2020-2021学年山东省济宁学院附属中学九年级上学期期末数学试卷（解析版）人教版

这是一份2020-2021学年山东省济宁学院附属中学九年级上学期期末数学试卷（解析版）人教版，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

山东省济宁学院附属中学 2020-2021 学年九年级上学期期末
数学试卷（五四学制）
一、选择题
1

1. ﹣
6
的倒数为（ ）

1 1

A. ﹣6 B.
6
【答案】A
【解析】
C. 6 D. ﹣
6

【分析】根据倒数的定义作答．
1

【详解】解：因为-
6
1
×（-6）=1，

所以-
6
的倒数为-6．

故选：A．
【点睛】本题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是 1，我们就称这两个数互为倒数．


4
2. 实数﹣ 3 ，|﹣ 2 |，0，
中，最小的数是（ ）


A. ﹣ 3 B. |﹣ 2 | C. 0 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用实数比较大小的方法得出答案．


2
2
【详解】解：∵- 3 ，|- |=
，0， 4 =2，



2
∴实数- 3 ，|- 故选：A．
|，0， 4 中，只有- 3 是负数，故最小的数是﹣ 3 ．

【点睛】本题主要考查了实数比较大小，正确掌握实数大小比较方法是解题关键．
3. 5G 被认为是物联网、自动驾驶汽车、智慧城市的“结缔组织”，是工业互联网的中坚力 量．近年来，我国 5G 发展取得明显成就，根据中国工信部的数据，截至 2020 年 10 月底， 全国累计建设开通 5G 基站达 69.5 万个，将数据 69.5 万用科学记数法表示为（ ）
A. 695×103 B. 69.5×104 C. 6.95×105 D.
0.695×106
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，

要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：69.5 万=695000=6.95×105． 故选：C．
【点睛】本题考查了科学记数法．解题的关键是明确用科学记数法表示一个数的方法．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. （a3）4＝a12 B. a3•a4＝a12 C. a2+a2＝a4 D. （ab）2
＝ab2
【答案】A
【解析】
【分析】利用幂的乘方的性质、同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、积的乘方的性质分 别进行计算即可．
【详解】解：A、（a3）4=a12，故原题计算正确； B、a3•a4=a7，故原题计算错误； C、a2+a2=2a2，故原题计算错误；
D、（ab）2=a2b2，故原题计算错误；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方，关键是熟练 掌握各计算法则．
x

5. 若分式


x - 6
有意义，则 x 的取值范围是（ ）

A. x≠0 B. x≠6 C. x≠0 且 x≠6 D. x≠﹣6
【答案】B
【解析】
【分析】根据分式的分母不为 0 列出不等式，解不等式得到答案．
x

【详解】解：要使分式

解得，x≠6， 故选：B．


x - 6
有意义，必须 x﹣6≠0，

【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为 0 是解题的关键．
6. 在平面直角坐标系中，点 M 在第四象限，到 x 轴，y 轴的距离分别为 6，4，则点 M 的坐 标为（ ）
A. （4，﹣6） B. （﹣4，6） C. （﹣6，4） D. （﹣6，
﹣4）
【答案】A

【解析】
【分析】已知点 M 在第四象限内，那么横坐标大于 0，纵坐标小于 0，进而根据到坐标轴的 距离判断坐标．
【详解】解：因为点 M 在第四象限，所以其横、纵坐标分别为正数、负数， 又因为点 M 到 x 轴的距离为 6，到 y 轴的距离为 4，
所以点 M 的坐标为（4，﹣6）．
故选 A．
【点睛】本题主要考查了点在第四象限时点的坐标的符号，点到 x 轴的距离为点的纵坐标的 绝对值，到 y 轴的距离为点的横坐标的绝对值．
7. 我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载：“今有大器五小器一容三斛，
大器一小器五容二斛，问大小器各容几何”．意思是：有大小两种盛酒的桶，已知 5 个大桶
加上 1 个小桶可以盛酒 3 斛，1 个大桶加上 5 个小桶可以盛酒 2 斛．问 1 个大桶、1 个小桶 分别可以盛酒多少斛？设 1 个大桶盛酒 x 斛，1 个小桶盛酒 y 斛，下列方程组正确的是（ ）．

ì5x + y = 3
A. í
îx + 5 y = 2
ì3x + y = 5
î
í2x + 5 y = 1
【答案】A
【解析】
ì5x + y = 2
B. í
îx + 5 y = 3
ì5x + 3y = 1
C. í
îx + 2 y = 5

D.

