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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.2 导数的运算备课课件ppt
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.2 导数的运算备课课件ppt，共28页。PPT课件主要包含了课标定位素养阐释，自主预习新知导学，合作探究释疑解惑，规范解答，随堂练习，答案1等内容，欢迎下载使用。
1.能利用导数的运算法则求函数的导数.2.通过导数的四则运算法则的应用,增强运算求解的数学素养.
导数的运算法则【问题思考】1.已知函数f(x)=x,g(x)=ln x.(1)求f'(x),g'(x).提示:f'(x)=1,g'(x)= .(2)如何求函数Q(x)=x+ln x,H(x)=x-ln x的导数?跟问题(1)的结果有什么关系?
对于D,(x2cs x)'=(x2)'cs x+x2(cs x)'=2xcs x-x2sin x,故错误.答案:A
【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)和的导数等于导数的和,差的导数等于导数的差.( )(2)积的导数等于导数的积,商的导数等于导数的商.( )(3)若f(x)=f'(a)x2+ln x(a>0),则f'(x)=2f'(a)x+ .( )
反思感悟 应用导数的四则运算法则求函数的导数的技巧(1)求导之前,对三角恒等式先进行化简,然后再求导,这样既减少了计算量,又可少出错.(2)利用代数恒等变形可以避开对商的求导.(3)在函数中有两个以上的因式相乘时,要注意多次使用积的求导法则,能展开的先展开成多项式,再求导.
【变式训练1】 求下列函数的导数:(1)y=x5-3x3-5x2+6;(2)y=(2x2+3)(3x-2);
解:(1)y'=(x5-3x3-5x2+6)'=(x5)'-(3x3)'-(5x2)'+6'=5x4-9x2-10x.(2)(方法一)y'=(2x2+3)'(3x-2)+(2x2+3)(3x-2)'=4x(3x-2)+3(2x2+3)=18x2-8x+9.(方法二)∵y=(2x2+3)(3x-2)=6x3-4x2+9x-6,∴y'=18x2-8x+9.
【例2】 求过点(1,-1)且与曲线y=x3-2x相切的直线方程.
若将本例改为求曲线y=x3-2x在点A(1,-1)处的切线方程,结果会怎样?解:∵y'=3x2-2,∴y'|x=1=1,即切线的斜率k=1.∴曲线在点A处的切线方程为y+1=x-1,即x-y-2=0.反思感悟 1.求曲线的切线方程时一定要分清是求曲线在点P处的切线方程,还是求过点P与曲线相切的直线方程.2.本题中点(1,-1)虽然在曲线上,但经过该点的切线不一定只有一条,即该点可能是切点,也可能是切线与曲线的交点.
【例3】 若直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,3),则2a+b= .解析:函数y=x3+ax+b的导数y'=3x2+a.
答案:1反思感悟 与切线有关的参数问题的处理技巧通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出关于参数的方程并解出参数:(1)切点处的导数是切线的斜率;(2)切点在切线上;(3)切点在曲线上.
【变式训练2】 设函数f(x)= x2+bx+c,其中a>0,曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线方程为y=1,求实数b,c的值.解:由题意,得f'(x)=x2-ax+b,所以f'(0)=b=0.
【例4】 在抛物线y=-x2上求一点,使之到直线4x+3y-8=0的距离最小.解:如图所示,作与直线4x+3y-8=0平行的直线l,当l与抛物线y=-x2相切时,切点P到直线4x+3y-8=0的距离最小.
反思感悟 导数的综合应用的解题技巧导数作为重要的解题工具,常与函数、数列、解析几何、不等式等知识结合出现在综合大题中.遇到解决一些与距离、面积相关的最值、不等式恒成立等问题,可以结合导数的几何意义去分析.
【变式训练3】 已知点P是曲线y=x2-ln x上任意一点,求点P到直线y=x-2的最小距离.解:作与直线y=x-2平行且与曲线y=x2-ln x相切的直线,则切点P即为在已知曲线上到直线y=x-2的距离最小的点.
