高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用5.3 导数在研究函数中的应用课时练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用5.3 导数在研究函数中的应用课时练习，共14页。试卷主要包含了求极值及极值点，求最值点最值，已知极值及最值求参数等内容，欢迎下载使用。
5.3.2  极值与最值   考点一 求极值及极值点【例3】(2020·安徽滁州·高二期末(理))已知函数在点处的切线方程为.(1)求函数的解析式；(2)求函数的单调区间和极值.【答案】(1);(2)见解析.【解析】(1)，切线为，即斜率，纵坐标即，，解得，解析式(2) ，定义域为得到在单增，在单减，在单增极大值，极小值.【举一反三】1．(2020·重庆高二期末)函数的极小值点为___________．【答案】2【解析】因为，所以，令，得，所以当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；所以在时取得极小值，故填：2.2．(2020·广东云浮·高二期末)函数的极大值为__________．【答案】【解析】依题意得.所以当时，；当时，．所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.所以当时，函数有极大值．故答案为：.3．(2020·四川内江·高二期末(文))已知函数.(1)求的单调区间和极值；(2)若直线是函数图象的一条切线，求的值.【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为，极大值为，极小值为；(2)或.【解析】(1)，定义域为，.令，解得或；令，解得.所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，函数的极大值为，极小值为；(2)令，解得或，，，所以，切点坐标为或，则有或，解得或.考点二 求最值点最值【例2】．(2020·兴仁市凤凰中学高二月考(文))已知函数f(x)=x2(x-1)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[-1，2]上的最大值和最小值．【答案】(1) 的递增区间为，递减区间为．(2) 最大值，最小值．【解析】(1)∵，∴．由，解得或；由，解得，所以的递增区间为，递减区间为．(2)由(1)知是的极大值点，是的极小值点，所以极大值，极小值，又，，所以最大值，最小值．【举一反三】1．(2020·四川射洪中学高二期中(文))已知函数，曲线在点处的切线方程为.(1)求的值；(2)求在上的最大值．【答案】(1)，；(2)13【解析】(1)依题意可知点为切点，代入切线方程可得，，所以，即， 又由，则，而由切线的斜率可知，∴，即，由，解得，∴，．(2)由(1)知，则，令，得或，当变化时，，的变化情况如下表：    －3－21 ＋0－0＋ 8↗极大值↘极小值↗4∴的极大值为，极小值为，又，，所以函数在上的最大值为13．2．(2020·霍邱县第二中学高二月考(文))已知函数().(1)若，求在上的最小值和最大值；(2)若在上是增函数，求实数的取值范围.【答案】(1)最小值是，最大值是；(2).【解析】(1)，由得，解得，∴，令，即，解得或，   极小值∴在上的最小值是，最大值是；(2)由题意得：在区间上恒成立，∴，又当时，是增函数，其最小值为，∴，即实数的取值范围是.3．(2020·山东中区·济南外国语学校高二月考)设函数过点(1)求函数的单调区间和极值；(2)求函数在上的最大值和最小值.【答案】(1)增区间，，减区间，极大值，极小值．(2)最大值，最小值．【解析】(1)∵点在函数的图象上,∴,解得,∴,∴,当或时, ,单调递增;当时, ,单调递减.∴当时, 有极大值,且极大值为,当时, 有极小值,且极小值为
(2)由1可得:函数在区间上单调递减,在区间上单调递增.∴ ,又,,∴ 考点三 已知极值及最值求参数【例3-1】(2020·霍邱县第二中学高二开学考试(文))已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是(　　 )A．(－∞，0) B． C．(0,1) D．(0，＋∞)【答案】B【解析】函数f(x)=x(lnx﹣ax)，则f′(x)=lnx﹣ax+x(﹣a)=lnx﹣2ax+1，令f′(x)=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，函数f(x)=x(lnx﹣ax)有两个极值点，等价于f′(x)=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象(如图)当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．则实数a的取值范围是(0，)．故选B．【例3-2】(2020·山东高三月考)已知函数．(1)求的极值；(2)求在上的最大值．【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.【解析】(1)函数的定义域为，，当时，恒成立，则在上是减函数，无极值；当时，令，解得，则在上是减函数，在上是增函数，所以当时，有极小值，，无极大值，综上，当时，无极值，当时，有极小值，无极大值；(2)①当时，由(1)知在上是减函数，所以当时，有最大值；②当时，由(1)知在上是减函数，在上是增函数，(i)当，即时，在上是增函数，所以当时，有最大值；(ii)当即时，在上是减兩数，在上是增函数.若，即时，有最大值；若，即时，有最大值；(ⅲ)当即时，在上是减函数，所以当时，有最大值，综上所述，当时，有最大值；当时，有最大值.【举一反三】1．(2020·重庆北碚·西南大学附中高二期末)已知函数在处取得极值，则(    )A．1 B．2 C． D．-2【答案】C【解析】，依题意，即.此时，所以在区间上递增，在区间上递减，所以在处取得极大值，符合题意.所以.故选：C2．(2020·山西应县一中高二期中(理))已知函数的两个极值点分别在(-1，0)与(0，1)内，则2a-b的取值范围是(   )A． B． C． D．【答案】B【解析】由函数f(x)＝x3+2ax2+3bx+c，求导f′(x)＝3x2+4ax+3b，f(x)的两个极值点分别在区间(﹣1，0)与(0，1)内，由3x2+4ax+3b＝0的两个根分别在区间(0，1)与(﹣1，0)内，即，令z＝2a﹣b，∴转化为在约束条件为时，求z＝2a﹣b的取值范围，可行域如下阴影(不包括边界)，目标函数转化为z＝2a﹣b，由图可知，z在A(，0)处取得最大值，在(，0)处取得最小值，因为可行域不包含边界，∴z＝2a﹣b的取值范围(，)．故选B．3．(2020·四川省绵阳江油中学高二开学考试(理))若函数恰有两个极值点，则实数的取值范围为(   )A． B． C． D．【答案】D【解析】由题可得：，因为函数恰有两个极值点，所以函数有两个不同的零点.令，等价转化成有两个不同的实数根，记：，所以，当时，，此时函数在此区间上递增，当时，，此时函数在此区间上递增，当时，，此时函数在此区间上递减，作出的简图如下：要使得有两个不同的实数根，则，即：，整理得：.故选D4．(2020·江苏溧水·高二期中)已知函数．(Ⅰ)当时，求函数的单调增区间；(Ⅱ)求函数在区间上的最小值．【答案】(Ⅰ)(0，)，(1，＋∞) (Ⅱ)【解析】(Ⅰ)当时，，定义域为．．令，得或． 列表如下
 
