高考数学考前冲刺专题《圆的方程》夯基练习（2份，教师版+答案版）

高考数学考前冲刺专题

《圆的方程》夯基练习

一 、选择题

1.直线l：y=kx＋1与圆O：x2＋y2=1相交于A，B两点，则“k=1”是“|AB|=”的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【参考答案】答案为：A；

解析：直线l：y=kx＋1与圆O：x2＋y2=1相交于A，B两点，

∴圆心到直线的距离d=，则|AB|=2=2=2，

当k=1时，|AB|=2 =，即充分性成立；

若|AB|=，则2=，即k2=1，解得k=1或k=－1，

即必要性不成立，故“k=1”是“|AB|=”的充分不必要条件，故选A.

2.若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2=4的内部，则实数m的取值范围是(　　)

A.(－1，1)     B.(－，)   C.(－，)   D.

【参考答案】答案为：C；

解析：∵原点(0，0)在圆(x－m)2＋(y＋m)2=4的内部，∴(0－m)2＋(0＋m)2＜4，

解得－＜m＜，故选C.

3.直线l：x－y＋m=0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1=0恒有公共点，则m的取值范围是(　　)

A.[－，]

B.[－2，2]

C.[－－1，－1]

D.[－2－1，2－1]

【参考答案】答案为：D；

解析：圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2=4，圆心为(2，1)，半径为2，

圆心到直线的距离d==，若直线l与圆C恒有公共点，

则≤2，解得－2－1≤m≤2－1，故选D.

4.已知直线l：x＋ay－1=0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1=0的对称轴.过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=(　　)

A.2         B.4        C.6         D.2

【参考答案】答案为：C.

解析：由于直线x＋ay－1=0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1=0的对称轴，所以圆心C(2，1)在直线x＋ay－1=0上，所以2＋a－1=0，所以a=－1，所以A(－4，－1).所以|AC|2=36＋4=40.

又r=2，所以|AB|2=40－4=36.所以|AB|=6.

5.直线y－1=k(x－3)被圆(x－2)2＋(y－2)2=4所截得的最短弦长等于(　　)

A.        B.2       C.2         D.

【参考答案】答案为：C；

解析：圆(x－2)2＋(y－2)2=4的圆心C(2,2)，半径为2，直线y－1=k(x－3)，

∴此直线恒过定点P(3,1)，当圆被直线截得的弦最短时，

圆心C(2,2)与定点P(3,1)的连线垂直于弦，弦心距为，

所截得的最短弦长为2，故选C.

6.已知点M(－2,0)，N(2,0)，若圆x2＋y2－6x＋9－r2=0(r＞0)上存在点P(不同于点M，N)，使得PM⊥PN，则实数r的取值范围是(　　)

A.(1,5)        B.[1,5]         C.(1,3]        D.[1,3]

【参考答案】答案为：A

解析：将圆的方程化为标准方程得(x－3)2＋y2=r2(r＞0)，

当r=1时，(x－3)2＋y2=1经过点N(2,0)，圆(x－3)2＋y2=r2(r＞0)上不存在点P，

使得PM⊥PN；当r=5时，(x－3)2＋y2=25经过点M(－2,0)，

同理圆(x－3)2＋y2=r2(r＞0)上不存在点P，使得PM⊥PN.故选A.

7.已知b2=a，则直线x－y＋3=0被圆x2＋y2－2ax－4by＋a2＋4b2－6=0截得的弦长的最大值为(　　)

A.1        B.          C.2        D.4

【参考答案】答案为：D

解析：由已知可得(x－a)2＋(y－2b)2=6，圆心为(a,2b)，半径为，

圆心(a,2b)到直线x－y＋3=0的距离d=，

弦长l=2×=2×≤4，

当且仅当b=1时取等号，故弦长的最大值为4.故选D.

8.已知圆心(a，b)(a<0，b<0)在直线y=2x＋1上的圆，其圆心到x轴的距离恰好等于圆的半径，在y轴上截得的弦长为2，则圆的方程为(　 　)

A.(x＋3)2＋(y＋5)2=25        B.(x＋2)2＋(y＋3)2=9

C.(x-)2＋(y-)2=        D.(x+)2＋(y-)2=

【参考答案】答案为：B.

