高考数学考前冲刺专题《正余弦定理》夯基练习（2份，教师版+答案版）

高考数学考前冲刺专题

《正余弦定理》夯基练习

一 、选择题

1.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b=，c=4，cos B=，则△ABC的面积为(　　)

A.3         B.        C.9          D.

2.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，sin A∶sin B=1∶，c=2cos C=，则△ABC的周长为(　　)

A.3＋3          B.2        C.3＋2          D.3＋

3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足：

sin B(1＋2cos C)=2sin Acos C＋cos Asin C，则下列等式成立的是(　　)

A.a=2b          B.b=2a      C.A=2B          D.B=2A

4.在△ABC中，已知AB=，AC=，tan∠BAC=－3，则BC边上的高等于(　　)

A.1        B.      C.        D.2

5.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　)

A.10 海里     B.10 海里    C.20 海里      D.20 海里

6.若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2bsin 2A=asin B，且c=2b，

则=(　　)

A.2          B.3         C.          D.

7.△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，c=2a，bsin B－asin A=asin C，

则sin B的值为(　　)

A.          B.           C.          D.

8.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2－b2=bc，sin C=2sin B，

则A=(　　)

A.150°         B.120°        C.60°         D.30°

9.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若＜cos A，则△ABC为(　　)

A.钝角三角形   B.直角三角形   C.锐角三角形    D.等边三角形

10.锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－b)(sin A＋sin B)=(c－b)sin C，若a=，则b2＋c2的取值范围是(　　)

A.(3，6]        B.(3，5)     C.(5，6]        D.[5，6]

11.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且BC边上的高为a，则＋的最大值是(　　)

A.8         B.6             C.3      D.4

12.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2ccos B=2a＋b，若△ABC的面积为c，则ab的最小值为(　　)

A.         B.        C.         D.3

二 、填空题

13.已知在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，A=，a=2，b=2，则△ABC的面积S=________.

14.在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为角A、B、C所对的边，且a=2csin A，c=，

且△ABC的面积为，a＋b的值为________．

15.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2(bcos A＋acos B)=c2，b=3，3cos A=1，则a的值为________.

16.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=5，B=，△ABC面积为，则cos 2A=________.

0.高考数学考前冲刺专题《正余弦定理》夯基练习（含答案）参考答案

一 、选择题

1.答案为：B；

解析：由余弦定理b2=c2＋a2－2accos B，得7=16＋a2－6a，解得a=3，

∵cos B=，∴sin B=，∴S△ABC=casin B=×4×3×=.故选B.

2.答案为：C；

解析：因为sin A∶sin B=1∶，所以b=a，

由余弦定理得cos C===，

又c=，所以a=，b=3，所以△ABC的周长为3＋2，故选C.

3.答案为：A；

解析：因为A＋B＋C=π，sin B(1＋2cos C)=2sin Acos C＋cos Asin C，

所以sin(A＋C)＋2sin Bcos C=2sin Acos C＋cos Asin C，

所以2sin B cos C=sin Acos C.

又cos C≠0，所以2sin B=sin A，所以2b=a，故选A.

4.答案为：A；

解析：因为tan∠BAC=－3，所以sin∠BAC=，cos∠BAC=－.

由余弦定理，得BC2=AC2＋AB2－2AC·ABcos∠BAC=5＋2－2×××=9，

所以BC=3，所以S△ABC=AB·ACsin∠BAC=×××=，

所以BC边上的高h===1，故选A.

5.答案为：A；

解析：画出示意图如图所示，

易知，在△ABC中，AB=20海里，∠CAB=30°，∠ACB=45°，

根据正弦定理得=，解得BC=10(海里).

6.答案为：A；

解析：由2bsin 2A=asin B，得4bsin A·cos A=asin B，

由正弦定理得4sin B·sin A·cos A=sin A·sin B，

∵sin A≠0，且sin B≠0，∴cos A=，由余弦定理得a2=b2＋4b2－b2，

∴a2=4b2，∴=2.故选A.

