术的总人数.
【详解】
(1)∵调查的人数较多,范围较大,
∴应当采用随机抽样调查,
∵到六年级每个班随机调查一定数量的同学相对比较全面,
∴丙同学的说法最合理.
(2)①∵喜欢书画类的有20人,频率为0.20,
∴a=20÷0.20=100,
b=15÷100=0.15;
②∵喜欢器乐类的频率为:1﹣0.25﹣0.20﹣0.15=0.4,
∴喜欢器乐类所对应的扇形的圆心角的度数为:360×0.4=144°;
③喜欢武术类的人数为:560×0.25=140人.
【点睛】
本题考查了用样本估计总体和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.
24、1米.
【解析】
试题分析:根据题意可以列出相应的分式方程,然后解分式方程,即可得到结论.
试题解析:解:设原来每天清理道路x米,根据题意得:
解得,x=1.
检验:当x=1时,2x≠0,∴x=1是原方程的解.
答:该地驻军原来每天清理道路1米.
点睛:本题考查分式方程的应用,解题的关键是明确分式方程的解答方法,注意分式方程要验根.
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