解析：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2=r2(r>0)，

则解得

所以圆的方程为(x＋2)2＋(y＋3)2=9.故选B.

9.若a2＋b2=2c2(c≠0)，则直线ax＋by＋c=0被圆x2＋y2=1所截得的弦长为(　 　)

A.         B.1           C.          D.

【参考答案】答案为：D；

解析：因为圆心(0,0)到直线ax＋by＋c=0的距离d===，

因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于=，

所以弦长为.

10.已知直线ax＋by＋1=0与圆x2＋y2=1相切，则a＋b＋ab的最大值为(　　)

A.1       B.－1         C.＋       D.1＋

【参考答案】答案为：C；

解析：因为直线ax＋by＋1=0与圆x2＋y2=1相切，所以=1，即a2＋b2=1，

令a=cos θ，b=sin θ(θ是参数)，即

a＋b＋ab=cos θ＋sin θ＋cos θsin θ，

令cos θ＋sin θ=t(－≤t≤)，

则cos θsin θ=，即a＋b＋ab=，由二次函数的性质可知，

当t=时，a＋b＋ab的最大值为＋.

11.在平面直角坐标系xOy中，设点P为圆C：(x－2)2＋y2=5上的任意一点，点Q(2a，a＋2)，其中a∈R，则线段PQ长度的最小值为(　　)

A.       B.        C.       D.

【参考答案】答案为：A；

解析：显然点Q(2a，a＋2)是直线x－2y＋4=0上的点，圆心C(2，0)，半径为，

圆心C到直线x－2y＋4=0的距离为d==，

所以PQ长度的最小值为－=.

12.已知圆C：(x－)2＋(y－1)2=1和两点A(－t，0)，B(t，0)，(t＞0)，若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则当t取得最大值时，点P的坐标是(　　)

A.       B.      C.       D.

【参考答案】答案为：D；

解析：设P(a，b)为圆上一点，由题意知，·=0，即(a＋t)(a－t)＋b2=0，

a2－t2＋b2=0，所以t2=a2＋b2=|OP|2，|OP|max=2＋1=3，即t的最大值为3，

此时kOP=，OP所在直线的倾斜角为30°，

所以点P的纵坐标为，横坐标为3×=，即P.

二 、填空题

13.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y=0的距离为，则圆C的方程为________.

【参考答案】答案为：(x－2)2＋y2=9.

解析：设C(a，0)(a＞0)，由题意知=，解得a=2，所以r==3，

故圆C的方程为(x－2)2＋y2=9.

14.若直线x－y＋2=0与圆C：(x－3)2＋(y－3)2=4相交于A、B两点，则·值为_____.

【参考答案】答案为：0

解析：由题意得点C的坐标为(3,3).

由解得或

可令A(3,5)，B(1,3)，∴=(0,2)，=(－2,0).∴·=0.

15.过点P(－1，1)作圆C：(x－t)2＋(y－t＋2)2=1(t∈R)的切线，切点分别为A，B，

则·的最小值为________.

【参考答案】答案为：.

解析：圆C：(x－t)2＋(y－t＋2)2=1的圆心坐标为(t，t－2)，半径为1，

所以PC==≥，PA=PB=，

cos∠APC=，所以cos∠APB=2－1=1－，

所以·=(PC2－1)=－3＋PC2＋≥－3＋8＋=，

所以·的最小值为.

16.已知AB为圆C：x2＋y2－2y=0的直径，点P为直线y=x－1上任意一点，则|PA|2＋|PB|2的最小值为       .

【参考答案】答案为：6.

解析：圆心C(0,1)，设∠PCA=α，|PC|=m，

则|PA|2=m2＋1－2mcosα，|PB|2=m2＋1－2mcos(π－α)=m2＋1＋2mcosα，

∴|PA|2＋|PB|2=2m2＋2.

又C到直线y=x－1的距离为d==，即m的最小值为，

∴|PA|2＋|PB|2的最小值为2×()2＋2=6.