高考数学考前冲刺专题《导数与函数的极值、最值》夯基练习（2份，教师版+答案版）

高考数学考前冲刺专题

《导数与函数的极值、最值》夯基练习

一 、选择题

1.若函数y=aex＋3x在R上有小于零的极值点，则实数a的取值范围是(　　)

A.(－3，＋∞)   B.(－∞，－3)  C.（- ，＋∞）   D.(－∞，－)

2.已知e为自然对数的底数，设函数f(x)=(ex－1)(x－1)k(k=1，2)，则(　　)

A.当k=1时，f(x)在x=1处取得极小值

B.当k=1时，f(x)在x=1处取得极大值

C.当k=2时，f(x)在x=1处取得极小值

D.当k=2时，f(x)在x=1处取得极大值

3.函数f(x)=x2－5x＋2ex的极值点所在的区间为(　　)

A.(0，1)                             B.(－1，0)       C.(1，2)                             D.(－2，－1)

4.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y=(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　 　)

A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)

B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)

C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)

D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)

5.已知函数f(x)=x3＋bx2＋cx的图象如图所示，则x＋x等于(　 　)

A.         B.         C.          D.

6.若函数f(x)=－(1＋2a)x＋2lnx(a＞0)在区间(0.5,1)内有极大值，则a的取值范围是(　 　)

A.(e-1，＋∞)      B.(1，＋∞)    C.(1,2)       D.(2，＋∞)

7.已知y=f(x)是奇函数，当x∈(0，2)时，f(x)=ln x－ax(a＞)，当x∈(－2，0)时，

f(x)的最小值为1，则a=(　　)

A.        B.      C.        D.1

8.已知函数f(x)=(a＞0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为(　　)

A.－1        B.        C.          D.＋1

9.已知函数f(x)=lnx－，若函数f(x)在[1，e]上的最小值为，则a的值为(　　)

A.－        B.－      C.－        D.e0.5

10.函数f(x)=ln x－x在区间(0，e]上的最大值为(　　)

A.1－e          B.－1        C.－e          D.0

11.函数f(x)=x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是(　　)

A.20          B.18         C.3         D.0

12.已知函数f(x)=m(x- )－2ln x(m∈R)，g(x)=－，若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f(x0)<g(x0)成立，则实数m的取值范围是(　　)

A.          B.

C.(－∞，0]          D.(－∞，0)

二 、填空题

13.若函数f(x)=2f′(1)lnx－x，则函数f(x)的极大值为        .

14.已知y=f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)=lnx－ax（a>0.5），当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，则a=　 　.

15.已知f(x)是奇函数，且当x∈(0,2)时，f(x)=ln x－ax(a>)，当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值是1，则a=________.

16.已知函数f(x)=2(x＋1)，g(x)=x＋ln x，A，B两点分别为f(x)，g(x)的图象上的点，且始终满足A，B两点的纵坐标相等，则A，B两点间的最短距离为________.

0.高考数学考前冲刺专题《导数与函数的极值、最值》夯基练习（含答案）参考答案

一 、选择题

1.答案为：B

解析：y=aex＋3x，求导，y′=aex＋3，

由若函数y=aex＋3x在R上有小于零的极值点，

则y′=aex＋3=0有负根，则a≠0，则ex=－在y轴的左侧有交点，

∴0<－<1，解得：a<－3，实数a的取值范围为(－∞，－3).故选B.

2.答案为：C；

解析：当k=1时，f′(x)=ex·x－1，f′(1)≠0，∴x=1不是f(x)的极值点.

当k=2时，f′(x)=(x－1)(xex＋ex－2)，

显然f′(1)=0，且在x=1附近的左侧f′(x)＜0，

当x＞1时，f′(x)＞0，∴f(x)在x=1处取得极小值.故选C.

3.答案为：A；

解析：∵f′(x)=2x－5＋2ex为增函数，f′(0)=－3＜0，f′(1)=2e－3＞0，

∵f′(x)=2x－5＋2ex的零点在区间(0，1)上，

∴f(x)=x2－5x＋2ex的极值点在区间(0，1)上.

4.答案为：D；

解析：由题图可知，当x＜－2时，f′(x)＞0；

当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.

由此可以得到函数f(x)在x=－2处取得极大值，在x=2处取得极小值.

5.答案为：C；

解析：由图象可知f(x)的图象过点(1,0)与(2,0)，x1，x2是函数f(x)的极值点，

因此1＋b＋c=0,8＋4b＋2c=0，解得b=－3，c=2，所以f(x)=x3－3x2＋2x，

所以f′(x)=3x2－6x＋2.x1，x2是方程f′(x)=3x2－6x＋2=0的两根，

因此x1＋x2=2，x1x2=，所以x＋x=(x1＋x2)2－2x1x2=4－=.

