2020-2021学年北京市西城区九年级上学期期末数学试卷（解析版）人教版

这是一份2020-2021学年北京市西城区九年级上学期期末数学试卷（解析版）人教版，共28页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021 学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共 24 分，每小题 3 分）第 1～8 题均有四个选项，符合题意的选项只有 一个.
1．在抛物线 y＝x2﹣4x﹣5 上的一个点的坐标为（ ）
A．（0，﹣4） B．（2，0） C．（1，0） D．（﹣1，0） 2．在半径为 6cm 的圆中，60°的圆心角所对弧的弧长是（ ）
A．πcm B．2πcm C．3πcm D．6πcm
3．将抛物线 y＝x2 先向右平移 3 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度，所得抛物线的解
析式为（ ）

A．y＝（x+3）2+5 B．y＝（x﹣3）2+5 C．y＝（x+5）2+3 D．y＝（x﹣5）2+3 4．2020 年是紫禁城建成 600 年暨故宫博物院成立 95 周年，在此之前有多个国家曾发行过
紫禁城元素的邮品．图 1 所示的摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门和
大门内的石狮和太和殿作为邮票和小型张的边饰，如果标记出图 1 中大门的门框并画出 相关的几何图形（图 2），我们发现设计师巧妙地使用了数学元素（忽略误差），图 2 中的 四边形 ABCD 与四边形 A'B'C'D'是位似图形，点 O 是位似中心，点 A'是线段 OA 的中点， 那么以下结论正确的是（ ）


A．四边形 ABCD 与四边形 A'B'C'D'的相似比为 1：1 B．四边形 ABCD 与四边形 A'B'C'D'的相似比为 1：2 C．四边形 ABCD 与四边形 A'B'C'D'的周长比为 3：1 D．四边形 ABCD 与四边形 A'B'C'D'的面积比为 4：1
5．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，若∠CDB＝32°，则∠ABC 等于（ ）




A．68° B．64° C．58° D．32°
6．若抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）经过 A（1，0），B（3，0）两点，则抛物线的对称轴为（ ）
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4 7．近年来我国无人机产业迅猛发展，无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业，中国民
用航空局的现有统计数据显示，从 2017 年底至 2019 年底，全国拥有民航局颁发的民用
无人机驾驶执照的人数已由约 2.44 万人增加到约 6.72 万人．若设 2017 年底至 2019 年底， 全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为 x，则可列出关于 x 的方程为（ ） A．2.44（1+x）＝6.72 B．2.44（1+2x）＝6.72
C．2.44（1+x）2＝6.72 D．2.44（1﹣x）2＝6.72
8．现有函数 y＝如果对于任意的实数 n，都存在实数 m，使得当 x＝m 时，
y＝n，那么实数 a 的取值范围是（ ）
A．﹣5≤a≤4 B．﹣1≤a≤4 C．﹣4≤a≤1 D．﹣4≤a≤5
二、填空题（本题共 24 分，每小题 3 分）
9．若正六边形的边长为 2，则它的半径是 ．
10．若抛物线 y＝ax2（a≠0）经过 A（1，3），则该抛物线的解析式为 ．

11．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝9，则 sinB＝ ．



12．若抛物线 y＝ax2+bx+c（a+0）的示意图如图所示，则 a 0，b 0，c 0

（填“＞”，“＝”或“＜”）．




13．如图，AB 为⊙O 的直径，AB＝10，CD 是弦，AB⊥CD 于点 E，若 CD＝6，则 EB＝ ．






14．如图，PA，PB 是⊙O 的两条切线，A，B 为切点，若 OA＝2，∠APB＝60°，则 PB＝ ．







15．放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小． 制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点 A，B，C，D 处连接起来，使得 直尺可以绕着这些点转动，O 为固定点，OD＝DA＝CB，DC＝AB＝BE，在点 A，E 处分 别装上画笔．
画图：现有一图形 M，画图时固定点 O，控制点 A 处的笔尖沿图形 M 的轮廓线移动，此 时点 E 处的画笔便画出了将图形 M 放大后的图形 N．
原理：

若连接 OA，OE，可证得以下结论：
①△ODA 和△OCE 为等腰三角形，则∠DOA＝ （180°﹣∠ODA），∠COE＝ （180°
﹣∠ ）；

②四边形 ABCD 为平行四边形（理由是 ）；

③∠DOA＝∠COE，于是可得 O，A，E 三点在一条直线上；
④当 时，图形 N 是以点 O 为位似中心，把图形 M 放大为原来的 倍得到的．


16．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，P（4，3），⊙O 经过点 P．点 A，点 B 在 y 轴上，PA
＝PB，延长 PA，PB 分别交⊙O 于点 C，点 D，设直线 CD 与 x 轴正方向所夹的锐角为 α．
（1）⊙O 的半径为 ；
（2）tanα＝ ．











