高考数学考前冲刺专题《球的表面积、体积》夯基练习（2份，教师版+答案版）

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高考数学考前冲刺专题《球的表面积、体积》夯基练习一 、选择题1.若侧面积为8π的圆柱有一外接球O，当球O的体积取得最小值时，圆柱的表面积为(　　)A.12π        B.13π    C.10π        D.14π2.若三棱锥S­ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=2，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，则球O的表面积为(　　)A.64π         B.63π       C.65π         D.32π3.已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O­ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为(　　)A.36π         B.64π       C.144π         D.256π4.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为(　　)A.         B.         C.4π        D.π5.已知三棱锥P－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，PC为球O的直径，该三棱锥的体积为，则球O的表面积为(　　)A.4π        B.8π       C.12π        D.16π6.已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，∠ASC=∠BSC=30°，则棱锥S­ABC的体积最大为(　 　)A.2          B.          C.          D.27.将长、宽分别为4和3的长方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，得到四面体A-BCD，则四面体A-BCD的外接球的表面积为（    ）A.25π              B.50π              C.5π              D.10π8.已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是(　　)A.6         B.12       C.18         D.249.现有一块半球形原料，若通过切削将该原料加工成一个正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为(　　)A.         B.        C.         D.10.已知一个封闭的长方体容器中装有两个大小相同的铁球，若该长方体容器的三个相邻侧面的面积分别为6，8，12，则铁球的直径最大只能为(　　)A.        B.2             C.        D.411.已知三棱锥P­ABC中，AB=BC，AB⊥BC，点P在底面△ABC上的射影为AC的中点，若该三棱锥的体积为，那么当该三棱锥的外接球体积最小时，该三棱锥的高为(　　)A.2        B.3       C.2        D.312.在三棱锥D­ABC中，已知AD⊥平面ABC，且△ABC为正三角形，AD=AB=，点O为三棱锥D­ABC的外接球的球心，则点O到棱DB的距离为(　　)A.         B.           C.            D.二 、填空题13.在三棱锥P­ABC中，PA=PB=2，AB=4，BC=3，AC=5，若平面PAB⊥平面ABC，则三棱锥P­ABC外接球的表面积为________.14.如图直三棱柱ABC­A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB=AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为________.15.如图，半球内有一内接正四棱锥S－ABCD，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为________.16.已知A，B，C，D是半径为5的球面上的点，且BC=CD=DB=3 ，当四面体ABCD的体积最大时，AB=________.