求导公式及运算法则的综合应用【典例】 已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R).若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率是-3,求a,b的值.解:因为f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b.所以f'(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2),又函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率是-3,
反思感悟 1.求函数的导数必须熟记导数的运算法则,要特别注意常数、积和商的导数形式,不能把求导法则用错,如本例中正确应用幂函数的求导公式及加法求导法则.2.函数f(x)在x=x0处的导数就是函数的图象在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,即k切线=f'(x0),其中,切点既在曲线上又在切线上,如本例的原点即切点.
【变式训练】 (1)求曲线y=xex+2x+1在点(0,1)处的切线方程;(2)在平面直角坐标系xOy中,点P在曲线C:y=x3-10x+3上,且在第二象限内,已知曲线C在点P处的切线斜率为2,求点P的坐标.解:(1)∵y'=ex+xex+2,∴曲线在点(0,1)处的切线斜率k=e0+0+2=3,∴所求切线方程为y-1=3x,即y=3x+1.(2)设点P的坐标为(x0,y0),∵y'=3x2-10,∴3 -10=2,解得x0=±2.又点P在第二象限内,∴x0=-2.∵点P在曲线C上,∴y0=(-2)3-10×(-2)+3=15.∴点P的坐标为(-2,15).
1.已知函数f(x)=ax2+c,且f'(1)=2,则a的值为( )
解析:∵f(x)=ax2+c,∴f'(x)=2ax.又f'(1)=2,∴2a=2,∴a=1.故选A.答案:A2.函数y=xln x的导数是( )
解析:y'=x'·ln x+x·(ln x)'=ln x+x· =ln x+1.故选C.答案:C
3.曲线y=2ln x在点(1,0)处的切线方程为 . 解析:由y=2ln x,得y'= ,则曲线y=2ln x在点(1,0)处的切线的斜率为k=y'|x=1=2.故所求的切线方程为y-0=2(x-1),即y=2x-2.答案:y=2x-2
1.能利用导数的运算法则求函数的导数.2.通过导数的四则运算法则的应用,增强运算求解的数学素养.
导数的运算法则【问题思考】1.已知函数f(x)=x,g(x)=ln x.(1)求f'(x),g'(x).提示:f'(x)=1,g'(x)= .(2)如何求函数Q(x)=x+ln x,H(x)=x-ln x的导数?跟问题(1)的结果有什么关系?
对于D,(x2cs x)'=(x2)'cs x+x2(cs x)'=2xcs x-x2sin x,故错误.答案:A
【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)和的导数等于导数的和,差的导数等于导数的差.( )(2)积的导数等于导数的积,商的导数等于导数的商.( )(3)若f(x)=f'(a)x2+ln x(a>0),则f'(x)=2f'(a)x+ .( )
反思感悟 应用导数的四则运算法则求函数的导数的技巧(1)求导之前,对三角恒等式先进行化简,然后再求导,这样既减少了计算量,又可少出错.(2)利用代数恒等变形可以避开对商的求导.(3)在函数中有两个以上的因式相乘时,要注意多次使用积的求导法则,能展开的先展开成多项式,再求导.
【变式训练1】 求下列函数的导数:(1)y=x5-3x3-5x2+6;(2)y=(2x2+3)(3x-2);
解:(1)y'=(x5-3x3-5x2+6)'=(x5)'-(3x3)'-(5x2)'+6'=5x4-9x2-10x.(2)(方法一)y'=(2x2+3)'(3x-2)+(2x2+3)(3x-2)'=4x(3x-2)+3(2x2+3)=18x2-8x+9.(方法二)∵y=(2x2+3)(3x-2)=6x3-4x2+9x-6,∴y'=18x2-8x+9.
【例2】 求过点(1,-1)且与曲线y=x3-2x相切的直线方程.