三、解答题（本题共 52 分，第 17、18、20～22 题每小题 5 分，第 19 题 6 分，第 23～25
题每小题 5 分） 17．计算：2sin60°﹣tan45°+cos230°． 18．已知关于 x 的方程 x2+2x+k﹣4＝0．
（1）如果方程有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围；
（2）若 k＝1，求该方程的根．
19．借助网格画图并说理：

如图所示的网格是正方形网格，△ABC 的三个顶点是网格线的交点，点 A 在 BC 边的上 方，AD⊥BC 于点 D，BD＝4，CD＝2，AD＝3．以 BC 为直径作⊙O，射线 DA 交⊙O 于
点 E，连接 BE，CE．
（1）补全图形；
（2）填空：∠BEC＝ °，理由是 ；

（3）判断点 A 与⊙O 的位置关系并说明理由；
（4）∠BAC ∠BEC（填“＞”，“＝”或“＜”）．


20．二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（3，0）点，当 x＝1 时，函数的最小值为﹣
4．
（1）求该二次函数的解析式并画出它的图象；
（2）直线 x＝m 与抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）和直线 y＝x﹣3 的交点分别为点 C，点 D， 点 C 位于点 D 的上方，结合函数的图象直接写出 m 的取值范围．
21．如图，AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，点 D 在⊙O 外，∠BCD＝∠A，OD 交⊙O 于点 E．
（1）求证：CD 是⊙O 的切线；
（2）若 CD＝4，AC＝2.7，cos∠BCD＝，求 DE 的长．


22．如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在 AB 边上，BE＝1，F 为 BC 边的中点．将正 方形截去一个角后得到一个五边形 AEFCD，点 P 在线段 EF 上运动（点 P 可与点 E，点 F 重合），作矩形 PMDN，其中 M，N 两点分别在 CD，AD 边上．
设 CM＝x，矩形 PMDN 的面积为 S．
（1）DM＝ （用含 x 的式子表示），x 的取值范围是 ；

（2）求 S 与 x 的函数关系式；
（3）要使矩形 PMDN 的面积最大，点 P 应在何处？并求最大面积．









23．已知抛物线 y＝ x2+x．


（1）直接写出该抛物线的对称轴，以及抛物线与 y 轴的交点坐标；
（2）已知该抛物线经过 A（3n+4，y1），B（2n﹣1，y2）两点．
①若 n＜﹣5，判断 y1 与 y2 的大小关系并说明理由；
②若 A，B 两点在抛物线的对称轴两侧，且 y1＞y2，直接写出 n 的取值范围．
24．在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝．将△ABC 绕点 B 顺时针旋 转 α（0°＜α≤120°）得到△A'BC'，点 A，点 C 旋转后的对应点分别为点 A'，点 C'．
（1）如图 1，当点 C'恰好为线段 AA'的中点时，α＝ °，AA'＝ ；
（2）当线段 AA'与线段 CC'有交点时，记交点为点 D．
①在图 2 中补全图形，猜想线段 AD 与 A'D 的数量关系并加以证明；
②连接 BD，请直接写出 BD 的长的取值范围．









25．对于平面内的图形 G1 和图形 G2，记平面内一点 P 到图形 G1 上各点的最短距离为 d， 点 P 到图形 G2 上各点的最短距离为 d2，若 d1＝d2，就称点 P 是图形 G1 和图形 G2 的一 个“等距点”．
在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（6，0），B（0，2）．
（1）在 R（3，0），S（2，0），T（1，）三点中，点 A 和点 B 的等距点是 ；
（2）已知直线 y＝﹣2．
①若点 A 和直线 y＝﹣2 的等距点在 x 轴上，则该等距点的坐标为 ；
②若直线 y＝a 上存在点 A 和直线 y＝﹣2 的等距点，求实数 a 的取值范围；


（3）记直线 AB 为直线 l1，直线 l2：y＝﹣ x，以原点 O 为圆心作半径为 r 的⊙O．若
⊙O 上有 m 个直线 l1 和直线 l2 的等距点，以及 n 个直线 l1 和 y 轴的等距点（m≠0，n≠0），
当 m≠n 时，求 r 的取值范围．


