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初中数学人教版七年级下册5.1.2 垂线课后测评
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这是一份初中数学人教版七年级下册5.1.2 垂线课后测评，共28页。
5.1.2 垂线
基础对点练
知识点1 垂线的定义、性质及画法
1．（2021·全国·七年级专题练习）下列语句中，正确的有（ ）
①一条直线的垂线只有一条；
②在同一平面内，过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；
③两直线相交，则交点叫垂足；
④互相垂直的两条直线形成的四个角一定都是直角．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】
根据垂线的性质和定义进行分析即可．
【详解】
解：①一条直线的垂线只有一条，说法错误；
②在同一平面内，过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，说法正确；
③两条直线相交，则交点叫垂足，说法错误；
④互相垂直的两条直线形成的四个角一定是直角，说法正确．
正确的共有2个；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查垂线的性质和定义以及真假命题的判断．
2．（2021·河南郑州·七年级期末）小红在学习垂线时遇到了这样一个问题，请你帮她解决：如图，线段AB和CD相交于点O，则下列条件中能说明AB⊥CD的是（ ）
A．AO＝OB B．CO＝OD C．∠AOC＝∠BOD D．∠AOC＝∠BOC
【答案】D
【分析】
根据题意证明∠AOC=90°即可．
【详解】
解：A.由OA＝OB只能得出O是AB的中点，故A选项错误；
B.由OC＝OD只能得出O是CD的中点，故B选项错误；
C.∠AOC和∠BOD是对顶角，对顶角始终是相等的，故C选项错误；
D.∠AOC和∠BOC互补，当∠AOC＝∠BOC时，∠AOC＝180°÷2＝90°，∴CD⊥AB，故选项D正确，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查垂直的定义，当两条线的夹角是90°时，两直线互相垂直，基本定义要牢记．也考查了对顶角和线段的中点．
3．（2021·湖南·隆回县教育科学研究室七年级期末）如图，AB⊥CD，垂足为O，EF是过点O的一条直线，已知∠1=40°，则∠2=（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【答案】C
【分析】
根据垂直得到∠BOD=90°，然后平角的性质求解即可．
【详解】
∵AB⊥CD，
∴∠BOD=90°，
∵∠1+∠BOD+∠2=180°，∠1=40°，
∴40°+90°+∠2=180°，
∴∠2=50°，
故选：C．
【点睛】
此题考查了直角和平角的性质，解题的关键是熟练掌握直角和平角的性质．
4．（2021·吉林靖宇·七年级期末）如图，三条直线相交于点．若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
首先根据垂直定义可得∠AOC=90°，根据平角定义可得∠1+∠2=90°，再由∠1=52°可得∠2的度数．
【详解】
解：∵CO⊥AB，
∴∠AOC=90°，
∴∠1+∠2=180°-90°=90°，
∵∠1=52°，
∴∠2=90°-52°=38°，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了垂直，关键是掌握当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直．
5．（2021·河南·郑州外国语中学八年级开学考试）下列选项中，过点P画AB的垂线CD，三角尺放法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据P点在CD上，CD⊥AB进行判断．
【详解】
解：过点P画AB的垂线CD，则P点在CD上，CD⊥AB，所以三角尺放法正确的为
．
故选：C．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图，熟练掌握基本作图（过一点画已知直线的垂线）是解决问题的关键．
6．（2021·全国·七年级课时练习）画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线．如图，请你过点画出射线或线段的垂线．
【答案】见详解
【分析】
利用直角三角板，一条直角边与BA重合，沿BA平移，使另一直角边过P，再画垂线即可．
【详解】
如图所示：
（1）PQ即为所求；
（2）PM即为所求；
（3）PN即为所求．
【点睛】
此题主要考查了基本作图，关键是掌握过直线上、直线外一点，分别作已知直线的垂线的方法．
7．（安徽省合肥期中）如图，直线AB，CD相交于O，OE平分∠AOC，OF⊥OE，若∠BOD＝40°，求∠DOF的度数．
【答案】70°
【解析】
【分析】
由对顶角相等可得∠AOC＝40°，由角平分线的性质可得∠COE的度数，利用OF⊥OE，可得∠EOF＝90°，用角的和差可求∠DOF的度数．
【详解】
解：∵OE平分∠AOC，
∴∠COE＝∠AOC．
∵∠AOC＝∠BOD，∠BOD＝40°，
∴∠AOC＝40°．
∴∠COE＝×40°＝20°．
∵OF⊥OE，
∴∠EOF＝90°．
∴∠DOF＝180°﹣∠EOF﹣∠COE＝180°﹣90°﹣20°＝70°．
【点睛】
本题考查了角平分的定义、对顶角的性质，熟练掌握对顶角相等以及角平分线的定义是解题的关键.
