人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理测试题

1.2  空间向量的基本定理

【题组一 基底的判断】

1．(2020·山东微山县第二中学高二月考)已知，，是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是(　　)

A．2，﹣，+2 B．2，﹣，+2

C．，2，﹣ D．，+，﹣

【答案】C

【解析】对于A，因为2=(﹣)+(+2)，得2、﹣、+2三个向量共面，故它们不能构成一个基底，A不正确；

对于B，因为2=(﹣)+(+2)，得2、﹣、+2三个向量共面，故它们不能构成一个基底，B不正确；

对于C，因为找不到实数λ、μ，使=λ•2+μ(﹣)成立，故、2、﹣三个向量不共面，

它们能构成一个基底，C正确；

对于D，因为=(+)﹣(﹣)，得、+、﹣三个向量共面，故它们不能构成一个基底，D不正确

故选：C．

2．(2018·安徽六安一中高二期末(理))已知点为空间不共面的四点，且向量，向量，则与，不能构成空间基底的向量是(  )

A． B． C． D．或

【答案】C

【解析】

∵，

即与，共面，

∴与，不能构成空间基底；

故选C.

3．已知是空间向量的一个基底，则与向量+，-可构成空间向量基底的是(    )

A． B．

C．+2 D．+2

【答案】D

【解析】由题意，向量都有向量为共面向量，因此A、B、C都不符合题意，只有向量与向量属于不共面向量，所以可以构成一个空间的基底，故选D.

4．(2020·南昌市八一中学高二期末(理))为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是(    )

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】对于A，因为，所以共面，不能构成基底，排除A，

对于B，因为，所以共面，不能构成基底，排除B，

对于D，，所以共面，不能构成基底，排除D，

对于C，若共面，则，则共面，与为空间向量的一组基底相矛盾，故可以构成空间向量的一组基底，

故选：C

5．(2018·江西南昌二中高二期中(理))若为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是(  )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】共面，故不能作为基底，故错误；共面，故不能作为基底，故错误；不共面，故可以作为基底，故正确；共面，故不能作为基底，故错误，故选C.

【题组二 基底的运用】

1．(2020·天水市第一中学高二月考(理))如图，平行六面体中，与交于点，设，则 (  )

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】，，，

∴，故选D．

2．(2020·全国高一课时练习)若是空间的一个基底，，，，，，则，，的值分别为( )

A．，， B．，，

C．，， D．，1，

【答案】A

【解析】

，

由空间向量基本定理，得∴，，.

3(2020·山东沂.高二期末)如图所示，，分别是四面体的边，的中点，是靠近的三等分点，且，则__．

【答案】

【解析】因为，分别是四面体的边，的中点，是靠近的三等分点，

所以，

，

，

，

所以，，，

，

故答案为：．

4．(2019·江苏鼓楼.南京师大附中高二期中)在正方体中，点O是的中点，且，则的值为________.

【答案】

【解析】在正方体中得，

又因为所以所以.故答案为：

【题组三 基本定理的运用】

1．已知，，三点不共线，对平面外的任一点，若点满足．

(1)判断，，三个向量是否共面；

(2)判断点是否在平面内．

【答案】(1)共面   (2)点在平面内．

【解析】

(1)如图，为的重心)

为的三等分点)

设中点为，

则

可知在上，且为的重心

故知共面

(2)由(1)知共面且过同一点.

所以四点共面，从而点在平面内．

2．已知直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为________．

【答案】

【解析】如图所示,将直三棱柱补成直四棱柱,

连接,则,所以或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角．

因为,

所以, .

在中,,

所以

所以

故答案为:

3．如图所示，在平行四边形中，，，将它沿对角线折起，使与成角，求点与点之间的距离．

【答案】或

∴

，

∴或，故点与点之间的距离为或．

4.已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC．

【答案】见解析

【解析】连接ON，设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，

又设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|.

又＝(＋)＝＝(a＋b＋c)，＝c－b.

∴·＝(a＋b＋c)·(c－b)＝(a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c)＝(|a|2·cos θ－|a|2·cos θ－|a|2＋|a|2)＝0.∴⊥，即OG⊥BC．