2020-2021 学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析

一．选择题（共 8 小题）
1．在抛物线 y＝x2﹣4x﹣5 上的一个点的坐标为（ ）
A．（0，﹣4） B．（2，0） C．（1，0） D．（﹣1，0）
【分析】把各个点的坐标代入验证即可．

【解答】解：当 x＝0 时，y＝﹣5，因此（0，﹣4）不在抛物线 y＝x2﹣4x﹣5， 当 x＝2 时，y＝4﹣8﹣5＝﹣9，因此（2，0）不在抛物线 y＝x2﹣4x﹣5 上，
当 x＝1 时，y＝1﹣4﹣5＝﹣8，因此（1，0）不在抛物线 y＝x2﹣4x﹣5 上， 当 x＝﹣1 时，y＝1+4﹣5＝0，因此（﹣1，0）在抛物线 y＝x2﹣4x﹣5 上， 故选：D．
2．在半径为 6cm 的圆中，60°的圆心角所对弧的弧长是（ ）
A．πcm B．2πcm C．3πcm D．6πcm
【分析】弧长公式为 ，把半径和圆心角代入公式计算就可以求出弧长．
【解答】解：弧长为： ＝2π（cm）．
故选：B．
3．将抛物线 y＝x2 先向右平移 3 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度，所得抛物线的解 析式为（ ）
A．y＝（x+3）2+5 B．y＝（x﹣3）2+5 C．y＝（x+5）2+3 D．y＝（x﹣5）2+3
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．

【解答】解：将抛物线 y＝x2 先向右平移 3 个单位长度，得：y＝（x﹣3）2； 再向上平移 5 个单位长度，得：y＝（x﹣3）2+5，
故选：B．
4．2020 年是紫禁城建成 600 年暨故宫博物院成立 95 周年，在此之前有多个国家曾发行过
紫禁城元素的邮品．图 1 所示的摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门和
大门内的石狮和太和殿作为邮票和小型张的边饰，如果标记出图 1 中大门的门框并画出 相关的几何图形（图 2），我们发现设计师巧妙地使用了数学元素（忽略误差），图 2 中的 四边形 ABCD 与四边形 A'B'C'D'是位似图形，点 O 是位似中心，点 A'是线段 OA 的中点，

那么以下结论正确的是（ ）


A．四边形 ABCD 与四边形 A'B'C'D'的相似比为 1：1 B．四边形 ABCD 与四边形 A'B'C'D'的相似比为 1：2 C．四边形 ABCD 与四边形 A'B'C'D'的周长比为 3：1 D．四边形 ABCD 与四边形 A'B'C'D'的面积比为 4：1
【分析】先利用位似的性质得到 A′B′：AB＝1：2，然后根据相似的性质进行判断．
【解答】解：∵四边形 ABCD 与四边形 A'B'C'D'是位似图形，点 O 是位似中心，点 A'是 线段 OA 的中点，
∴OA′：OA＝1：2，
∴A′B′：AB＝1：2，
∴四边形 ABCD 与四边形 A'B'C'D'的相似比为 2：1，周长的比为 2：1，面积比为 4：1． 故选：D．
5．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，若∠CDB＝32°，则∠ABC 等于（ ）






A．68° B．64° C．58° D．32°
【分析】先由圆周角定理可知∠ACB＝90°，再求出∠ADC＝58°，然后由圆周角定理 求解即可．
【解答】解：∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADC+∠CDB＝90°，
∴∠ADC＝90°﹣∠CDB＝90°﹣32°＝58°，

∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ABC＝58°， 故选：C．
6．若抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）经过 A（1，0），B（3，0）两点，则抛物线的对称轴为（ ）
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4
【分析】由 A、B 两点的坐标，根据抛物线的对称性可求得答案．
【解答】解：∵抛物线 y＝x2+bx+c 经过 A（1，0）、B（3，0）两点，
∴抛物线对称轴为直线 x＝＝2， 故选：B．
7．近年来我国无人机产业迅猛发展，无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业，中国民 用航空局的现有统计数据显示，从 2017 年底至 2019 年底，全国拥有民航局颁发的民用
无人机驾驶执照的人数已由约 2.44 万人增加到约 6.72 万人．若设 2017 年底至 2019 年底， 全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为 x，则可列出关于 x 的方程为（ ） A．2.44（1+x）＝6.72 B．2.44（1+2x）＝6.72
C．2.44（1+x）2＝6.72 D．2.44（1﹣x）2＝6.72
【分析】设年平均增长率为 x，根据 2017 年及 2019 年的全国拥有民航局颁发的民用无人 机驾驶执照的人数，即可得出关于 x 的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设 2017 年底至 2019 年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增 长率为 x，
则可列出关于 x 的方程为 2.44（1+x）2＝6.72， 故选：C．
8．现有函数 y＝如果对于任意的实数 n，都存在实数 m，使得当 x＝m 时，
y＝n，那么实数 a 的取值范围是（ ）
A．﹣5≤a≤4 B．﹣1≤a≤4 C．﹣4≤a≤1 D．﹣4≤a≤5
【分析】求得直线 y＝x+4 与抛物线 y＝x2﹣2x 的交点坐标，然后观察图象即可求得 a 的 取值范围．
【解答】解：令 x+4＝x2﹣2x， 整理得，x2﹣3x﹣4＝0，