7.答案为：C；

解析：由正弦定理，得b2－a2=ac，又c=2a，所以b2=2a2，

所以cos B==，所以sin B=.

8.答案为：D

解析：由a2－b2=bc，得sin2A－sin2B=sin B·sin C，

∵sin C=2　sin B，∴sin A=sin B，∴c=2　b，a=b，

由余弦定理得cosA==，∴A=30°.故选D.

9.答案为：A

解析：根据正弦定理得=＜cos A，

即sin C＜sin Bcos A，∵A＋B＋C=π，

∴sin C=sin(A＋B)＜sin Bcos A，整理得sin Acos B＜0.

又在三角形中sin A＞0，

∴cos B＜0，∴＜B＜π.∴△ABC为钝角三角形.

10.答案为：C；

解析：由(a－b)(sin A＋sin B)=(c－b)sin C，及正弦定理可得，(a－b)(a＋b)=(c－b)c，即b2＋c2－a2=bc，∴cos A===，又0＜A＜，∴A=.∵a=，

∴====2，∴b=2sin B，c=2sin C，∵C=π－B－=－B，

∴b2＋c2=4(sin2B＋sin2C)=4=4

=4＋2=4－4sinsin =4＋2sin，

∵在锐角△ABC中，0＜B＜，0＜C＜，∴＜B＜，∴＜2B－＜，

∴sin∈，∴b2＋c2∈(5，6]，故选C.

11.答案为：D；

解析：＋=，这个形式很容易联想到余弦定理cos A=，①

而条件中的“高”容易联想到面积，a×a=bcsin A，即a2=2bcsin A，②

将②代入①得：b2＋c2=2bc(cos A＋sin A)，

所以＋=2(cos A＋sin A)=4sin，当A=时取得最大值4，故选D.

12.答案为：B；

解析：由正弦定理及2ccos B=2a＋b，得2sin Ccos B=2sin A＋sin B.

因为A＋B＋C=π，所以sin A=sin(B＋C)，则2sin C·cos B=2sin(B＋C)＋sin B，

即2sin B·cos C＋sin B=0，又0＜B＜π，所以sin B＞0，则cos C=－.

因为0＜C＜π，所以C=，所以sin C=，则△ABC的面积为absin C=ab=c，

即c=3ab，结合c2=a2＋b2－2ab·cos C，可得a2＋b2＋ab=9a2b2.

∵a2＋b2≥2ab，当且仅当a=b时取等号，∴2ab＋ab≤9a2b2，即ab≥，

故ab的最小值是，故选B.

二 、填空题

13.答案为：2或

解析：由正弦定理得sin B===，所以B=或.若B=，

则C=π－A－B=，此时 S=ab=×2×2=2.若B=，则C=π－A－B=，所以A=C，

此时c=a=2，所以S=acsin B=×2×2×=.所以S=2或.

14.答案为：5

解析：由a=2csin A，结合正弦定理可得sin A=2sin Csin A，

因为sin A≠0，所以sin C=.在锐角三角形ABC中，可得C=.

所以△ABC的面积S=absin C=ab=，解得ab=6.

由余弦定理可得c2=a2＋b2－2abcos C=(a＋b)2－3ab=(a＋b)2－18=7，解得a＋b=5.

故答案为5.

15.答案为：3.

解析：由正弦定理可得2(sin Bcos A＋sin Acos B)=csin C，

∵2(sin Bcos A＋sin Acos B)=2sin(A＋B)=2sin C，∴2sin C=csin C，

∵sin C＞0，∴c=2，

由余弦定理得a2=b2＋c2－2bccos A=22＋32－2×2×3×=9，∴a=3.

16.答案为：.

解析：由三角形的面积公式，得S△ABC=acsin B=×a×5×sin=××5a=，

解得a=3.由b2=a2＋c2－2accos B=32＋52－2×3×5×=49，得b=7.

由=⇒sin A=sin B=sin=，∴cos 2A=1－2sin2A==.