高考数学考前冲刺专题《函数的零点问题》夯基练习（2份，教师版+答案版）

高考数学考前冲刺专题

《函数的零点问题》夯基练习

一 、选择题

1.函数f(x)=ln(x＋1)－的一个零点所在的区间是(　 　)

A.(0,1)         B.(1,2)        C.(2,3)         D.(3,4)

【参考答案】答案为：B；

解析：∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)=ln2－1＜0，f(2)=ln3－＞0，

∴f(x)的零点所在区间为(1,2)，故选B.

2.函数f(x)=x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是(　 　)

A.(2，＋∞)      B.[2，＋∞)     C.        D.

【参考答案】答案为：D；

解析：由题意知方程ax=x2＋1在上有解，即a=x＋在上有解，

设t=x＋，x∈，则t的取值范围是.

∴实数a的取值范围是.

3.函数f(x)=2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(　 　)

A.(1,3)       B.(1,2)      C.(0,3)       D.(0,2)

【参考答案】答案为：C；

解析：因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，

则由题意得f(1)·f(2)=(0－a)(3－a)＜0，解得0＜a＜3，故选C.

4.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=且f(x＋1)=f(x－1)，若g(x)=3－log2x，则函数F(x)=f(x)－g(x)在(0，＋∞)内的零点个数为(　　)

A.3          B.2         C.1           D.0

【参考答案】答案为：B；

解析：由f(x＋1)=f(x－1)，知f(x)的周期是2，画出函数f(x)和g(x)的部分图象，如图所示，由图象可知f(x)与g(x)的图象有2个交点，故f(x)有2个零点，故选B.

5.已知函数f(x)=若关于x的方程[f(x)]2＋(a－1)f(x)－a=0有7个不等的实数根，则实数a的取值范围是(　 　)

A.[1,2]         B.(1,2)        C.(－2，－1)       D.[－2，－1]

【参考答案】答案为：C；

解析：函数f(x)=的图象如图：

关于x的方程[f(x)]2＋(a－1)f(x)－a=0有7个不等的实数根，

即[f(x)＋a][f(x)－1]=0有7个不等的实数根，易知f(x)=1有3个不等的实数根，

∴f(x)=－a必须有4个不相等的实数根，由函数f(x)的图象可知－a∈(1,2)，

∴a∈(－2，－1).故选C.

6.函数f(x)=3x|ln x|－1的零点个数为(　　)

A.1         B.2       C.3         D.4

【参考答案】答案为：B；

解析：函数f(x)=3x|ln x|－1的零点即3x|ln x|－1=0的解，即|ln x|=()x的解，

作出函数g(x)=|ln x|和函数h(x)=()x的图象，由图象可知，两函数图象有两个公共点，故函数f(x)=3x|ln x|－1有2个零点.

7.已知函数f(x)=2x＋x，g(x)=log3x＋x，h(x)=x－的零点依次为a，b，c，则(　　)

A.a＜b＜c         B.c＜b＜a      C.c＜a＜b         D.b＜a＜c

【参考答案】答案为：A；

解析：在同一坐标系下分别画出函数y=2x，y=log3x，y=－的图象，

如图，观察它们与y=－x的交点可知a＜b＜c.

8.已知A(0,3)、B(2,1)，如果函数y=f(x)的图象上存在点P，使|PA|=|PB|，则称y=f(x)是线段AB的“和谐函数”.下面四个函数中，是线段AB的“和谐函数”的是（   ）

A.       B.     C.   D.

【参考答案】答案为：D.

9.设函数f(x)=ln(x＋1)＋a·(x2－x)，若f(x)在区间(0，＋∞)上无零点，则实数a的取值范围是(　 　)

A.[0,1]        B.[－1,0]           C.[0,2]        D.[－1,1]

【参考答案】答案为：A；

解析：令f(x)=0，可得ln(x＋1)=－a(x2－x)，

令g(x)=ln(x＋1)，h(x)=－a(x2－x)，

∵f(x)在区间(0，＋∞)上无零点，

∴g(x)=ln(x＋1)与h(x)=－a(x2－x)的图象在y轴右侧无交点.