【分析】根据大小桶所盛酒的数量列方程组即可.
【详解】∵5 个大桶加上 1 个小桶可以盛酒 3 斛，
∴5x+y=3，
∵1 个大桶加上 5 个小桶可以盛酒 2 斛，
∴x+5y=2，

ì5x + y = 3
∴得到方程组 í ，
îx + 5 y = 2
故选：A.
【点睛】此题考查二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键.
8. 如图，直线 l1：y＝3x＋1 与直线 l2：y＝mx＋n 相交于点 P（1，b），则关于 x，y 的方程
ì y = 3x +1

组 í
î y = mx + n
的解为（ ）





ìx = 4
A. í
ìx = -4
B. í
ì x = 1
C. í
ì x = 1
D. í

î y = 1
【答案】C
【解析】
î y = 1
î y = 4
î y = 2

【分析】首先把 P（1，b）代入直线 l1：y＝3x＋1 即可求出 b 的值，从而得到 P 点坐标，再 根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案．
【详解】解：∵直线 y＝3x＋1 经过点 P（1，b），
∴b＝3＋1， 解得 b＝4，
∴P（1，4），


ì y = 3x +1
∴关于 x，y 的方程组 í
î y = mx + n
ì x = 1
的解为 í ，
î y = 4

故选：C．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点 就是两函数组成的二元一次方程组的解．
9. 如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 P 是 BD 上的一 个动点，过点 P 作 EF∥AC，分别交正方形的两条边于点 E，F，连接 OE，OF，设 BP=x，
△OEF 的面积为 y，则能大致反映 y 与 x 之间的函数关系的图像为（ ）






A. B.







C. D.





【答案】C
【解析】
【分析】根据题意易得 BO =
判断函数图像即可．


2 ，然后得到 EF 与 x 的关系，进而分两种情况，依情况来

【详解】解：∵四边形 ABCD 是正方形，边长为 2，
2
1

∴ AC = BD = 2 2 ， BO = OD =
BD = ，
2



①当 P 在 OB 上时，即 0 £ x £
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
EF BP
2 ，

∴ = ，
AC OB
∴ EF = 2BP = 2x ，
2
∵ OP = - x ，


(
∴ y = 1 ´ 2x ´ 2
2 - x) = -x2 +

2x ；


②当 P 在 OD 上时，即 2 < x £ 2 2 ，
∵EF∥AC，
∴△DEF∽△DAC，
EF DP
∴ = ，
AC OD

2
即 EF = 2 2 - x ，
2 2

∴ EF = 2(2 2 - x)，


∵BP=x，
∴ OP = x -
(
∴ y = 1 x -
2

2 ，
2 )× 2(2 2 - x) = -x2 + 3 2x - 4 ，

这是一个二次函数，根据二次函数的性质可知：二次函数的图像是一条抛物线，开口向下， 故选 C．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、二次函数的图像与性质及正方形的性质， 关键是利用三角形相似和面积来列出二次函数的解析式，进而求解．