解得 x1＝﹣1，x2＝4，
由图象可知，当﹣1≤a≤4 时，对于任意的实数 n，都存在实数 m，使得当 x＝m 时，函 数 y＝n，
故选：B．


二．填空题（共 8 小题）
9．若正六边形的边长为 2，则它的半径是 2 ．

【分析】先根据题意画出图形，再根据正六边形的性质求出∠BOC 的度数，判断出△BOC 为等边三角形即可求出答案．
【解答】解：如图所示，连接 OB、OC；
∵此六边形是正六边形，
∴∠BOC＝ ＝60°，
∵OB＝OC，
∴△BOC 是等边三角形，
∴OB＝OC＝BC＝2． 故答案为：2．


10．若抛物线 y＝ax2（a≠0）经过 A（1，3），则该抛物线的解析式为 y＝3x2 ．


【分析】把把 A（1，3）代入 y＝ax2（a≠0）中，可得 a＝3，即可得出答案．
【解答】解：把 A（1，3）代入 y＝ax2（a≠0）中， 得 3＝a×12，
解得 a＝3， 所以该抛物线的解析式为 y＝3x2． 故答案为：y＝3x2．
11．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝9，则 sinB＝ ．


【分析】根据正弦的定义解答即可．
【解答】解：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝9， 则 sinB＝＝ ＝ ，
故答案为： ．
12．若抛物线 y＝ax2+bx+c（a+0）的示意图如图所示，则 a ＞ 0，b ＜ 0，c ＜ 0

（填“＞”，“＝”或“＜”）．


【分析】根据抛物线的开口方向得到 a＞0，利用对称轴位置得到 b＜0，由抛物线与 y 轴 交于负半轴得到 c＜0．
【解答】解：∵抛物线开口方向向上，

∴a＞0，
∵对称轴在 y 轴的右侧，
∴b＜0，

∵抛物线与 y 轴交于负半轴，
∴c＜0． 故答案为＞，＜，＜．
13．如图，AB 为⊙O 的直径，AB＝10，CD 是弦，AB⊥CD 于点 E，若 CD＝6，则 EB＝ 1 ．







【分析】连接 OC，根据垂径定理得出 CE＝ED＝CD＝3，然后在 Rt△OEC 中由勾股 定理求出 OE 的长度，即可得出结果．
【解答】解：连接 OC，如图所示：
∵弦 CD⊥AB 于点 E，CD＝6，
∴CE＝ED＝ CD＝3，
∵在 Rt△OEC 中，∠OEC＝90°，CE＝3，OC＝AB＝5，
∴OE＝ ＝4，
∴BE＝OB﹣OE＝ AB﹣OE＝5﹣4＝1， 故答案为：1．








14．如图，PA，PB 是⊙O 的两条切线，A，B 为切点，若 OA＝2，∠APB＝60°，则 PB＝
2 ．




【分析】由题意可得：∠APO＝∠BPO＝ ∠APB＝30°，AO⊥AP，PA＝PB，即可求

PB 的长度．
【解答】解：∵PA、PB 是⊙O 的两条切线，∠APB＝60°，OA＝OB＝2，
∴∠BPO＝ ∠APB＝30°，BO⊥PB．
∴PO＝2AO＝4，

∴PB＝ ＝ ＝2 ． 故答案是：2 ．


15．放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小． 制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点 A，B，C，D 处连接起来，使得 直尺可以绕着这些点转动，O 为固定点，OD＝DA＝CB，DC＝AB＝BE，在点 A，E 处分 别装上画笔．
画图：现有一图形 M，画图时固定点 O，控制点 A 处的笔尖沿图形 M 的轮廓线移动，此 时点 E 处的画笔便画出了将图形 M 放大后的图形 N．
原理：

