2022年黑龙江省松北区达标名校中考数学最后一模试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项：

1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．已知a=（+1）2，估计a的值在（　　）

A．3 和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间

2． 的相反数是（　　）

A．﹣ B． C． D．2

3．一元二次方程x2+2x﹣15=0的两个根为（　　）

A．x1=﹣3，x2=﹣5    B．x1=3，x2=5

C．x1=3，x2=﹣5    D．x1=﹣3，x2=5

4．已知二次函数的与的不符对应值如下表：

且方程的两根分别为，，下面说法错误的是（   ）．

A．， B．

C．当时， D．当时，有最小值

5．如图，一次函数和反比例函数的图象相交于，两点，则使成立的取值范围是(　　)

A．或 B．或

C．或 D．或

6．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

7．如果a﹣b=5，那么代数式（﹣2）•的值是（　　）

A．﹣ B． C．﹣5 D．5

8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，点E是△ABC的内心，过点E作EF∥AB交AC于点F，则EF的长为(      )

A． B． C． D．

9．已知线段AB=8cm，点C是直线AB上一点，BC=2cm，若M是AB的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度为（　　）

A．5cm B．5cm或3cm C．7cm或3cm D．7cm

10．某几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，其主视图与左视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体最少有（　　）

A．4个 B．5个 C．6个 D．7个

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3000元．若每个篮球80元，每个足球50元，则篮球最多可购买_____个．

12．一组数据4，3，5，x，4，5的众数和中位数都是4，则x=_____．

13．2017年7月27日上映的国产电影《战狼2》，风靡全国．剧中“犯我中华者，虽远必诛”鼓舞人心，彰显了祖国的强大实力与影响力，累计票房56.8亿元．将56.8亿元用科学记数法表示为_____元．

14．分解因式：x2y﹣6xy+9y=_____．

15．有下列等式：①由a=b，得5﹣2a=5﹣2b；②由a=b，得ac=bc；③由a=b，得；④由，得3a=2b；

⑤由a2=b2，得a=b．其中正确的是_____．

16．从﹣1，2，3，﹣6这四个数中任选两数，分别记作m，n，那么点（m，n）在函数图象上的概率是   ．

17．如图，已知一次函数y=ax+b和反比例函数的图象相交于A（﹣2，y1）、B（1，y2）两点，则不等式ax+b＜的解集为 __________

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）如图，六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形，AB是其中一个小长方形的对角线，请在大长方形中完成下列画图，要求：①仅用无刻度直尺，②保留必要的画图痕迹．

在图1中画出一个45°角，使点A或点B是这个角的顶点，且AB为这个角的一边；在图2中画出线段AB的垂直平分线．

19．（5分）如图,甲、乙用4张扑克牌玩游戏,他俩将扑克牌洗匀后背面朝上,放置在桌面上,每人抽一张,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回.甲、乙约定:只有甲抽到的牌面数字比乙大时甲胜;否则乙胜.请你用树状图或列表法说明甲、乙获胜的机会是否相同 .

20．（8分）如图，现有一块钢板余料，它是矩形缺了一角，.王师傅准备从这块余料中裁出一个矩形（为线段上一动点）.设，矩形的面积为.

（1）求与之间的函数关系式，并注明的取值范围；

（2）为何值时，取最大值？最大值是多少？

21．（10分）阅读下列材料：

题目：如图，在△ABC中，已知∠A（∠A＜45°），∠C=90°，AB=1，请用sinA、cosA表示sin2A．

22．（10分）一辆高铁与一辆动车组列车在长为1320千米的京沪高速铁路上运行，已知高铁列车比动车组列车平均速度每小时快99千米，且高铁列车比动车组列车全程运行时间少3小时，求这辆高铁列车全程运行的时间和平均速度．

23．（12分）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠C=90°，tanB=，过点B的直线l是⊙O的切线，点D是直线l上一点，过点D作DE⊥CB交CB延长线于点E，连接AD，交⊙O于点F，连接BF、CD交于点G．

（1）求证：△ACB∽△BED；

（2）当AD⊥AC时，求 的值；

（3）若CD平分∠ACB，AC=2，连接CF，求线段CF的长．

24．（14分）“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5000元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元．求第一批盒装花每盒的进价是多少元？

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、D

【解析】
首先计算平方，然后再确定的范围，进而可得4+的范围．

【详解】

解：a=×（7+1+2）=4+，

∵2＜＜3，

∴6＜4+＜7，

∴a的值在6和7之间，

故选D．

【点睛】

此题主要考查了估算无理数的大小，用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．

2、A

【解析】

分析：

根据相反数的定义结合实数的性质进行分析判断即可.