10. 一列实数 a1，a2，a3，…，an，其中 a1=﹣1，a2=

1
 1 1 - a =
 1 1
=
1- (-1) 2

1
，a3=
 1
，…，
1- a2

an=
1- an-1
1
，则 a1a2a3…a2021 的结果为（ ）

1

A. ﹣
2
 B.
2
 C. 673 D. ﹣2021

【答案】B
【解析】
1

【分析】首先根据公式 an = - a
计算出 a1、a2、a3、…的值，找到规律可得结论．

1
【详解】解：当 a1=-1，
2
a = 1 = 1 = 1 ，
n-1

1- a1
1- (-1) 2



a
3
= 1 =
1 - a2
 1 = 2
1 - 1 ，

2
4
a = 1 = 1 = -1 ，

1- a3
…，
1- 2

所以每 3 个数一循环；
2021÷3=673…2，
第 2020 个数是﹣1，
1
第 2021 个数是 ，
2

1
（﹣1）×
2
×2=﹣1，（﹣1）673=﹣1；

1 1

（﹣1）×（﹣1）×

故选：B．
= ．
2 2

【点睛】本题考查了实数的运算，通过运算找到规律是解题关键．
二、填空题
11. 分解因式：3a2﹣12b2＝ ．
【答案】3（a+2b）（a﹣2b）
【解析】
【分析】先提取公因式 3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【详解】解：3a2﹣12b2
＝3（a2﹣4b2）
＝3（a+2b）（a﹣2b）．
故答案为：3（a+2b）（a﹣2b）．
【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公 因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止，这是解 题关键．
12. 把抛物线 y＝x2﹣2x+3 沿 x 轴向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位得到抛物线解析 式为 ．
【答案】y＝（x﹣3）2+5
【解析】
【分析】将解析式化为顶点式，然后根据平移规律得出答案．
【详解】解：∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴把抛物线 y＝x2﹣2x+3 沿 x 轴向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位得到抛物线解析式 为：y＝（x﹣1﹣2）2+2+3，即 y＝（x﹣3）2+5．
故答案为：y＝（x﹣3）2+5．
x - 2
2 - x
3 5x - 2 y
【点睛】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故 a 不变，所以 求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐 标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．

13. 已知 y =
+ +1，
= ．


【答案】2
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件，确定 x 的值，进而求得 y 的值，再代入代数式中求得

立方根即可


x - 2
【详解】Q y =
2 - x
ìx - 2 ³ 0
+ +1，

î
í2 - x ³ 0 ，
解得 x = 2 ，
∴ y = 1 ，

3 5x - 2 y
3 10 - 2
3 8
\ = = = 2 ．

故答案为：2．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，求一个数的立方根，掌握二次根式有意义的条 件是解题的关键．


14. 已知 m﹣n＝2，则分式

1
m - n m

÷（2n+
-m2 - n2
m

）＝ ．

【答案】-
2
【解析】
【分析】先计算括号内分式的加法，再将除法转化为乘法，最后约分即可．

m - n -m 2 - n 2
【详解】解： ¸ (2n + )
m m

= m - n ¸ (
2mn +
-m2 - n2
)

m m m

= m - n ¸
-(m - n)2

m m
= m - n × m

m
=- 1
-(m - n)2

，

m - n
当 m-n=2 时，
1
原式= - ，
2
1
故答案为： - ．
2
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法 则．

3
15. 如图，在平面直角坐标系中，直线 y＝
2
6
x 与双曲线 y＝
x
相交于 A、B 两点，C 是第一

象限内双曲线上一点，连接 CA 并延长交 y 轴于点 P，连接 BP、BC，若△PBC 的面积是 30， 则 C 点的坐标为 ．


3
【答案】（8， ）
4
【解析】
6

【分析】设 C 点坐标为（a，
a
），根据反比例函数与一次函数 交点问题解方程组求得 A

点坐标为（2，3），B 点坐标为（-2，-3），再利用待定系数法确定直线 BC 的解析式，直线 AC 的解析式，于是利用 y 轴上点的坐标特征得到 D、P 点坐标，然后利用 S△PBC=S△PBD+S△CPD 得到关于 a 的方程，求出 a 的值即可得到 C 点坐标．
【详解】解：BC 交 y 轴于 D，如图，