若连接 OA，OE，可证得以下结论：
①△ODA 和△OCE 为等腰三角形，则∠DOA＝ （180°﹣∠ODA），∠COE＝ （180°
﹣∠ OCE ）；

②四边形 ABCD 为平行四边形（理由是 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ）；

③∠DOA＝∠COE，于是可得 O，A，E 三点在一条直线上；
④当 时，图形 N 是以点 O 为位似中心，把图形 M 放大为原来的 倍得到的．


【分析】①由等腰三角形的性质可求解；
②由平行四边形的判定可求解；
③由图形可直接得到，
④通过证明△AOD∽△EOC，可得 ＝ ＝ ，即可求解．
【解答】解：①∵△ODA 和△OCE 为等腰三角形，
∴∠DOA＝ （180°﹣∠ODA），∠COE＝ （180°﹣∠OCE）；
②∵AD＝BC，DC＝AB，
∴四边形 ABCD 为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）；
③连接 OA，AE，






∵∠DOA＝∠COE，
∴O，A，E 三点在一条直线上；
④∵ ＝ ，
∴设 CD＝AB＝BE＝3x，OD＝AD＝BC＝5x，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴△AOD∽△EOC，

∴ ＝ ＝ ，

∴图形 N 是以点 O 为位似中心，把图形 M 放大为原来的， 故答案为：OCE；两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ．
16．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，P（4，3），⊙O 经过点 P．点 A，点 B 在 y 轴上，PA
＝PB，延长 PA，PB 分别交⊙O 于点 C，点 D，设直线 CD 与 x 轴正方向所夹的锐角为 α．
（1）⊙O 的半径为 5 ；
（2）tanα＝ ．





【分析】（1）结论 OP，利用勾股定理求解即可．
（2）设 CD 交 x 轴于 J，过点 P 作 PT⊥AB 交⊙O 于 T，交 OC 于 E，连接 CT，DT，OT．求 出 tan∠POE，再证明∠CJO＝∠POE 即可．
【解答】解：（1）连接 OP.
∵P （4，3），
∴OP＝ ＝5， 故答案为：5．
（2）设 CD 交 x 轴于 J，过点 P 作 PT⊥AB 交⊙O 于 T，交 OC 于 E，连接 CT，DT，OT．
∵P（4，3），
∴PE＝4，OE＝3，
在 Rt△OPE 中，tan∠POE＝＝ ，
∵OE⊥PT，OP＝OT，
∴∠POE＝∠TOE，

∴∠PDT＝ ∠POT＝∠POE，

∵PA＝PB．PE⊥AB，
∴∠APT＝∠DPT，

∴ ＝ ，
∴∠TDC＝∠TCD，
∵PT∥x 轴，
∴∠CJO＝∠CKP，
∵∠CKP＝∠TCK+∠CTK，∠CTP＝∠CDP，∠PDT＝∠TDC+∠CDP，
∴∠TDP＝∠CJO，
∴∠CJO＝∠POE，

∴tan∠CJO＝tan∠POE＝ 故答案为： ．




三．解答题

17．计算：2sin60°﹣tan45°+cos230°．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．

【解答】解：原式＝

＝

＝ ．
18．已知关于 x 的方程 x2+2x+k﹣4＝0．
（1）如果方程有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围；
（2）若 k＝1，求该方程的根．

【分析】（1）根据根的判别式△＞0，即可得出关于 k 的一元一次不等式组，解之即可得 出 k 的取值范围；
（2）将 k＝1 代入方程 x2﹣3x+k﹣1＝0，解方程即可求出方程的解．
【解答】解：（1）△＝22﹣4×1×（k﹣4）＝20﹣4k．
∵方程有两个不相等的实数根，

∴△＞0．
∴20﹣4k＞0， 解得 k＜5；
（2）当 k＝1 时，原方程化为 x2+2x﹣3＝0，
（x﹣1）（x+3）＝0， x﹣1＝0 或 x+3＝0， 解得 x1＝1，x2＝﹣3．
19．借助网格画图并说理：

如图所示的网格是正方形网格，△ABC 的三个顶点是网格线的交点，点 A 在 BC 边的上 方，AD⊥BC 于点 D，BD＝4，CD＝2，AD＝3．以 BC 为直径作⊙O，射线 DA 交⊙O 于
点 E，连接 BE，CE．
（1）补全图形；
（2）填空：∠BEC＝ 90 °，理由是 直径所对的圆周角是直角 ；

（3）判断点 A 与⊙O 的位置关系并说明理由；
（4）∠BAC ＜ ∠BEC（填“＞”，“＝”或“＜”）．


【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）根据直径所对的圆周角是直角．
（3）求出 OA 的长与半径半径可得结论．
（4）利用图像法解决问题即可．

