高中人教A版 (2019)5.3 导数在研究函数中的应用课时训练

5.3.1 函数的单调性

【题组一 求函数的单调区间】

1．(2020·河南信阳·高二期末(文))已知函数，则其单调增区间是(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，定义域为

令解得

故函数单调增区间是故选

2．(2020·吉林净月高新技术产业开发区·东北师大附中高二月考(理))函数的单调递增区间是(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】函数的定义域为，，令，解得.

因此，函数的单调递增区间是.故选：D.

3．(2020·北京丰台·高三二模)已知函数，则　　

A．是奇函数，且在定义域上是增函数

B．是奇函数，且在定义域上是减函数

C．是偶函数，且在区间上是增函数

D．是偶函数，且在区间上是减函数

【答案】B

【解析】根据题意，函数，则有，解可得，即的定义域为；设任意，，则函数为奇函数；

，其导数，

在区间上，，则为上的减函数；故选：．

4．(2020·山西省古县第一中学高二期中(理))函数 的单调递增区间是(  )

A． B． C．(1,4) D．(0,3)

【答案】B

【解析】，，解不等式，解得，

因此，函数的单调递增区间是，故选B.

5．(2020·沙坪坝·重庆一中高三月考)函数的一个单调减区间是(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，该函数的定义域为，

，

，可得，

令，可得，即，解得.

所以，函数的单调递减区间为.

当时，函数的一个单调递减区间为，

，

对任意的，，，，

故函数的一个单调递减区间为.

故选：A.

6．(2020·安徽高三开学考试(理))若曲线在点处的切线过点，则函数的单调递减区间为(    )

A． B．

C． D．，

【答案】D

【解析】由题意，

∴，又，

故曲线在点处的切线方程为，

将点代入可得，

则，

令，

所以或，

故函数在，上单调递减.

故选：D

7．(2020·云南昆明一中高三其他(理))函数的单调递减区间是(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】函数的定义域是，，

令，解得，

故函数在上单调递减，选：D.

【题组二 已知单调性求参数】

1．(2020·四川省绵阳江油中学高二期中(文))已知在上为单调递增函数，则的取值范围为(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，

因为在上为单调递增，等价于恒成立.即在上恒成立.

因为，当时，取“”，

所以，即的范围为.故选：D

2．(2020·河南南阳·高二期末(理))函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，，

由题意可知，不等式对于任意的恒成立，

所以，，解得.

因此，实数的取值范围是.

故选：B.

3．(2020·佳木斯市第二中学高二期末(文))“a≤-1”是“函数f(x)=ln x-ax在[1,+∞)上为单调函数”的(    )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】因为函数f(x)=ln x-ax在[1,+∞)上为单调函数，

所以在[1,+∞)上恒成立或在[1,+∞)上恒成立，

即或，

从而或

因为“”是“或” 充分不必要条件，

所以“a≤-1”是“函数f(x)=ln x-ax在[1,+∞)上为单调函数”的充分不必要条件，

故选：A

4．(2020·赣州市赣县第三中学高二月考(文))已知函数，若函数在上为增函数，则正实数的取值范围为(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】函数，，

因为函数在上为增函数，所以在上恒成立，

又，所以 在上恒成立，即在上恒成立，

令，所以，故选：D

5．(2019·四川树德中学高二月考(理))在单调递增，则的范围是__________．

【答案】

【解析】，则，

因为函数在上单调增，可得在上恒成立，

即，令，则，，

所以，因为在上是增函数，

所以其最大值为，

所以实数的取值范围是.

6．(2020·黑龙江让胡路·铁人中学高二期末(理))设函数在，上单调递增，则的取值范围是(    )

A．， B．， C． D．

【答案】B在，上单调递增，

在，上恒成立，即，

而函数在，上单调递增，当时，，，

的取值范围是，．故选：．

7．(2020·西夏·宁夏大学附属中学高二期中(理))若函数在区间上单调递减，则实数t的取值范围是(　　)

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为函数在区间上单调递减，

所以在恒成立，

所以即解得：.

8．(2020·临猗县临晋中学高二期末(理))设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是(    )

A．  B． C． D．

【答案】A

【解析】依题意，由此排除CD选项.