6
设 C 点坐标为（a，
a

），



ì
ï
解方程组 í
y = 6
x

ìx = 2 ì x = -2
得 或 ，

ï y = 3 x
í
î y = 3
í
î y = -3

ïî 2
∴A 点坐标为（2，3），B 点坐标为（-2，-3），
设直线 BC 解析式为 y=kx+b，

ì-2k + b = -3
6 ï
ì k = 3
ï a

把 B（-2，-3）、C（a，
a
）代入得 í
ï
ak + b = 6
，解得 í ，
ïb = 6 - 3

î a ïî a
3 6

∴直线 BC 的解析式为 y =
x + - 3 ，
a a


当 x=0 时， y =
3 x + 6 - 3 = 6 - 3 ，
a a a
6

∴D 点坐标为（0，
a
-3）

设直线 AC 的解析式为 y=mx+n，


ì 2m + n = 3

ì m =- 3

6
把 A（2，3）、C（a，
ï
）代入得 í
ï
6 ，解得 í
a ，

a ïam + n =
ïn = 6 + 3



∴直线 AC 的解析式为 y = -
î a

3 x + 6 + 3 ，
a a
ïî a


当 x=0 时， y = -
3 x + 6 + 3 = 6 + 3 ，
a a a
6

∴P 点坐标为（0，
a
+3），

∵S△PBC=S△PBD+S△CPD，

1 1
∴ ×2×6+
2 2

×a×6=30，解得 a=8，

3

∴C 点坐标为（8，
4
3
）．

故答案为：（8，
4
）．

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐 标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点；若方程组无解则两 者无交点．也考查了用待定系数法求一次函数的解析式．
三、解答题
16. 计算（或解方程）：
p

（1）（
）0﹣2sin30°+ 4 +2﹣1；
2

（2）解方程：x2﹣2x﹣1＝0．

2
1
【答案】（1）2 1 ；（2）x =1+
，x2=1﹣

2
【解析】
2
【分析】（1）先进行二次根式化简、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂，再计 算加减法即可求解；
（2）用配方法解答即可．
p

【详解】解：（1）（
）0﹣2sin30°+ 4 +2﹣1
2


=1﹣2×
1 1
+2+
2 2
1

=1﹣1+2+
2
1
=2 ；
2
（2）x2-2x-1=0， 移项，得 x2-2x=1，
配方，得 x2-2x+1=1+1，即(x-1)2=2，
解得 x-1=± 2 ，
所以 x1=1+ 2 ，x2=1- 2 ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程－配方法，实数的综合运算．解决此类题目的关键是熟 练掌握负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简、绝对值等知识点的运算． 17. 先化简，再求值： (x + 1)2 - x(x + 1) ，其中 x = 2 ．
【答案】 x +1；3
【解析】
【分析】先利用完全平方公式和单项式乘多项式化简，再代入求值即可．
【详解】解： (x + 1)2 - x(x + 1)
= x2 +1+ 2x - x2 - x
= x +1
将 x=2 代入， 原式=3.
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是正确的化简．
18. 已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣（m+2）x+2m＝0．
（1）证明：不论 m 为何值时，方程总有实数根．
（2）若方程的两个实数根 x1，x2 满足 x1+x2﹣x1x2＝4，求 m 的值．

【答案】（1）见解析；（2）m=-2
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式和非负数的性质即可得到结论；
（2）利用根与系数的关系求得 x1+x2=m+2，x1x2=2m，代入 x1+x2-x1x2=4，解方程即可求解．
【详解】（1）证明：∵Δ=[-(m+2)]2-4×2m=(m-2)2≥0，
∴不论 m 为何值，该方程总有两个实数根；
（2）解：根据题意得：x1+x2=m+2，x1x2=2m，
∵x1+x2-x1x2=4，
∴m+2-2m=4． 解得 m=-2．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若 x1，x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的两根

b
时，x1+x2=-
a
c
，x1•x2=
a

．也考查了根的判别式．

k

19. 如图，直线 y＝x+m 与双曲线 y＝
x


（1）求 m 及 k 值．
（2）求出 S△AOB 的面积．
k
相交于 A（2，1）、B 两点．

（3）直接写出 x+m﹣
x
＞0 时 x 的取值范围．

3

【答案】（1）m＝﹣1，k＝2；（2）
2
【解析】
；（3）﹣1＜x＜0 或 x＞2

【分析】（1）把 A 的坐标分别代入两函数的解析式即可求出答案；
（2）解由两函数组成的方程组，求出方程组的解，即可得出 B 的坐标，然后求得直线与 y
轴的交点 C，最后根据 S△AOB=S△AOC+S△BOC 即可求得结果；
（3）结合图象和两交点的横坐标即可得出答案．
【详解】解：（1）∵把 A（2，1）代入 y=x+m 得：1=2+m，