【解答】解：（1）补全图形见图 1．




（2）∵BC 是直径，
∴∠BEC＝90°（直径所对的圆周角是直角）． 故答案为：90，直径所对的圆周角是直角．

（3）点 A 在⊙O 外． 理由如下：连接 OA．
∵BD＝4，CD＝2，
∴BC＝BD+CD＝6，r＝ ＝3．
∵AD⊥BC，
∴∠ODA＝90°，
在 Rt△AOD 中，AD＝3，OD＝BD﹣OB＝1，

∴ ．
∵ ，
∴OA＞r，
∴点 A 在⊙O 外．
（4）观察图像可知：∠BAC＜∠BEC． 故答案为：＜．
20．二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（3，0）点，当 x＝1 时，函数的最小值为﹣
4．
（1）求该二次函数的解析式并画出它的图象；
（2）直线 x＝m 与抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）和直线 y＝x﹣3 的交点分别为点 C，点 D，

点 C 位于点 D 的上方，结合函数的图象直接写出 m 的取值范围．
【分析】（1）设顶点式 y＝a（x﹣1）2﹣4（a≠0），再把（3，0）代入求出 a 得到抛物线 解析式，然后利用描点法画出二次函数图象；
（2）先画出直线 y＝x﹣3，则可得到直线 y＝x﹣3 与抛物线的交点坐标为（0，﹣3），（3， 0），然后写出抛物线在直线 y＝x﹣3 上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：（1）∵当 x＝1 时，二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的最小值为﹣4，
∴二次函数的图象的顶点为（1，﹣4），
∴二次函数的解析式可设为 y＝a（x﹣1）2﹣4（a≠0），
∵二次函数的图象经过（3，0）点，
∴a（3﹣1）2﹣4＝0． 解得 a＝1．
∴该二次函数的解析式为 y＝（x﹣1）2﹣4； 如图，


（2）由图象可得 m＜0 或 m＞3．
21．如图，AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，点 D 在⊙O 外，∠BCD＝∠A，OD 交⊙O 于点 E．
（1）求证：CD 是⊙O 的切线；
（2）若 CD＝4，AC＝2.7，cos∠BCD＝ ，求 DE 的长．



【分析】（1）连接 OC．由圆周角定理及等腰三角形的性质证得∠OCD＝90°．则可得出 结论；
（2）由锐角三角函数求出 AB 的长，得出 OC＝3，由勾股定理求出 OD＝5，则可得出答 案．
【解答】（1）证明：如图，连接 OC．







∵AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，
∴∠ACB＝90°，∠OCB+∠ACO＝90°．
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A．
∵∠BCD＝∠A，
∴∠ACO＝∠BCD．
∴∠OCB+∠BCD＝90°．
∴∠OCD＝90°．
∴CD⊥OC．
∵OC 为⊙O 的半径，
∴CD 是⊙O 的切线；
（2）解：∵∠BCD＝∠A，cos∠BCD＝ ，
∴cosA＝cos∠BCD＝ ．
在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝2.7，cosA＝ ．


∴AB＝ ＝ ＝6．


∴OC＝OE＝ ＝3．
在 Rt△OCD 中，∠OCD＝90°，OC＝3，CD＝4，

∴ ．
∴DE＝OD﹣OE＝5﹣3＝2．
22．如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在 AB 边上，BE＝1，F 为 BC 边的中点．将正 方形截去一个角后得到一个五边形 AEFCD，点 P 在线段 EF 上运动（点 P 可与点 E，点 F 重合），作矩形 PMDN，其中 M，N 两点分别在 CD，AD 边上．
设 CM＝x，矩形 PMDN 的面积为 S．
（1）DM＝ 4﹣x （用含 x 的式子表示），x 的取值范围是 0≤x≤1 ；

（2）求 S 与 x 的函数关系式；
（3）要使矩形 PMDN 的面积最大，点 P 应在何处？并求最大面积．


【分析】（1）DM＝DC﹣CM，正方形 ABCD 的边长为 4，CM＝x，结合题意可知点 M 可 与点 C、D 重合，从而求得 x 的取值范围；
（2）如图，延长 MP 交 AB 于 G，证明△EGP∽△EBF，求解 PG＝2﹣2x，从而可得 DN
＝PM＝2+2x，再根据矩形的面积公式列出函数关系式；
（3）由 S＝﹣2x2+6x+8 可得该抛物线开口向下，对称轴是直线 x＝，从而得到当 x＜ 时，y 随 x 的增大而增大；再结合 x 的取值范围为 0≤x≤1 求得答案．
【解答】解：（1）∵正方形 ABCD 的边长为 4，CM＝x，BE＝1，
∴DM＝DC﹣CM＝4﹣x，其中 0≤x≤1． 故答案是：4﹣x，0≤x≤1；