由，解得，

所以函数的单调递减区间为.

由此排除B选项，只有A选项正确.

证明如下：

由于在区间上单调递减，

所以，解得.

故选：A

【题组三 单调性与图像】

1．(2020·陕西省商丹高新学校高二月考(理))已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是(   )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】时，，则单调递减；

时，，则单调递增；

时，，则f(x)单调递减．

则符合上述条件的只有选项A．

故选A．

2．(2020·四川内江·高二期末(文))如图所示为的图象，则函数的单调递减区间是(    )

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由导函数图象，知或时，，∴的减区间是，．

故选：C．

3．(2020·浙江高二期中)函数的图象大致为(    )

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】因为，且定义域关于原点对称，所以函数为偶函数，故排除B项；

，设，则恒成立，所以函数单调递增，所以当时，，

任取，则，所以，，，

所以，函数在上为增函数，故排除C、D选项.

故选：A.

【题组四 利用单调性解不等式】

1．(2020·四川省绵阳南山中学双语学校高二月考(文))定义在上的函数的导函数为，且，若，则不等式的解集为(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】构造函数，

∵，

∴，

∴函数在上单调递减，

又，

∴不等式的解集为，

故选：A.

2．(2020·山西祁县中学高二月考(文))设函数，则使得成立的的取值范围是(     )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，所以，为上的偶函数，

又，当时，，故在上为增函数.

因，由 得到，

故，或，选D.

3．(2020·山东德州·高三二模)已知函数f(x)的定义域为R，且，则不等式解集为(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】构造函数,则,故在上为增函数.

又,故即,即.解得.

故选：C

4．(2020·历下·山东师范大学附中高三月考)已知定义在上的函数，其导函数为，若，且当时，，则不等式的解集为(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】令，则，

，，，

为定义在上的偶函数；

当时，，在上单调递减，

又为偶函数，在上单调递增.

由得：

，即，

，解得：，即不等式的解集为.

故选：.

5．(2020·安徽庐阳·合肥一中高三月考(文))已知函数，其中e是自然数对数的底数，若，则实数a的取值范围是(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由于，，则f(﹣x)＝﹣x3+e﹣x﹣ex＝﹣f(x)，故函数f(x)为奇函数．

故原不等式f(a﹣1)+f(2a2)≤0，可转化为f(2a2)≤﹣f(a﹣1)＝f(1﹣a)，即f(2a2)≤f(1﹣a)；

又f'(x)＝3x2﹣cosx+ex+e﹣x，由于ex+e﹣x≥2，故ex+e﹣x﹣cosx>0，

所以f'(x)＝3x2﹣cosx+ex+e﹣x≥0恒成立，

故函数f(x)单调递增，则由f(2a2)≤f(1﹣a)可得，2a2≤1﹣a，即2a2+a﹣1≤0，

解得，

故选B．

【题组五 利用单调性比较大小】

1．(2020·广东盐田·深圳外国语学校高三月考)已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，若，，，则a，b，c的大小关系是(    )

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】令，由是定义在上的偶函数，

可得是定义在上的奇函数，

又因为时，，

所以在上是增函数，所以是定义在上的增函数，

又由，所以，

即.

故选：A.

2．(2020·江苏淮安·高三月考)已知函数，，若，，则a，b，c的大小为(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，

所以在上单调递增，

因为，，，

所以，

所以，

故．

故选：B．

3．(2020·五华·云南师大附中高三月考(理))已知函数，若，，，则(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】函数，

设，，

则在恒成立，

函数在上单调递增，

，

即函数在上单调递增，且，

又函数在上单调递增，且，

函数，在上单调递增，且，

又，

函数是偶函数，

，，

，，而，，

，

又函数在上单调递增，

，

即，

故选：．

4．(2020·河南高三其他(理))设，则的大小关系是(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设，则，

当时，，故 在为减函数，

，，则，故；

又，，即，故，

．

故选：．

5．(2020·江西南昌二中高三月考(文))已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，则，，的大小关系为(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】当时，，则，

所以在上单调递增，

由，

所以，

因为函数是定义在R上的偶函数，所以，

所以，

故选：D