 
 
 
 ＋
 －
 ＋
 
 ↗
 ↘
 ↗
   所以函数的单调增区间为和． (Ⅱ)．令，得或． 当时，不论还是，在区间上，均为增函数．所以； 当时，
 
 
 
 
 －
 0
 ＋
 
 ↘
 极小值
 ↗
 所以； 当时，
 1
 
 
 
 
 －
 
 
 
 ↘
 
 所以．综上，．. 5．(2020·邢台市第二中学高二期末)设函数().(1)讨论函数的极值；(2)若函数在区间上的最小值是4，求a的值.【答案】(1)当时，函数在R上无极值；当时，的极小值为，无极大值.(2)【解析】(1).当时，，在R上单调递增；无极值当时，，解得，由，解得.函数在上单调递减，函数在上单调递增，的极小值为，无极大值综上所述：当时，函数在R上无极值；当时，的极小值为，无极大值.(2)由(1)知，当时，函数在R上单调递增，∴函数在上的最小值为，即，矛盾.当时，由(1)得是函数在R上的极小值点.①当即时，函数在上单调递增，则函数的最小值为，即，符合条件.②当即时，函数在上单调递减，则函数的最小值为即，矛盾.③当即时，函数在上单调递减，函数在上单调递增，则函数的最小值为，即.令()，则，∴在上单调递减，而，∴在上没有零点，即当时，方程无解.综上，实数a的值为.