数学选择性必修 第二册5.2 导数的运算多媒体教学课件ppt

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1.理解并能应用复合函数的求导法则求导.2.通过复合函数的求导法则的应用,增强运算求解的数学素养.
一、复合函数的概念【问题思考】
2.填空:一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作y= f(g(x)) .
3.做一做:下列函数是复合函数的是(　　)
解析:f(x)=lg4(x+1)是复合函数,它由y=lg4u和u=x+1复合而成.选项A,B,D中的函数不是复合函数.答案:C
二、复合函数的求导法则【问题思考】
2.填空:一般地,对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)),它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 yx'=yu'·ux' .即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.3.做一做:若f(x)=(2x+a)2,且f'(2)=20,则a=　　　　　. 解析:函数y=f(x)=(2x+a)2可以看作函数y=u2和u=2x+a的复合函数,根据复合函数的求导法则,有yx'=yu'·ux'=(u2)'·(2x+a)'=2u×2=4(2x+a)=8x+4a.由f'(2)=16+4a=20,得a=1.答案:1
【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)函数f(x)=sin(-x)的导数是f'(x)=cs x.( )(2)函数y=ln(2x)不是复合函数,是对数函数.( )
【例1】 求下列复合函数的导数:
反思感悟 求复合函数的导数的步骤
【变式训练1】 求下列函数的导数.(1)y=(2x+3)2;(2)y=sin(πx+φ).解:(1)函数y=(2x+3)2可以看作函数y=u2和u=2x+3的复合函数,则yx'=yu'·ux'=(u2)'·(2x+3)'=2u×2=4(2x+3)=8x+12.(2)函数y=sin(πx+φ)可以看作函数y=sin u和u=πx+φ的复合函数,则yx'=yu'·ux'=(sin u)'·(πx+φ)'=cs u×π=πcs(πx+φ).
求曲线y=e2x+1过点(1,0)的切线方程.
反思感悟 根据导数的运算法则和复合函数求导法则可以求初等函数的导数,从而解决了初等函数的求导问题,进而可以解决与导数有关的实际问题.
【变式训练2】 已知曲线y=esin x在点(0,1)处的切线与直线l平行,且与l的距离为 ,求直线l的方程.解:因为y'=(esin x)'=cs xesin x,所以y'|x=0=1.故切线方程为y-1=x-0,即x-y+1=0.由题意知,直线l与切线平行,设直线l的方程为x-y+c=0.
对复合函数求导不完全而致错【典例】 求函数y=xe1-2x的导数.错解1　y'=x'·(e1-2x)'=e1-2x.错解2　y'=x'·e1-2x+x(e1-2x)'=e1-2x+xe1-2x=(1+x)e1-2x.以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:错解1,求导公式用错;错解2,y=e1-2x是复合函数,应按照复合函数的求导法则进行.正解:y'=x'·e1-2x+x·(e1-2x)'=e1-2x+x·e1-2x·(1-2x)'=(1-2x)e1-2x.防范措施 复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数乘中间变量对自变量的导数,分步计算时,每一步都要明确是对哪个变量求导.
1.函数y=cs(-x)的导数是(　　)A.cs xB.-cs xC.-sin xD.sin x解析:y'=-sin(-x)(-x)'=-sin x.答案:C2.已知曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=(　　)A.0B.1C.2D.3
由题意知y'|x=0=a-1=2,解得a=3.答案:D
4.曲线y=sin 2x在点M(π,0)处的切线方程是　 . 解析:由y'=(sin 2x)'=cs 2x·(2x)'=2cs 2x,得切线的斜率k=y'|x=π=2.因为切线过点(π,0),所以切线方程为y=2(x-π),即2x-y-2π=0.答案:2x-y-2π=0