人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用课后练习题

5.3.2  极值与最值

【题组一 求极值及极值点】

1．(2020·北京市第十三中学高三开学考试)设函数，则的极大值点和极小值点分别为(    )

A．－2，2 B．2，－2 C．5，－3 D．－5，3

【答案】A

【解析】易知函数定义域是，

由题意，

当或时，，当或时，，

∴在和上递增，在和上递减，

∴极大值点是－2，极小值点是2．故选：A．

2．(2020·黑山县黑山中学高二月考)函数的极值点所在的区间为(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，且为单调函数，

∴，，

由，故的极值点所在的区间为，故选：B.

3．(2020·河北新华·石家庄二中高二期末)“”是“函数在上有极值”的(    )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】，则，令，可得.

当时，；当时，.

所以，函数在处取得极小值.

若函数在上有极值，则，.

因此，“”是“函数在上有极值”的充分不必要条件.

故选：A.

4．(2020·扶风县法门高中高二月考(理))设函数，则( )

A．为的极大值点 B．为的极小值点

C．为的极大值点 D．为的极小值点

【答案】D

【解析】因为，所以．

又，所以为的极小值点．

5．(2020·黑龙江让胡路·铁人中学高二期末(理))已知是函数的极小值点，那么函数的极大值为( )

A．15 B．16 C．17 D．18

【答案】D

【解析】,又因为是函数的极小值点，所以，，所以，由，或，所以在区间上，单调递增，在区间上，单调递减，在区间上，单调递增，所以函数的极大值为，故选D.

6．(2020·甘肃省会宁县第四中学高二期末(理))函数在上的极大值为(    )

A． B．0 C． D．

【答案】A

【解析】由可得

当时，单调递增

当时，单调递减

所以函数在上的极大值为故选：A

7．(2020·天津一中高二期中)函数f(x)＝3x2＋ln x－2x的极值点的个数是( )

A．0 B．1

C．2 D．无数个

【答案】A

【解析】，由得，方程无解，因此函数无极值点

8．(2020·北京高二期末)已知函数.

(Ⅰ)求曲线在处的切线方程；

(Ⅱ)求函数的极值.

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)极小值是，无极大值.

【解析】(Ⅰ)的定义域是，，

，故所求切线斜率，

过的切线方程是：，即；

(Ⅱ)，

令，解得：，

令，解得：，

故在递减，在递增，

故的极小值是，无极大值.

9．(2019·湖南雨花·高二期末(文))已知函数．

(1)求函数的单调区间；

(2)求函数的极值．

【答案】(1)单调增区间为：和，单调减区间为：；(2)极大值40，极小值8．

【解析】(1)∵，∴．令，则或2，

故的单调增区间为：和，单调减区间为：．

(2)由(1)得：当时，有极大值40，当时，有极小值8．

10．(2020·林芝市第二高级中学高二期中(理))已知函数，求：

(1)函数的图象在点处的切线方程；

(2)的单调区间及极值．

【答案】(1)；(2)减区间为，，增区间为；极小值为，极大值为25．

【解析】(1)显然由题意有，，，

∴

∴由点斜式可知，切线方程为：；

(2)由(1)有

∴时，或

时，

∴的单减区间为，；单增区间为

∴在处取得极小值，

在处取得极大值.

【题组二 求最值点最值】

1．(2020·四川内江·高二期末(文))函数在区间上的最大值是(　　)

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】函数，，

令，解得．∴函数在内单调递增，在内单调递减．

∴时函数取得极大值即最大值．．故选B．

2．(2020·甘肃武威·高三月考(理))已知函数.

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)求函数在区间上的最大值和最小值.

【答案】(1)；(2)最大值为，最小值为.

【解析】(1)因为，所以.

又因为，所以曲线在点处的切线方程为.

(2)设，则，

当时，，

所以在区间上单调递减，

所以对任意有，即，

所以函数在区间上单调递减，

因此在区间上的最大值为，最小值为.

3．(2020·江苏鼓楼·南京师大附中高三月考)已知函数，，．若在处与直线相切．

(1)求，的值；

(2)求在，上的最大值．

【答案】(1)；(2) .