详解：

的相反数是.

故选A.

点睛：熟记相反数的定义：“只有符号不同的两个数（实数）互为相反数”是正确解答这类题的关键.

3、C

【解析】
运用配方法解方程即可.

【详解】

解：x2+2x﹣15= x2+2x+1-16=(x+1)2-16=0，即(x+1)2=16，解得，x1=3，x2=-5.

故选择C.

【点睛】

本题考查了解一元二次方程，选择合适的解方程方法是解题关键.

4、C

【解析】
分别结合图表中数据得出二次函数对称轴以及图像与x轴交点范围和自变量x与y的对应情况，进而得出答案.

【详解】

A、利用图表中x＝0，1时对应y的值相等，x＝﹣1，2时对应y的值相等，∴x＝﹣2，5时对应y的值相等，∴x＝﹣2，y＝5，故此选项正确；B、方程ax2＋bc＋c＝0的两根分别是x1、x2（x1＜x2），且x＝1时y＝﹣1；x＝2时，y＝1，∴1＜x2＜2，故此选项正确；C、由题意可得出二次函数图像向上，∴当x1＜x＜x2时，y＜0，故此选项错误；D、∵利用图表中x＝0，1时对应y的值相等，∴当x＝时，y有最小值，故此选项正确，不合题意.所以选C.

【点睛】

此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及利用图像上点的坐标得出函数的性质，利用数形结合得出是解题关键.

5、B

【解析】
根据图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的自变量的取值范围即可.

【详解】

观察函数图象可发现：或时，一次函数图象在反比例函数图象上方，

∴使成立的取值范围是或，

故选B．

【点睛】

本题考查了反比例函数与一次函数综合，函数与不等式，利用数形结合思想是解题的关键.

6、C

【解析】
分为三种情况：①AP=OP，②AP=OA，③OA=OP，分别画出即可．

【详解】

如图，

分OP=AP（1点），OA=AP（1点），OA=OP（2点）三种情况讨论.

∴以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有4个.

故选C.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定和坐标与图形的性质，主要考查学生的动手操作能力和理解能力，注意不要漏解．

7、D

【解析】

【分析】先对括号内的进行通分，进行分式的加减法运算，然后再进行分式的乘除法运算，最后把a-b=5整体代入进行求解即可.

【详解】（﹣2）•

=

=

=a-b，

当a-b=5时，原式=5，

故选D.

8、A

【解析】
过E作EG∥AB，交AC于G，易得CG=EG，EF=AF，依据△ABC∽△GEF，即可得到EG：EF：GF，根据斜边的长列方程即可得到结论．

【详解】

过E作EG∥BC，交AC于G，则∠BCE=∠CEG．

∵CE平分∠BCA，∴∠BCE=∠ACE，∴∠ACE=∠CEG，∴CG=EG，同理可得：EF=AF．

∵BC∥GE，AB∥EF，∴∠BCA=∠EGF，∠BAC=∠EFG，∴△ABC∽△GEF．

∵∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∴AC=10，∴EG：EF：GF=BC：BC：AC=4：3：5，设EG=4k=AG，则EF=3k=CF，FG=5k．

∵AC=10，∴3k+5k+4k=10，∴k=，∴EF=3k=．

故选A．

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构相似三角形以及构造等腰三角形．

9、B

【解析】

（1）如图1，当点C在点A和点B之间时，

∵点M是AB的中点，点N是BC的中点，AB=8cm，BC=2cm，

∴MB=AB=4cm，BN=BC=1cm，

∴MN=MB-BN=3cm；

（2）如图2，当点C在点B的右侧时，

∵点M是AB的中点，点N是BC的中点，AB=8cm，BC=2cm，

∴MB=AB=4cm，BN=BC=1cm，

∴MN=MB+BN=5cm.