（2）如图，延长 MP 交 AB 于 G，

∵正方形 ABCD 的边长为 4，F 为 BC 边的中点，四边形 PMDN 是矩形，CM＝x，BE＝1，
∴PM∥BC，BF＝FC＝ BC＝2，BG＝MC＝x，GM＝BC＝4，
∴△EGP∽△EBF，EG＝1﹣x，
∴ ＝ ，即 ＝ ．
∴PG＝2﹣2x，
∴DN＝PM＝GM﹣PG＝4﹣（2﹣2x）＝2+2x，
∴S＝DM•DN＝（4﹣x）（2x+2）＝﹣2x2+6x+8，其中 0≤x≤1．


（3）由（2）知，S＝﹣2x2+6x+8，
∵a＝﹣2＜0，
∴此抛物线开口向下，对称轴为 x＝﹣＝ ，即 ，
∴当 x＜时，y 随 x 的增大而增大．
∵x 的取值范围为 0≤x≤1，
∴当 x＝1 时，矩形 PMDN 的面积最大，此时点 P 与点 E 重合，此时最大面积为 12．


23．已知抛物线 y＝x2+x．
（1）直接写出该抛物线的对称轴，以及抛物线与 y 轴的交点坐标；
（2）已知该抛物线经过 A（3n+4，y1），B（2n﹣1，y2）两点．
①若 n＜﹣5，判断 y1 与 y2 的大小关系并说明理由；
②若 A，B 两点在抛物线的对称轴两侧，且 y1＞y2，直接写出 n 的取值范围．
【分析】（1）由对称轴公式即可求得抛物线的对称轴，令 x＝0，求得函数值，即可求得
抛物线与 y 轴的交点坐标；
（2）①由 n＜﹣5，可得点 A，点 B 在对称轴直线 x＝1 的左侧，由二次函数的性质可求 解；

（3）分两种情况讨论，列出不等式组可求解．
【解答】解：（1）∵y＝ x2+x，
∴对称轴为直线 x＝﹣＝﹣1， 令 x＝0，则 y＝0，
∴抛物线与 y 轴的交点坐标为（0，0），
（2）xA﹣xB＝（3n+4）﹣（2n﹣1）＝n+5，xA﹣1＝（3n+4）﹣1＝3n+3＝3（n+1），xB
﹣1＝（2n﹣1）﹣1＝2n﹣2＝2（n﹣1）．
①当 n＜﹣5 时，xA﹣1＜0，xB﹣1＜0，xA﹣xB＜0．
∴A，B 两点都在抛物线的对称轴 x＝1 的左侧，且 xA＜xB，
∵抛物线 y＝x2+x 开口向下，
∴在抛物线的对称轴 x＝1 的左侧，y 随 x 的增大而增大．
∴y1＜y2；
②若点 A 在对称轴直线 x＝1 的左侧，点 B 在对称轴直线 x＝1 的右侧时， 由题意可得 ，
∴不等式组无解，

若点 B 在对称轴直线 x＝1 的左侧，点 A 在对称轴直线 x＝1 的右侧时，

由题意可得： ，
∴﹣ ＜n＜1， 综上所述：﹣ ＜n＜1．
24．在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝．将△ABC 绕点 B 顺时针旋 转 α（0°＜α≤120°）得到△A'BC'，点 A，点 C 旋转后的对应点分别为点 A'，点 C'．
（1）如图 1，当点 C'恰好为线段 AA'的中点时，α＝ 60 °，AA'＝ 2 ；
（2）当线段 AA'与线段 CC'有交点时，记交点为点 D．
①在图 2 中补全图形，猜想线段 AD 与 A'D 的数量关系并加以证明；

②连接 BD，请直接写出 BD 的长的取值范围．









【分析】（1）证明△ABA′是等边三角形即可解决问题．
（2）①根据要求画出图形．结论：AD＝A'D．如图 2，过点 A 作 A'C'的平行线，交 CC'
于点 E，记∠1＝β．证明△ADE≌△A'DC'（AAS），可得结论．
②如图 1 中，当 α＝60°时，BD 的值最大，当 α＝120°时，BD 的值最小，分别求出最
大值，最小值即可．

