2021宿迁高一下学期期末考试数学试题含答案

江苏省宿迁市2020—2021学年高一下学期期末考试

数学试题

2021．06

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

1．一只不透明的盒子中装有形状、大小相同的4只球，其中有2只白球，2只黑球，若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是

A．             B．             C．             D．

2．下表是“拽步舞”比赛中12个班级的得分情况，则80百分位数是

A．13.5           B．10.5            C．12            D．13

3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则△ABC的形状是

A．等腰三角形    B．直角三角形      C．等腰直角三角形 D．等边三角形

4．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝

   A．   B．    C．    D．

5．已知m，n是两条不相同的直线，，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是

A．若m，n，m∥n，则∥ B．若m⊥，m⊥，n，则n∥

C．若⊥，m⊥，m⊥n，则n∥ D．若∥，m⊥，n∥，则m∥n

6．已知，＝(，3)，在上的投影向量为，则与的夹角为

   A．           B．             C．或       D．

7．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB＝120°，CA＝CB＝，AA1＝2，则这个直三棱柱的外接球的表面积为

A．8           B．16           C．32           D．64

8．祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同幂，则积不容异”．这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．如图所示，某帐篷的造型是两个全等圆柱垂直相交的公共部分的一半（这个公共部分叫做牟合方盖）．设两个圆柱底面半径为R，牟合方盖与其内切球的体积比为4：．则此帐篷距底面处平行于底面的截面面积为

   A．         B．           C．         D．

二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

9．设i为虚数单位，复数z＝(a＋i)(1＋2i)，aR，则下列命题正确的是

A．若z为纯虚数，则a的值为2

B．若z在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是(，2)

C．实数a＝是z＝（为z的共轭复数）的充分不必要条件

D．若＝5，则实数a的值为±2

10．中共中央决定，2021年在全党开展党史学习教育，激励全党不忘初心、牢记使命．某单位随机抽取了100名职工组织了“党史”知识竞赛，满分为100分（80分及以上为优良），并将所得成绩分组得到了如图所示的频率分布折线图（组距为10）．从频率分布折线图中得到的这100名职工成绩的以下信息正确的是

A．成绩是49分或100分的职工人数是0

B．成绩优良的人数是35人

C．众数是75

D．平均分约为75.5分

11．已知O是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是

A．若，则O是△ABC的重心

B．若向量，且，则△ABC是正三角形

C．若O是△ABC的外心，AB＝3，AC＝5，则的值为﹣8

D．若，则S△OAB：S△OBC：S△OAC＝4：1：2

12．已知边长为a的菱形ABCD中，∠ADC＝60°，将△ADC沿AC翻折，下列说法正确的是

A．在翻折的过程中，直线AD，BC所成角的范围是(0，)

B．在翻折的过程中，三棱锥D—ABC体积最大值为

C．在翻折过程中，三棱锥D—ABC表面积最大时，其内切球表面积为

D．在翻折的过程中，点D在面ABC上的投影为D′，E为棱CD上的一个动点，ED′的最小值为

三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）

13．五一假期中，甲、乙、丙去北京旅游的概率分别是，，，假定三人的选择相互之间没有影响，那么这个假期中至少有1人去北京旅游的概率为       ．

14．若cos()＝，则sin()＝       ．

15．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A、B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C、D，测得CD＝45m，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则A、B两点的距离为       m．

16．某几何体由圆锥挖去一个正三棱柱而得，且正三棱柱的上底面与圆锥内接，下底面在圆锥的底面上，已知该圆锥的底面半径R＝3，正三棱柱的底面棱长a＝，且圆锥的侧面展开图的圆心角为，则该几何体的体积为       ．

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）

已知向量＝(3，1)，＝(2，4)．

（1）求向量与夹角;

（2）若()⊥()，求实数的值．

18．（本小题满分12分）

已知复数z满足＝，的虚部为2，在复平面内，z所对应的点A在第一象限．

（1）求复数；

（2）设向量表示复数z对应的向量，(cos＋isin)·z(＞0)的几何意义是将向量绕原点逆时针旋转后得到新的向量对应的复数．利用该几何意义，若△OAB是等边三角形，求向量对应的复数．

19．（本小题满分12分）

已知函数，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，其中条件①；条件②：；条件③：．求：

（1）的单调递减区间；

（2）在区间[0，]的取值范围．

（注：如果选择不同条件分别解答，按第一个解答计分．）

20．（本小题满分12分）

某校高一年级为了了解某兴趣小组近期的学习效果，随机抽取40位同学进行质量检测，每位同学随机抽取100个单选题进行作答，答对了得1分，答错或不选不得分，且每位同学检测结果相互独立，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）若从该兴趣小组随机抽取一位同学进行检测，试估计得分不小于70分的概率；

（2）利用该频率分布直方图的组中值，估计这40同学考试成绩的方差s2；

（3）为了掌握该小组知识的薄弱点，现采用分层抽样的方法，在50到80分之间，抽取一个容量为15的样本，在这15个成绩中，随机抽取2次（每次抽取一个且不放回），求在第一次抽到成绩在70—80分的情况下，第二次成绩在60到70分之间的概率．

21．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝4，BC＝8，PA＝．

（1）求证：AB⊥PC；

（2）在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M—AC—D的大小为45°，如果存在，求BM与平面ABCD所成的角的正切值，如果不存在，请说明理由．

22．（本小题满分12分）

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝6，P，Q为边BC上两点，＝＝＝2，∠CAQ＝．

（1）求AQ的长；

（2）过线段AP中点E作一条直线l，分别交边AB，AC于M，N两点，设，(xy≠0)，求x＋y的最小值．