综上所述，线段MN的长度为5cm或3cm.

故选B.

点睛：解本题时，由于题目中告诉的是点C在直线AB上，因此根据题目中所告诉的AB和BC的大小关系要分点C在线段AB上和点C在线段AB的延长线上两种情况分析解答，不要忽略了其中任何一种.

10、B

【解析】
由主视图和左视图确定俯视图的形状，再判断最少的正方体的个数．

【详解】由主视图和左视图可确定所需正方体个数最少时俯视图（数字为该位置小正方体的个数）为：

则搭成这个几何体的小正方体最少有5个，

故选B．

【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，根据主视图和左视图画出所需正方体个数最少的俯视图是关键．

【详解】

请在此输入详解！

【点睛】

请在此输入点睛！

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、1

【解析】
设购买篮球x个，则购买足球个，根据总价单价购买数量结合购买资金不超过3000元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大整数即可．

【详解】

设购买篮球x个，则购买足球个，

根据题意得：，

解得：．

为整数，

最大值为1．

故答案为1．

【点睛】

本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．

12、1

【解析】
一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，由此可得出答案．

【详解】

∵一组数据1，3，5，x，1，5的众数和中位数都是1，

∴x=1，

故答案为1．

【点睛】

本题考查了众数的知识，解答本题的关键是掌握众数的定义．

13、5.68×109

【解析】

试题解析：科学记数法的表示形式为的形式，其中 为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，是正数；当原数的绝对值<1时，是负数．

56.8亿

故答案为

14、y（x﹣3）2

【解析】

本题考查因式分解．

解答：．

15、①②④

【解析】

①由a=b,得5﹣2a=5﹣2b,根据等式的性质先将式子两边同时乘以-2,再将等式两边同时加上5,等式仍成立,所以本选项正确,

②由a=b,得ac=bc,根据等式的性质,等式两边同时乘以相同的式子,等式仍成立,所以本选项正确,

③由a=b,得,根据等式的性质,等式两边同时除以一个不为0的数或式子,等式仍成立,因为可能为0,所以本选项不正确,

④由,得3a=2b, 根据等式的性质,等式两边同时乘以相同的式子6c,等式仍成立,所以本选项正确,

⑤因为互为相反数的平方也相等,由a2=b2,得a=b,或a=-b,所以本选项错误,

故答案为: ①②④.

16、．

【解析】

试题分析：画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，点（m，n）恰好在反比例函数图象上的有：（2，3），（﹣1，﹣6），（3，2），（﹣6，﹣1），∴点（m，n）在函数图象上的概率是：=．故答案为．

考点：反比例函数图象上点的坐标特征；列表法与树状图法．

17、﹣2＜x＜0或x＞1

【解析】
根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集．

【详解】

观察函数图象，发现：当﹣2＜x＜0或x＞1时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，

∴不等式ax+b＜的解集是﹣2＜x＜0或x＞1．

【点睛】

本题主要考查一次函数图象与反比例函数图象，数形结合思想是关键.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、（1）答案见解析；（2）答案见解析．

【解析】

试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质即可解决问题．

（2）根据正方形、长方形的性质对角线相等且互相平分，即可解决问题．

试题解析：（1）如图所示，∠ABC=45°．（AB、AC是小长方形的对角线）．

（2）线段AB的垂直平分线如图所示，点M是长方形AFBE是对角线交点，点N是正方形ABCD的对角线的交点，直线MN就是所求的线段AB的垂直平分线．

考点：作图—应用与设计作图．

19、甲、乙获胜的机会不相同.

【解析】试题分析：先画出树状图列举出所有情况，再分别算出甲、乙获胜的概率，比较即可判断.

∴

∴甲、乙获胜的机会不相同.

考点：可能性大小的判断

点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握概率的求法，即可完成.

20、（1）；（1）时，取最大值，为.