显然当a=0时符合题意；

当a＜0时，作出g(x)=ln(x＋1)与h(x)=－a(x2－x)的函数图象如图1所示，

显然两函数图象在y轴右侧必有一交点，不符合题意；

当a＞0时，作出g(x)=ln(x＋1)与h(x)=－a(x2－x)的函数图象如图2所示，

若两函数图象在y轴右侧无交点，则h′(0)≤g′(0)，即a≤1.

综上，0≤a≤1，故选A.

图1                       图2

10.已知函数f(x)=若方程f(f(x))－2=0恰有三个实数根，则实数k的取值范围是(　 　)

A.[0，＋∞)     B.[1,3]        C.         D.

【参考答案】答案为：C；

解析：∵f(f(x))－2=0，∴f(f(x))=2，∴f(x)=－1或f(x)=－(k≠0).

(1)当k=0时，作出函数f(x)的图象如图①所示，

由图象可知f(x)=－1无解，∴k=0不符合题意；

(2)当k＞0时，作出函数f(x)的图象如图②所示，

由图象可知f(x)=－1无解且f(x)=－无解，

即f(f(x))－2=0无解，不符合题意；

(3)当k＜0时，作出函数f(x)的图象如图③所示，

由图象可知f(x)=－1有1个实根，

∵f(f(x))－2=0有3个实根，∴f(x)=－有2个实根，

∴1＜－≤3，解得－1＜k≤－.

综上，k的取值范围是，故选C.

11.定义在R上的奇函数y=f(x)满足f(3)=0，且不等式f(x)>－xf′(x)在(0，＋∞)上恒成立，则函数g(x)=xf(x)＋lg|x＋1|的零点的个数为(　　)

A.4        B.3       C.2        D.1

【参考答案】答案为：B；

解析：g(x)=0即xf(x)=－lg|x＋1|，[xf(x)]′=f(x)＋xf′(x)，由已知得xf(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(x)为奇函数，所以xf(x)为偶函数且零点为3，－3，0，在同一坐标系中作出函数y=xf(x)和y=－lg|x＋1|的图象，易知交点有3个，故g(x)的零点个数为3.

12.已知函数f(x)=且函数h(x)=f(x)＋x－a有且只有一个零点，则实数a的取值范围是(　　)

A.[1，＋∞)        B.(1，＋∞)      C.(－∞，1)        D.(－∞，1]

【参考答案】答案为：B；

解析：如图所示，在同一坐标系中分别作出y=f(x)与y=－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上的截距.

由图可知，当a>1时，直线y=－x＋a与曲线y=f(x)只有一个交点.

二 、填空题

13.若函数f(x)=x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)>0的解集是      .

【参考答案】答案为：D.

解析：∵f(x)=x2＋ax＋b的两个零点是－2，3.

∴－2,3是方程x2＋ax＋b=0的两根，

由根与系数的关系知

∴∴f(x)=x2－x－6.

∵不等式af(－2x)>0，即－(4x2＋2x－6)>0⇔2x2＋x－3<0，解集为.

14.已知f(x)=则函数g(x)=f(x)－ex的零点个数为     .

【参考答案】答案为：2.

解析：函数g(x)=f(x)－ex的零点个数即为函数y=f(x)与y=ex的图象的交点个数.

作出函数图象可知有2个交点，即函数g(x)=f(x)－ex有2个零点.

15.已知函数f(x)=log2x＋2x－m有唯一零点，若它的零点在区间(1,2)内，则实数m的取值范围是________.

【参考答案】答案为：(2,5)

解析：因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，函数的零点在区间(1,2)内，

所以f(1)·f(2)<0，即(log21＋21－m)·(log22＋22－m)<0⇒(2－m)(5－m)<0，

解得2<m<5，所以实数m的取值范围是(2,5).

16.设函数f(x)=若函数y=2[f(x)]2＋2bf(x)＋1有8个不同的零点，则实数b的取值范围是________.

【参考答案】答案为：（－，－）

解析：作出函数f(x)的图象如图所示，结合图象可知，

若函数y=2[f(x)]2＋2bf(x)＋1有8个零点，则关于f(x)的一元二次方程2[f(x)]2＋2bf(x)＋1=0在(0，1)上有2个不相等的实根.设t=f(x)，则方程转化为2t2＋2bt＋1=0，

设两个根分别为t1，t2，则由根与系数的关系知，

即所以得－<b<－.