高考数学考前冲刺专题《椭圆》夯基练习（2份，教师版+答案版）

高考数学考前冲刺专题

《椭圆》夯基练习

一 、选择题

1.已知椭圆＋=1(a＞b＞0)的中心为坐标原点O，一个焦点为F，若以O为圆心，|OF|为半径的圆与椭圆恒有公共点，则椭圆的离心率的取值范围是(　　)

A.[,1)        B.(0,]     C.[,1)        D.(0,]

【参考答案】答案为：A；

解析：由于以O为圆心，以b为半径的圆内切于椭圆，则根据题意可得c≥b，

c2≥b2=a2－c2，2c2≥a2，e≥，又0＜e＜1，所以≤e＜1，故选A.

2.设F1，F2分别为椭圆＋=1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，

则的值为(　　)

A.        B.         C.        D.

【参考答案】答案为：B；

解析：由题意知a=3，b=，c=2.设线段PF1的中点为M，则有OM∥PF2，

因为OM⊥F1F2，所以PF2⊥F1F2，所以|PF2|==.

又因为|PF1|＋|PF2|=2a=6，所以|PF1|=2a－|PF2|=，所以=×=，故选B.

3.已知椭圆＋=1(a＞b＞0)的右顶点和上顶点分别为A、B，左焦点为F.以原点O为圆心的圆与直线BF相切，且该圆与y轴的正半轴交于点C，过点C的直线交椭圆于M、N两点.若四边形FAMN是平行四边形，则该椭圆的离心率为(　　)

A.        B.         C.        D.

【参考答案】答案为：A；

解析：因为圆O与直线BF相切，所以圆O的半径为，即OC=，

因为四边形FAMN是平行四边形，所以点M的坐标为，

代入椭圆方程得＋=1，所以5e2＋2e－3=0，又0＜e＜1，所以e=.故选A.

4.以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点，则该椭圆的离心率是(　　)

A.        B.        C.        D.

【参考答案】答案为：D；

解析：不妨令椭圆方程为＋=1(a＞b＞0).因为以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点，所以2b=，即a=3b，则c==2b，

则该椭圆的离心率e==.故选D.

5.如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|=|OF|且|PF|=6，则椭圆C的方程为(　　)

A.＋=1        B.＋=1     C.＋=1        D.＋=1

【参考答案】答案为：C；

解析：由题意可得c=5，设右焦点为F′，连接PF′，由|OP|=|OF|=|OF′|知，

∠PFF′=∠FPO，∠OF′P=∠OPF′，∴∠PFF′＋∠OF′P=∠FPO＋∠OPF′，

∴∠FPO＋∠OPF′=90°，即PF⊥PF′.

在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|===8，

由椭圆定义，得|PF|＋|PF′|=2a=6＋8=14，从而a=7，得a2=49，

于是b2=a2－c2=72－52=24，所以椭圆C的方程为＋=1，故选C.

6.设F1，F2为椭圆＋=1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，

则的值为(　　)

A.　        B.       C.         D.

【参考答案】答案为：D；

解析：如图，设线段PF1的中点为M，因为O是F1F2的中点，

所以OM∥PF2，可得PF2⊥x轴，|PF2|==，|PF1|=2a－|PF2|=，=，故选D.

7.P是椭圆＋=1(a＞b＞0)上的一点，A为左顶点，F为右焦点，PF⊥x轴，

若tan∠PAF=，则椭圆的离心率e为(　　)

A.          B.        C.          D.

【参考答案】答案为：D；

解析：不妨设点P在第一象限，因为PF⊥x轴，所以xP=c，

将xP=c代入椭圆方程得yP=，即|PF|=，则tan∠PAF===，

结合b2=a2－c2，整理得2c2＋ac－a2=0，两边同时除以a2得2e2＋e－1=0，

解得e=或e=－1(舍去).故选D.

8.已知椭圆＋=1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，

直线AB交y轴于点P.若=2，则椭圆的离心率是(　　)

A.          B.       C.          D.

【参考答案】答案为：D；

解析：∵=2，∴||=2||.

又∵PO∥BF，∴==，即=，∴e==.

9.已知P为椭圆＋=1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2=1和圆(x－3)2＋y2=4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　)

A.5        B.7       C.13        D.15

【参考答案】答案为：B；

解析：由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|=10，

从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2=7.

10.椭圆ax2＋by2=1(a＞0，b＞0)与直线y=1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为(　　)

A.        B.      C.        D.

【参考答案】答案为：B

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则ax＋by=1，ax＋by=1，

即ax－ax=－(by－by)，=－1，=－1，

∴×(－1)×=－1.∴=.故选B.

11.设椭圆C：＋=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，

∠PF1F2=30°，则C的离心率为(　　)

A.        B.           C.        D.

【参考答案】答案为：D

解析：在Rt△PF2F1中，令|PF2|=1，因为∠PF1F2=30°，所以|PF1|=2，|F1F2|=.

故e===.故选D.

12.焦点在x轴上的椭圆方程为＋=1(a>b>0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为(　 　)

A.          B.          C.          D.

【参考答案】答案为：C.

解析：由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，

又由三角形面积公式得×2c·b=(2a＋2c)·，得a=2c，即e==，故选C.

二 、填空题

13.设F1，F2是椭圆＋=1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|=4∶3，

则△PF1F2的面积为________.

【参考答案】答案为：24.

解析：因为|PF1|＋|PF2|=14，又|PF1|∶|PF2|=4∶3，所以|PF1|=8，|PF2|=6.

因为|F1F2|=10，所以PF1⊥PF2.所以S△PF1F2=|PF1|·|PF2|=×8×6=24.

14.已知离心率为的椭圆C：＋=1(0＜b＜)与y轴的正半轴交于点A，P为椭圆C上任意一点，则|PA|的最大值为________.

【参考答案】答案为：2.

解析：由已知得a=，离心率e===，则c=1，椭圆C的方程为＋y2=1，

A(0，1)，设P(x，y)，由两点间的距离公式得|PA|=

== ，由于|y|≤1，因而y=－1时|PA|取得最大值2.

15.已知P为椭圆＋=1(a＞b＞0)上一点，F1，F2是其左、右焦点，∠F1PF2              取最大值时，

cos∠F1PF2=，则椭圆的离心率为________.

【参考答案】答案为：.

解析：易知∠F1PF2取最大值时，点P为椭圆＋=1与y轴的交点，

由余弦定理及椭圆的定义得2a2－=4c2，即a=c，所以椭圆的离心率e==.

16.已知椭圆＋=1(a＞b＞0)的半焦距为c，且满足c2－b2＋ac＜0，则该椭圆的离心率e的取值范围是________.

【参考答案】答案为：(0,).

解析：∵c2－b2＋ac＜0，∴c2－(a2－c2)＋ac＜0，即2c2－a2＋ac＜0，

∴2－1＋＜0，即2e2＋e－1＜0，解得－1＜e＜.

又∵0＜e＜1，∴0＜e＜.∴椭圆的离心率e的取值范围是(0,).