【解析】
（1）分别延长DE，FP，与BC的延长线相交于G，H，由AF=x知CH=x-4，根据，即 可得z=，利用矩形的面积公式即可得出解析式；
（1）将（1）中所得解析式配方成顶点式，利用二次函数的性质解答可得．

【详解】

解：（1）分别延长DE，FP，与BC的延长线相交于G，H，

∵AF=x，
∴CH=x-4，
设AQ=z，PH=BQ=6-z，
∵PH∥EG，
∴，即，
化简得z=，
∴y=•x=-x1+x （4≤x≤10）；

（1）y=-x1+x=-（x-）1+，
当x=dm时，y取最大值，最大值是dm1．

【点睛】

本题考查了二次函数的应用，解题的关键是根据相似三角形的性质得出矩形另一边AQ的长及二次函数的性质．

21、sin2A=2cosAsinA

【解析】
先作出直角三角形的斜边的中线，进而求出，∠CED=2∠A，最后用三角函数的定义即可得出结论

【详解】

解：如图，

作Rt△ABC的斜边AB上的中线CE，

则

∴∠CED=2∠A，

过点C作CD⊥AB于D，

在Rt△ACD中，CD=ACsinA，

在Rt△ABC中，AC=ABcosA=cosA

在Rt△CED中，sin2A=sin∠CED== 2ACsinA=2cosAsinA

【点睛】

此题主要解直角三角形，锐角三角函数的定义，直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，构造出直角三角形和∠CED=2∠A是解本题的关键．

22、这辆高铁列车全程运行的时间为1小时，平均速度为264千米/小时．

【解析】
设动车组列车的平均速度为x千米/小时，则高铁列车的平均速度为（x+99）千米/小时，根据时间=路程÷速度结合高铁列车比动车组列车全程运行时间少3小时，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．

【详解】

设动车组列车的平均速度为x千米/小时，则高铁列车的平均速度为（x+99）千米/小时，

根据题意得：﹣=3，

解得：x1=161，x2=﹣264（不合题意，舍去），

经检验，x=161是原方程的解，

∴x+99=264，1320÷（x+99）=1．

答：这辆高铁列车全程运行的时间为1小时，平均速度为264千米/小时．

【点睛】

本题考查了列分式方程解实际问题的运用及分式方程的解法的运用,解答时根据条件建立方程是关键,解答时对求出的根必须检验,这是解分式方程的必要步骤.

23、（1）详见解析；（2） ；（3）.

【解析】
（1）只要证明∠ACB=∠E，∠ABC=∠BDE即可；

（2）首先证明BE：DE：BC=1：2：4，由△GCB∽△GDF，可得=；

（3）想办法证明AB垂直平分CF即可解决问题.

【详解】

（1）证明：如图1中，

∵DE⊥CB，

∴∠ACB=∠E=90°，

∵BD是切线，

∴AB⊥BD，

∴∠ABD=90°，

∴∠ABC+∠DBE=90°，∠BDE+∠DBE=90°，

∴∠ABC=∠BDE，

∴△ACB∽△BED；

（2）解：如图2中，

∵△ACB∽△BED；四边形ACED是矩形，

∴BE：DE：BC=1：2：4，

∵DF∥BC，

∴△GCB∽△GDF，

∴=；

（3）解：如图3中，

∵tan∠ABC==，AC=2，

∴BC=4，BE=4，DE=8，AB=2，BD=4，

易证△DBE≌△DBF，可得BF=4=BC，

∴AC=AF=2，

∴CF⊥AB，设CF交AB于H,

则CF=2CH=2×.

【点睛】

本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的性质、解直角三角形、线段的垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，所以中考常考题型．

24、30元

【解析】

试题分析：设第一批盒装花的进价是x元/盒，则第一批进的数量是：，第二批进的数量是：，再根据等量关系：第二批进的数量=第一批进的数量×2可得方程．

解：设第一批盒装花的进价是x元/盒，则

2×=，

解得 x=30

经检验，x=30是原方程的根．

答：第一批盒装花每盒的进价是30元．

考点：分式方程的应用．