【解析】(1)函数，，

函数在处与直线相切，

，解得；

(2)，，

当时，令得：，

令，得，

在，，上单调递增，

在，上单调递减，

所以函数的极大值就是最大值，

(1)．

4．(2020·安徽庐阳·合肥一中高三月考(文))已知函数f(x)＝ax3+bx+c在x＝2处取得极值为c﹣16.

(1)求a、b的值；

(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[﹣3，3]上的最大值和最小值.

【答案】(1)；(2)最小值为，最大值为28.

【解析】(1)因 ，故，

由于 在点处取得极值，

故有，即 ，解得；

(2)由(1)知 ，

令 ，得，

当时，故在上为增函数；

当 时， 故在 上为减函数，

当 时 ，故在 上为增函数．

由此可知 在 处取得极大值， 在 处取得极小值，由题设条件知 ，得，

此时，，，

因此上的最小值为，最大值为28.

5．(2020·河南商丘·高三月考(文))已知的一个极值点为2.

(1)求函数的单调区间；

(2)求函数在区间上的最值.

【答案】(1)函数的减区间为，增区间为，；(2)最小值是，最大值是13.

【解析】(1)，，

的一个极值点为2，

，解得.

，，

令，得或；

令，得；令，得或；

故函数的减区间为，增区间为，.

(2)由(1)知，，

当时，；当时，；

在上为增函数，在上为减函数，

是的极大值点，

又，，，

所以函数在上的最小值是，最大值是13.

6．(2020·重庆高二期末)已知()在处取得极值.

(1)求实数的值；

(2)求的单调区间；

(3)求在区间上的最大值和最小值.

【答案】(1)1；(2)增区间为，，减区间为；(3)最大值为9，最小值为.

【解析】(1)，由于在处取得极值，故，解得，经检验，当时，在处取得极值，故.

(2)由(1)得，，由得或；由得.

故的单调增区间为，，单减区间为.

(3)由(2)得函数的极大值为，得函数的极小值为，又，所以函数在区间上的最大值为9，最小值为.

【题组三 已知极值及最值求参数】

 1．(2020·湖南其他(理))已知函数，若时，在处取得最大值，则的取值范围为(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】∵，令，

∴，∴时，在单调递增；

∴时，在单调递减.如图，∴，

∴当时，，∴，在上单调递增，不成立；

当时，在上单调增减，成立；

当时，有两个根，，

∵当时，，；

当时，，；

当时，，，

∴在，上单调递增，在上单调递减，显然不成立.

综上，.

故选：A

2．(2020·河南郑州·高三月考(文))已知函数，若在上既有极大值，又有最小值，且最小值为，则的取值范围为(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】的零点为和1，

因为，所以1是函数的极小值即最小值点，

则是函数的极大值点，

所以，且，

解得.

故选：C.

3．(2020·广东高二期末(理))函数在，上最大值为2，最小值为0，则实数取值范围为(    )

A．， B．， C．， D．

【答案】A

【解析】. ，，

令，则或(舍负)，

当时，，单调递增；当时，，单调递减.

函数在，上最大值为2，最小值为0，且，(1)，

.

故选：A.

4．(2020·贵州遵义·高三其他(文))若函数无极值点则实数a的取值范围是(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】,

，

由函数无极值点知，

至多1个实数根，

，

解得，

实数a的取值范围是，

故选：B

5．(2020·四川省绵阳江油中学高二开学考试(理))函数+m在[0，2]上的最小值是2-e，则最大值是(    )

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】，

因为，

所以当时，，当时，，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

所以函数在处取得最小值，根据题意有，

所以，

当时，，当时，，

所以其最大值是2，

故选：B.

6．(2020·四川省绵阳江油中学高二月考(理))函数在内有最小值，则的取值范围为(　　)

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

∵函数f(x)=x3﹣3ax﹣a在(0，1)内有最小值，

∴f′(x)=3x2﹣3a=3(x2﹣a)，

①若a≤0，可得f′(x)≥0，f(x)在(0，1)上单调递增，

f(x)在x=0处取得最小值，显然不可能，

②若a＞0，f′(x)=0解得x=±，

当x＞，f(x)为增函数，0＜x＜为减函数，

f(x)在x=处取得极小值，也是最小值，

所以极小值点应该在(0，1)内，符合要求．

综上所述，a的取值范围为(0，1)

故答案为B

7．(2020·黑龙江高二期中(理))已知函数

(1)若，求函数的极值；

(2)当时，若在区间上的最小值为-2，求的取值范围.