6.答案为：C；

解析：f′(x)=ax－(1＋2a)＋=(a＞0，x＞0)，

若f(x)在区间(0.5,1)内有极大值，即f′(x)=0在(0.5,1)内有解.

则f′(x)在区间(0.5,1)内先大于0，再小于0，则

即解得1＜a＜2，故选C.

7.答案为：D；

解析：因为f(x)是奇函数，所以f(x)在(0，2)上的最大值为－1.

当x∈(0，2)时，f′(x)=－a，令f′(x)=0，得x=，又a＞，所以0＜＜2.

当x＜时，f′(x)＞0，f(x)在(0,)上单调递增；

当x＞时，f′(x)＜0，f(x)在(,2)上单调递减，

所以f(x)max=f()=ln －a·=－1，解得a=1.

8.答案为：A

解析：由f(x)=得f ′(x)=.当a＞1时，若x＞，则f ′(x)＜0, f(x)单调递减；若1＜x＜，则f ′(x)＞0, f(x)单调递增.故当x=时，函数f(x)有最大值=，得a=＜1，不合题意；当a=1时，函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，最大值为f(1)=，不合题意；当0＜a＜1时，函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，此时最大值为f(1)==，得a=－1，符合题意，故a的值为－1.选A.

9.答案为：A.

解析：由题意，f′(x)=＋，若a≥0，则f′(x)>0，函数单调递增，

所以f(1)=－a=，矛盾；若－e<a<－1，函数f(x)在[1，－a]上递减，

在[－a，e]上递增，所以f(－a)=，解得a=－；

若－1≤a<0，函数f(x)是递增函数，所以f(1)=－a=，矛盾；

若a≤－e，函数f(x)单调递减，所以f(e)=，解得a=－，矛盾.

综上，a=－，故选A.

10.答案为：B

解析：因为f ′(x)=－1=，当x∈(0,1)时， f ′(x)＞0；

当x∈(1，e]时， f ′(x)＜0，所以f(x)的单调递增区间是(0,1)，

单调递减区间是(1，e]，所以当x=1时， f(x)取得最大值ln 1－1=－1.

11.答案为：A

解析：对于区间[－3,2]上的任意x1，x2都有|f(x1)－f(x2)|≤t，

等价于对于区间[－3,2]上的任意x，都有f(x)max－f(x)min≤t.

∵f(x)=x3－3x－1，∴f′(x)=3x2－3=3(x－1)(x＋1)，

∵x∈[－3,2]，

∴函数在[－3，－1]，[1,2]上单调递增，在[－1,1]上单调递减，

∴f(x)max=f(2)=f(－1)=1，f(x)min=f(－3)=－19，

∴f(x)max－f(x)min=20，∴t≥20，∴实数t的最小值是20.故选A.

12.答案为：B

解析：由题意，不等式f(x)<g(x)在[1，e]上有解，∴mx<2ln x在[1，e]上有解，

即<在[1，e]上有解，令h(x)=，则h′(x)=，当1≤x≤e时，

h′(x)≥0，∴在[1，e]上，h(x)max=h(e)=，∴<，∴m<.

∴m的取值范围是.故选B.

二 、填空题

13.答案为：2ln2－2.

解析：因为f(x)=2f′(1)lnx－x，所以f′(x)=－1，

令x=1得，f′(1)=2f′(1)－1，得f′(1)=1，

故f(x)=2lnx－x，定义域为(0，＋∞).

且f′(x)=－1=，当x∈(0,2)时，f′(x)>0，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0，

所以当x=2时，f(x)取得极大值，且f(x)极大值=f(2)=2ln2－2.

14.答案为：1；

解析：由题意知，当x∈(0,2)时，f(x)的最大值为－1.

令f′(x)=－a=0，得x=，当0＜x＜时，f′(x)＞0；

当x＞时，f′(x)＜0.∴f(x)max=f=－lna－1=－1，解得a=1.

15.答案为：1

解析：由题意，得x∈(0,2)时，f(x)=ln x－ax(a>)有最大值－1，f′(x)=－a，由f′(x)=0，得x=∈(0,2)，且x∈(0,)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，x∈(,2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，则f(x)max=f()=ln －1=－1，解得a=1.

16.答案为：

解析：不妨设A(m，a)，B(n，a)(n>0)，则2(m＋1)=a，得m=－1，

又n＋ln n=a，则|AB|=|m－n|==|－＋1|.

设F(n)=－＋1(n>0)，则F′(n)=－=，令F′(n)=0，得n=1，

故当n∈(0，1)时，F′(n)<0；当n∈(1，＋∞)时，F′(n)>0，所以F(n)min=F(1)=，

所以|AB|≥，所以|AB|的最小值为.