∴m=-1，
k
∵把 A（2，1）代入 y=
x
∴k=2；
ì y = x -1

k
得：1= ，
2

ï ìx = 2
ì x = -1

（2）解 í
y = 2
得： í y = 1 或 í y = -2 ，

ïî x î î
∴B 的坐标是（-1，-2），
把 x=0 代入 y=x-1 得 y=-1，
∴直线与 y 轴的交点 C 为（0，-1），

1
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=
2
1
×1×2+
2
k
3
×1×1= ；
2

（3）由图像可知，x+m-
＞0 时 x 的取值范围是-1＜x＜0 或 x＞2．
x







．





【点睛】本题考查了用待定系数法求出反比例函数和一次函数的解析式，求两函数的交点坐 标，三角形面积等知识点，主要考查学生的计算能力．
20. 某商场准备在济宁义乌批发城采购一批特色商品，经调查，用 16000 元采购 A 型商品的 件数是用 7500 元采购 B 型商品的件数的 2 倍，一件 A 型商品的进价比一件 B 型商品的进价 多 10 元．
（1）求一件 A、B 型商品的进价分别为多少元？
（2）若该商场购进 A、B 型商品共 160 件进行试销，其中 A 型商品的件数不小于 B 型的件 数，且总成本不能超过 24840 元，则共有几种进货方案？
（3）已知 A 型商品的售价为 240 元/件，B 型商品的售价为 220 元/件，且全部售出，在第（2） 问条件下，哪种方案利润最大？并求出最大利润．
【答案】（1）一件 A 型商品的进价为 160 元，一件 B 型商品的进价为 150 元；（2）有 5 种进 货方案；（3）购进 84 件 A 型商品，76 件 B 型商品时获得的销售利润最大，最大利润为 12040 元

【解析】
【分析】（1）设一件 B 型商品的进价为 x 元，则一件 A 型商品的进价为（x+10）元，根据数 量=总价÷单价结合用 16000 元采购 A 型商品的件数是用 7500 元采购 B 型商品的件数的 2 倍， 即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购进 A 型商品 m 件，则购进 B 型商品（160-m）件，根据“A 型商品的件数不小于 B 型的件数，且总成本不能超过 24840 元”，即可得出关于 m 的一元一次不等式组，解之即可 得出 m 的取值范围，再结合 m 为整数即可得出各进货方案；
（3）利用总利润=每件的利润×销售数量，可分别求出五个进货方案可获得的销售利润，比 较后即可得出结论．
【详解】解：（1）设一件 B 型商品的进价为 x 元，则一件 A 型商品的进价为（x+10）元，
16000 7500

依题意得：


x +10
= 2 ´ ，
x

解得：x=150，
经检验，x=150 是原方程的解，且符合题意，
∴x+10=160．
答：一件 A 型商品的进价为 160 元，一件 B 型商品的进价为 150 元．
（2）设购进 A 型商品 m 件，则购进 B 型商品（160-m）件，


ì
依题意得： í
m ³ 160 - m
，

î160m +150(160 - m) £ 24840
解得：80≤m≤84， 又∵m 为整数，
∴m 可以为 80，81，82，83，84，
∴共有 5 种进货方案，
方案 1：购进 80 件 A 型商品，80 件 B 型商品； 方案 2：购进 81 件 A 型商品，79 件 B 型商品； 方案 3：购进 82 件 A 型商品，78 件 B 型商品； 方案 4：购进 83 件 A 型商品，77 件 B 型商品； 方案 5：购进 84 件 A 型商品，76 件 B 型商品．
（3）方案 1 可获得 销售利润为（240-160）×80+（220-150）×80=12000（元）； 方案 2 可获得的销售利润为（240-160）×81+（220-150）×79=12010（元）；
方案 3 可获得的销售利润为（240-160）×82+（220-150）×78=12020（元）；
方案 4 可获得的销售利润为（240-160）×83+（220-150）×77=12030（元）；
方案 5 可获得的销售利润为（240-160）×84+（220-150）×76=12040（元）．
∵12000＜12010＜12020＜12030＜12040，