【解答】解：（1）∵∠C＝90°，BC＝ ，∠ABC＝30°，
∴AC＝BC•tan30°＝1，
∴AB＝2AC＝2，
∵BA＝BA′，AC′＝A′C′，
∴∠ABC′＝∠A′BC′＝30°，
∴△ABA′是等边三角形，
∴α＝60°，AA′＝AB＝2． 故答案为：60，2．

（2）①补全图形如图所示：结论：AD＝A'D．






理由：如图 2，过点 A 作 A'C'的平行线，交 CC'于点 E，记∠1＝β．
∵将 Rt△ABC 绕点 B 顺时针旋转 α 得到 Rt△A'BC'，

∴∠A'C'B＝∠ACB＝90°，A'C'＝AC，BC'＝BC．
∴∠2＝∠1＝β．
∴∠3＝∠ACB﹣∠1＝90°﹣β，∠A'C'D＝∠A'C'B+∠2＝90°+β．
∵AE∥A'C'
∴∠AED＝∠A'C'D＝90°+β．
∴∠4＝180°﹣∠AED＝180°﹣（90°+β）＝90°﹣β．
∴∠3＝∠4．
∴AE＝AC．
∴AE＝A'C'．
在△ADE 和△A'DC'中，
，
∴△ADE≌△A'DC'（AAS），
∴AD＝A'D．

②如图 1 中，当 α＝60°时，BD 的值最大，最大值为．
当 α＝120°时，BD 的值最小，最小值 BD＝AB•sin30°＝2×＝1，
∴1≤BD≤ ．
25．对于平面内的图形 G1 和图形 G2，记平面内一点 P 到图形 G1 上各点的最短距离为 d， 点 P 到图形 G2 上各点的最短距离为 d2，若 d1＝d2，就称点 P 是图形 G1 和图形 G2 的一 个“等距点”．
在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（6，0），B（0，2）．
（1）在 R（3，0），S（2，0），T（1，）三点中，点 A 和点 B 的等距点是 S（2，0） ；
（2）已知直线 y＝﹣2．
①若点 A 和直线 y＝﹣2 的等距点在 x 轴上，则该等距点的坐标为 （4，0）或（ 8，0） ；
②若直线 y＝a 上存在点 A 和直线 y＝﹣2 的等距点，求实数 a 的取值范围；
（3）记直线 AB 为直线 l1，直线 l2：y＝﹣x，以原点 O 为圆心作半径为 r 的⊙O．若
⊙O 上有 m 个直线 l1 和直线 l2 的等距点，以及 n 个直线 l1 和 y 轴的等距点（m≠0，n≠0），
当 m≠n 时，求 r 的取值范围．

【分析】（1）由两点距离公式分别求出，AR，BR，AS，BS，AT，BT 的长，即可求解；
（2）①设等距点的坐标为（x，0），由题意可得 2＝|x﹣6|，即可求解；
②列出方程，由根的判别式可求解；
（3）利用数形结合，可求解．
【解答】解：（1）∵点 A（6，0），B（0，2），R（3，0），S（2，0），T（1， ），
∴AR＝3，BR＝ ，AS＝4，BS＝4，AT＝2 ，BT＝2，
∴AS＝BS，
∴点 A 和点 B 的等距点是 S（2，0）， 故答案为：S（2，0）；
（2）①设等距点的坐标为（x，0），
∴2＝|x﹣6|，
∴x＝4 或 8，
∴等距点的坐标为（4，0）或（8，0）， 故答案为：（4，0）或（8，0）；
②如图 1，设直线 y＝a 上的点 Q 为点 A 相直线 y＝﹣2 的等距点，连接 QA，过点 Q 作
直线 y＝﹣2 的垂线，垂足为点 C，


∵点 Q 为点 A 和直线 y＝﹣2 的等距点，
∴QA＝QC，
∴QA2＝QC2
∵点 Q 在直线 y＝a 上，
∴可设点 Q 的坐标为 Q（x，a）
∴（x﹣6）2+a2＝[a﹣（﹣2）]2． 整理得 x2﹣12x+32﹣4a＝0，

由题意得关于 x 的方程 x2﹣12x+32﹣4a＝0 有实数根．
∴△＝（﹣12）2﹣4×1×（32﹣4a）＝16（a+1）≥0． 解得 a≥﹣1；
（3）如图 2，













直线 l1 和直线 l2 的等距点在直线 l3： 上．

直线 l1 和 y 轴的等距点在直线 l4： 或 l5：上． 由题意得 或 r≥3．