【答案】(1) 函数的极大值为函数的极小值为 (2)

【解析】(1)，，定义域为，

又 .

当或时；当时

∴函数的极大值为

函数的极小值为.

(2)函数的定义域为，

且 ，

令，得或，

当，即时，在上单调递增，

∴在上的最小值是，符号题意；

当时，在上的最小值是，不合题意；

当时，在上单调递减，

∴在上的最小值是，不合题意

故的取值范围为

8．(2020·北京八中高二期末)已知函数.

(1)当时，求函数在上的最小值；

(2)若函数在上的最小值为1，求实数的取值范围；

(3)若，讨论函数在上的零点个数．

【答案】(1)1；(2)；(3)答案见解析.

【解析】(1)当时，

，

因为，所以，所以为单调递增函数，

所以．

(2)，，

当时，，所以为单调递增函数，，符合题意；

当时，在上，单调递减，在上，单调递增，所以，

因为，故，与的最小值为1矛盾.

故实数的取值范围为

(3)由(2)可知，当时，在上，为单调递增函数，，

此时函数的零点个数为0；

当时，，令，

则，函数单调递减，

令，解得， 

所以当，，，，，，

所以当时，，此时函数在上的零点个数为0；

当时，，此时函数在上的零点个数为1；

，

又，故在存在一个零点，

，故在存在一个零点，

此时函数在上的零点个数为2．

综上，可得时，函数在上的零点个数为0；

时，函数在上的零点个数为1；

，函数在上的零点个数为2.

9．(2020·广东禅城·佛山一中高二月考)已知函数；

讨论的极值点的个数；

若，求证：．

【答案】(1)当a≤0时，f(x)无极值点；当a＞0时，函数y=f(x)有一个极大值点，无极小值点；(2)见解析

【解析】(1)根据题意可得，，

当时，，函数是减函数，无极值点；

当时，令，得，即，

又在上存在一解，不妨设为，

所以函数在上是单调递增的，在上是单调递减的.

所以函数有一个极大值点，无极小值点；

总之：当时，无极值点；

当时，函数有一个极大值点，无极小值点.

(2)，，

由(1)可知有极大值，且满足①，

又在上是增函数，且，所以，

又知：，②

由①可得，代入②得，

令，则恒成立，

所以在上是增函数，

所以，即，

所以.

10．(2020·四川达州·高二期末(理))已知，函数，.

(1)讨论的单调性；

(2)记函数，求在上的最小值.

【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.

【解析】(1)，则.

当时，当时，，函数单调递增；

当时，当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减.

综上所述，当时，函数的单调递增区间为；

当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；

(2)，，

.

①当时，对任意的，，函数单调递增，

所以，函数在上的最小值为；

②若，对任意的，，函数单调递减，

所以，函数在上的最小值为；

③若时，当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

又因为，，

.

(i)当时，即当时，，

此时，函数在区间上的最小值为；

(ii)当时，即当时，.

此时，函数在区间上的最小值为.

综上所述，.

11．(2020·四川省绵阳江油中学高二期中(文))已知函数在处取得极小值1．

(1)求的解析式；

(2)求在上的最值．

【答案】(1)(2)最小值为1，最大值为3．

【解析】(1)，

由，得或．

当时，，则在上单调递增，在上单调递减，符合题意，由，得；

当时，，则在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，不符合题意．

所以．

(2)由(1)知在上单调递增，在上单调递减，

因为，所以的最小值为1，最大值为3．

12．(2020·扶风县法门高中高二月考(理))已知函数，曲线在点处切线方程为．

(1)求的值；

(2)讨论的单调性，并求的极大值．

【答案】(1)；(2)见解析.

【解析】(1)．

由已知得，．

故，．

从而，．

(2)由(1)知，，

．

令得，或．

从而当时，；

当时，．

故在，上单调递增，在上单调递减．

当时，函数取得极大值，极大值为．