∴购进 84 件 A 型商品，76 件 B 型商品时获得的销售利润最大，最大利润为 12040 元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找 准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；
（3）利用各数量之间的关系，分别求出五个进货方案可获得的销售利润．
21. 阅读下面的材料：
如果函数 y＝f（x）满足：对于自变量 x 的取值范围内的任意 x1，x2，
（1）若 x1＜x2，都有 f（x1）＜f（x2），则称 f（x）是增函数；
（2）若 x1＜x2，都有 f（x1）＞f（x2），则称 f（x）是减函数；
2

例题：证明当 x＞0 时，函数 f（x）＝
（x＞0）是减函数．
x

2
x
证明：设 0＜x1＜x2，则 f（x1）﹣f（x2）＝
1

∵0＜x1＜x2
∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0
2(x2 - x1 )
1
2
∴ ＞0，即 f（x ）﹣f（x ）＞0
 2
﹣ ＝
x2
2x2 - 2x1 x1 x2
2(x2 - x1 )
＝ ．
x1 x2


x1 x2
∴f（x1）＞f（x2）
2

∴当 x＞0 时函数 f（x）＝
x
（x＞0）是减函数

根据以上材料，解答下面的问题：
（1）判断函数 f（x）＝2x﹣1 是增函数，还是减函数？并说明理由．


（2）已知函数 f（x）＝

5

2x - 1


x2

（x＜0），f（﹣1）＝
2 ´ (-1) -1 (-1)2

＝﹣3，f（﹣2）＝
2 ´ (-2) -1 (-2)2

＝﹣
4
①计算：f（﹣3）＝ ，f（﹣4）＝ ；


②猜想：函数 f（x）＝
2x - 1


x2
（x＜0）是 函数（填“增”或“减”）；并

仿照例题证明你的猜想．
7
【答案】（1）增函数，理由见解析；（2）①﹣
9
【解析】


9
，﹣ ；②减；证明见解析
16

【分析】（1）根据题目中例子的证明方法可以证明；
（2）①根据题目中函数解析式可以解答本题；
②根据题目中例子的证明方法可以证明①中的猜想成立．

【详解】解：（1）函数 f（x）=2x-1 是增函数． 证明：设 x1＜x2，
f（x1）-f（x2）=2x1-1-（2x2-1）=2（x1-x2）．
∵x1＜x2，
∴x1-x2＜0．
∴f（x1）-f（x2）＜0．
∴f（x1）＜f（x2）．
∴函数 f（x）=2x-1 是增函数．


（2）①∵f（x）=
2x - 1


x2
（x＜0），


∴f（-3）=
2 ´(-3)-1 7
=-

，f（-4）=
2 ´(-4)-1 9
=- ，

(-3)2 9
7 9
(-4)2 16

故答案为： - ， - ；
9 16
2x - 1

②猜想：函数 f（x）=
x2
证明：设 x1＜x2＜0，
（x＜0）是减函数，

-
则 f (x ) - f (x ) = 2x1 -1 - 2x2 -1 = 2 - 1 2
 1
+


1 2 x2
x2 x x2
x x2

1 2 1 1 2 2

= 2(x2 - x1 ) + (x1 + x2 )(x1 - x2 )
x x (x x )2
1 2 1 2
∵x1＜x2＜0，
∴x2-x1＞0，x1x2＞0，
2(x2 - x1 ) (x1 + x2 )(x1 - x2 )
∴ + > 0 ，即 f（x ）-f（x ）＞0，
x x (x x )2 1 2
1 2 1 2

∴f（x1）＞f（x2），
2x - 1

∴函数 f（x）=
x2
故答案为：减．
（x＜0）是减函数，

【点睛】本题考查了反比例函数图象上的坐标特征、一次函数图形上点的坐标特征，反比例 函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性 质解答．
22. 抛物线 C：y＝ax2+bx+c（a≠0），过点 A（﹣1，0）、B（5，0），并交 y 轴于点 C（0，
5
﹣ ）．
4