若将本例改为求曲线y=x3-2x在点A(1,-1)处的切线方程,结果会怎样?解:∵y'=3x2-2,∴y'|x=1=1,即切线的斜率k=1.∴曲线在点A处的切线方程为y+1=x-1,即x-y-2=0.反思感悟 1.求曲线的切线方程时一定要分清是求曲线在点P处的切线方程,还是求过点P与曲线相切的直线方程.2.本题中点(1,-1)虽然在曲线上,但经过该点的切线不一定只有一条,即该点可能是切点,也可能是切线与曲线的交点.
【例3】 若直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,3),则2a+b= .解析:函数y=x3+ax+b的导数y'=3x2+a.
答案:1反思感悟 与切线有关的参数问题的处理技巧通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出关于参数的方程并解出参数:(1)切点处的导数是切线的斜率;(2)切点在切线上;(3)切点在曲线上.
【变式训练2】 设函数f(x)= x2+bx+c,其中a>0,曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线方程为y=1,求实数b,c的值.解:由题意,得f'(x)=x2-ax+b,所以f'(0)=b=0.
【例4】 在抛物线y=-x2上求一点,使之到直线4x+3y-8=0的距离最小.解:如图所示,作与直线4x+3y-8=0平行的直线l,当l与抛物线y=-x2相切时,切点P到直线4x+3y-8=0的距离最小.
反思感悟 导数的综合应用的解题技巧导数作为重要的解题工具,常与函数、数列、解析几何、不等式等知识结合出现在综合大题中.遇到解决一些与距离、面积相关的最值、不等式恒成立等问题,可以结合导数的几何意义去分析.
【变式训练3】 已知点P是曲线y=x2-ln x上任意一点,求点P到直线y=x-2的最小距离.解:作与直线y=x-2平行且与曲线y=x2-ln x相切的直线,则切点P即为在已知曲线上到直线y=x-2的距离最小的点.
求导公式及运算法则的综合应用【典例】 已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R).若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率是-3,求a,b的值.解:因为f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b.所以f'(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2),又函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率是-3,
反思感悟 1.求函数的导数必须熟记导数的运算法则,要特别注意常数、积和商的导数形式,不能把求导法则用错,如本例中正确应用幂函数的求导公式及加法求导法则.2.函数f(x)在x=x0处的导数就是函数的图象在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,即k切线=f'(x0),其中,切点既在曲线上又在切线上,如本例的原点即切点.
【变式训练】 (1)求曲线y=xex+2x+1在点(0,1)处的切线方程;(2)在平面直角坐标系xOy中,点P在曲线C:y=x3-10x+3上,且在第二象限内,已知曲线C在点P处的切线斜率为2,求点P的坐标.解:(1)∵y'=ex+xex+2,∴曲线在点(0,1)处的切线斜率k=e0+0+2=3,∴所求切线方程为y-1=3x,即y=3x+1.(2)设点P的坐标为(x0,y0),∵y'=3x2-10,∴3 -10=2,解得x0=±2.又点P在第二象限内,∴x0=-2.∵点P在曲线C上,∴y0=(-2)3-10×(-2)+3=15.∴点P的坐标为(-2,15).
1.已知函数f(x)=ax2+c,且f'(1)=2,则a的值为( )
解析:∵f(x)=ax2+c,∴f'(x)=2ax.又f'(1)=2,∴2a=2,∴a=1.故选A.答案:A2.函数y=xln x的导数是( )
解析:y'=x'·ln x+x·(ln x)'=ln x+x· =ln x+1.故选C.答案:C
3.曲线y=2ln x在点(1,0)处的切线方程为 . 解析:由y=2ln x,得y'= ,则曲线y=2ln x在点(1,0)处的切线的斜率为k=y'|x=1=2.故所求的切线方程为y-0=2(x-1),即y=2x-2.答案:y=2x-2
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