0.参考答案1.答案为：A；解析：由球的对称性可知，圆柱的高即球心到两底面圆心的距离之和，设圆柱的底面半径是r，球心到底面的距离是d，外接球O的半径为R，由球心到底面的距离、截面圆的半径、球半径之间构成直角三角形，可知r2＋d2=R2.由题设可得2πr×2d=8π⇒rd=2⇒d=，则R2=r2＋d2=r2＋≥2 =4，当且仅当r=时取等号，此时d=.故圆柱的表面积S表=S侧＋S底=8π＋2πr2=8π＋2π()2=12π.2.答案为：A；解析：设球O的半径为R，∵AB=1，AC=2，∠BAC=60°，∴BC2=1＋4－2×1×2×cos 60°=3，所以AB2＋BC2=AC2.即△ABC为直角三角形，那么△ABC所在截面圆的直径为AC，所以(2R)2=SA2＋AC2=64.所以S球=4πR2=64π.3.答案为：C；解析：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O­ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时VO­ABC=VC­AOB=×R2×R=R3=36，故R=6，则球O的表面积为S=4πR2=144π.4.答案为：A解析：由三视图可知，该几何体为一个三棱锥，令其为三棱锥A－BCD，由俯视图可知，底面BCD是一个等腰直角三角形，∠BCD为直角.平面ABD⊥平面BCD，易知外接球的球心O为△ABD的中心，则球O的半径R=，外接球的表面积等于4πR2=4π×2=.5.答案为：A解析：依题意，设球O的半径为R，球心O到平面ABC的距离为d，则由O是PC的中点得，点P到平面ABC的距离等于2d，所以VP－ABC=2VO－ABC=2×S△ABC×d=××12×d=，解得d=.又R2=d2＋2=1，所以球O的表面积等于4πR2=4π.故选A.6.答案为：A.解析：如图，因为球的直径为SC，且SC=4，∠ASC=∠BSC=30°，所以∠SAC=∠SBC=90°，AC=BC=2，SA=SB=2，所以S△SBC=×2×2=2，则当点A到平面SBC的距离最大时，棱锥A­SBC即S­ABC的体积最大，此时平面SAC⊥平面SBC，点A到平面SBC的距离为2sin30°=，所以棱锥S­ABC的体积最大为×2×=2，故选A.7.答案为：A解析：取AC的中点，连接OB、OD，如下图所示：由题意AC=5.因为，O为AC的中点，所以，所以，O为四面体A-BCD的外接球的球心，且球O的半径为R=2.5，因此，四面体A-BCD的外接球的表面积为.8.答案为：C解析：根据已知可得球的半径等于1，故三棱柱的高等于2，底面三角形内切圆的半径等于1，即底面三角形的高等于3，边长等于2，所以这个三棱柱的表面积等于3×2×2＋2××2×3=18.9.答案为：A；解析：当正方体的下底面在半球的大圆面上，上底面的四个顶点在球的表面上时，所得工件体积与原材料体积之比取得最大值，设此时正方体的棱长为a，则球的半径为R==a，所以所求体积比为=，故选A.10.答案为：B；解析：设长方体三条棱的长分别为a，b，c，由题意得，解得.再结合题意可得，铁球的直径最大只能为2.故选B.11.答案为：D；解析：设三棱锥P­ABC外接球的球心为O，△ABC的外接圆圆心为O1，又AB⊥BC，所以O1为AC的中点.连接PO1，∵点P在底面△ABC上的射影为AC的中点，∴PO1⊥平面ABC.∴P，O，O1三点共线.连接OB，O1B，如图.由已知三棱锥P­ABC的底面△ABC为等腰直角三角形，设AB=a，三棱锥高PO1=h，∴三棱锥P­ABC的体积V=×a2h=，即a2=，设OB=R，又OB2=BO＋OO，∴R2=(a)2＋(h－R)2，∴R==＋，由球O的体积V球=πR3知，当R最小时，其外接球体积最小，由R=＋＋≥，当且仅当==，即h=3时取等号，因而三棱锥P­ABC的高为3时，外接球体积最小，故选D.12.答案为：D；解析：设三棱锥D­ABC的外接球球心为O，过点O作DB的垂线，垂足为H，作平面ODA交直线BC于点E，交于点F，设平面ODA截得外接球是⊙O，D，A，F是⊙O表面上的点，又因为DA⊥平面ABC，所以∠DAF=90°，E，所以DF是⊙O的直径，因此球心O在DF上，AF是三角形ABC外接圆的直径，F，连接BD，BF，因为BF⊥DA，BF⊥AB，所以BF⊥平面DAB，所以∠DBF=90°，因为∠DHO=90°，所以OH∥BF，又DO=OF，所以OH是△DBF的中位线，OH=BF，由AB=AD=，三角形外接圆半径2R=，得AF=2，在Rt△DAB中，DB==，在Rt△DAF中，DF==，在Rt△DBF中，BF==1，故OH=，故选D.13.答案为：25π解析：取AB的中点O′，AC的中点O，连接O′O，因为PA2＋PB2=AB2，所以△PAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，从而点O′为△PAB外接圆的圆心，又AB2＋BC2=AC2，所以△ABC是以AC为斜边的直角三角形，从而点O为△ABC外接圆的圆心，又因为O′O∥BC，所以O′O⊥AB，又因为平面PAB⊥平面ABC，且平面PAB∩平面ABC=AB，所以O′O⊥平面PAB，所以点O为三棱锥P­ABC外接球的球心，所以外接球的半径R=OA=AC=，故外接球的表面积S=4πR2=25π.14.答案为：.解析：由题意知，球心在侧面BCC1B1的中心O上，BC为截面圆的直径，所以∠BAC=90°，△ABC的外接圆圆心N是BC的中点，同理△A1B1C1的外心M是B1C1的中点.设正方形BCC1B1的边长为x.在Rt△OMC1中，OM=，MC1=，OC1=R=1(R为球的半径)，所以()2＋()2=1，即x=，则AB=AC=1，所以S矩形ABB1A1=×1=.15.答案为：π.解析：设所给半球的半径为R，则棱锥的高h=R，底面正方形中有AB=BC=CD=DA=R，∴其体积为R3=，则R3=2　，于是所求半球的体积为V=πR3=π.16.答案为：3 .解析：由已知可得，△BCD是边长为3 的等边三角形，设△BCD的中心为O1，则BO1=×3 ×sin 60°=3，要使四面体ABCD的体积最大，则有四面体ABCD的高为5＋ =9，此时AB= =3 .