（1）求抛物线 C 的表达式；
（2）已知抛物线 y＝ax2+bx+c 上 任意一点到定点 Q（2，﹣ 5 ）的距离与到直线 y＝﹣ 13
4 4
的距离相等，若点 M 为抛物线 C 上的一动点，P（3，4）为平面内一点，求 MP+MQ 的最小 值，并求出此时点 M 的坐标．
（3）在此抛物线对称轴上是否存在一点 D，使以 A、P、D 三点构成的三角形为直角三角形？ 若存在，求点 D 的坐标；若不存在，请说明理由．

1
【答案】（1）y＝
4
x2﹣x﹣ 5
7
4
29
；（2）最小值为
4
；M（3，﹣2）；（3）存在，点 D 的坐标



为（2，﹣3）或（2，2+
【解析】
）或（2，2﹣ 7 ）或（2，5）

【分析】（1）运用待定系数法将 A，B，C 的坐标代入 y=ax2+bx+c，解方程组求出 a，b，c
即可；


13
（2）作 PH⊥直线 y=-
4
13
于点 H，作 MH′⊥直线 y=-
4

于点 H′，根据抛物线 y=ax2+bx+c 上

5
的任意一点到定点 Q（2，-
4
13
）的距离与到直线 y=-
4

的距离相等，可得：MQ=MH′，可得

13

出 MP+MQ=MP+MH′，当 P，M，H′三点在同一条直线上且 PM⊥直线 y=-
4
最小，即可求出答案；
时，MP+MH′

（3）先求出抛物线对称轴，再根据以 A、P、D 三点构成的三角形为直角三角形进行分类讨 论即可．
【详解】解：（1）∵抛物线 C：y=ax2+bx+c（a≠0），过点 A（-1，0）、B（5，0），并交 y 轴
5

于点 C（0，-
4
），

ì ì 1

ï a - b + c = 0
ï
ï a = 4
ï

∴ í25a + b + c = 0 ，解得： í b = -1 ，
ï 5 ï 5
ï c
=- ïc =-
î 4 î 4
1 5

∴抛物线 C 的表达式为：y=
4
x2-x- ；
4
13 13

（2）如图 1，作 PH⊥直线 y=-
4
于点 H，作 MH′⊥直线 y=-
4
于点 H′，



∵抛物线 y=ax2+bx+c 上的任意一点到定点 Q（2，- 5 ）的距离与到直线 y=- 13 的距离相等，
4 4
∴MQ=MH′，
∴MP+MQ=MP+MH′，当 P，M，H′三点在同一条直线上，MP+MH′最小，
∴M 与 M′重合时，MP+MQ 最小，
∵P（3，4），
13 29
∴PH=4-（- ）= ，
4 4
29
∴MP+MQ 的最小值为 ；
4
1 5

当 x=3 时，y=
4
×32-3-
4
=-2，

∴M（3，-2）；
1 5 1 9

（3）∵y=
4
x2-x-
4
= （x-2）2- ；
4 4

∴抛物线对称轴为 x=2，
设点坐称为（2，m），
∵A（-1，0），P（3，4），D（2，m），

∴AP=4 2 ，AD2=9+m2，PD2=1+（m-4）2，
∵以 A、P、D 三点构成的三角形为直角三角形，
∴分三种情况讨论：∠DAP=90°或∠ADP=90°或∠APD=90°，
①当∠DAP=90°时，AP2+AD2=PD2，
∴（4 2 ）2+9+m2=1+（m-4）2， 解得：m=-3，
∴D1（2，-3）；
②当∠ADP=90°时，PD2+AD2=AP2，
∴1+（m-4）2+9+m2=（4 2 ）2，
解得：m1=2+ 7 ，m2=2- 7 ，
∴D2（2，2+ 7 ）；D3（2，2- 7 ）；
③当∠APD=90°时，PD2+AP2=AD2，
∴1+（m-4）2+（4 2 ）2=9+m2， 解得：m=5，
∴D4（2，5）；
综上所述，点 D 的坐标为（2，-3）或（2，2+ 7 ）或（2，2- 7 ）或（2，5）．
．
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，点到直线的距离，直角三角形性质，勾股 定理等，熟练掌握二次函数图象和性质，勾股定理等相关知识，并灵活运用数形结合思想， 分类讨论思想和方程思想是解题关键．