知识点2 垂线段的性质及点到直线的距离
8．（2021·河北滦州二模）如图，在平面内过点O作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
【答案】B
【分析】
根据垂直、垂线的定义，可直接得结论．
【详解】
解：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
所以在平面内过点O作已知直线m的垂线，可作垂线的条数只有1条．
故选：B．
【点睛】
本题考查了垂直和垂线的定义．掌握垂线的定义是解决本题的关键．
9．如图，连接直线外一点P与直线上各点O，A1，A2，A3，…，其中PO⊥，这些线段PO，PA1，PA1，PA3，…中，最短的线段是（ ）
A．PO B．PA1 C．PA2 D．PA3
【答案】A
【分析】
由点到直线的距离，垂线段最短，可得答案．
【详解】
解：∵PO⊥，
∴最短的线段是线段PO，
故选：A．
【点睛】
本题考查的是垂线段的定义，垂线段最短，掌握以上知识是解题的关键．
10．如图所示，火车站，码头分别位于A，B两点，直线a，b分别表示铁路与河流．
（1）从火车站到码头怎样走最近？请画图并说明理由．
（2）从码头到铁路怎样走最近？请画图并说明理由．
【答案】（1）沿线段AB走，见解析，两点之间，线段最短；（2）沿垂线段BD走，见解析，垂线段最短
【解析】
【分析】
（1）根据两点之间线段最短解决问题即可．
（2）根据垂线段最短解决问题即可．
【详解】
解：（1）如图，沿线段AB走，理由：两点之间，线段最短．
（2）如图，沿垂线段BD走，理由：垂线段最短．
【点睛】
本题考查了“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”两个知识，熟知两个知识点并正确作图是解题关键．
能力达标练
11．（吉林省白山市长白县宝泉山中学2019-2020学年七年级下学期期末数学试题）下列图形中线段PQ的长度表示点P到直线a的距离的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据点到直线的距离的定义，可得答案．
【详解】
解：由题意得PQ⊥a，
P到a的距离是PQ垂线段的长，
故选：C．
【点睛】
本题考查点到直线的距离、垂直的性质等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
12．（2021·陕西·吴堡县教学研究室七年级期末）如图，，，若，则的度数为（ ）
A．125° B．135° C．145° D．155°
【答案】C
【分析】
根据余角的定义：和为90°的两个角互为余角，即可求解．
【详解】
解：∵，
∴，
∵，、
∴，
∵，
∴,
∴，
故选：C．
【点睛】
本题考查了垂直的定义，余角的定义，熟知相关定义是解题的关键．
13．（2021·全国·七年级课时练习）如图，直线a，b相交于点O，射线c⊥a，垂足为点O，若∠1=40°，则∠2的度数为（ ）
A．50° B．120° C．130° D．140°
【答案】C
【分析】
直接利用垂直的定义进而结合平角的定义得出答案．
【详解】
解：∵直线a与b相交于点O，直线c⊥b，∠1=40°，
∴∠2=180°-(90°-40°)=130°．
故答案为：C．
【点睛】
本题主要考查了垂线的定义以及邻补角的定义，正确把握定义是解题关键．
14．（2020·山西·七年级阶段练习）如图，如果直线直线a，直线直线a，那么与重合（即O，M，N三点共线），其理由是（ ）
A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．在同一平面内，过两点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点确定一条直线
D．垂线段最短
【答案】A
【分析】
利用垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，即可解答．
【详解】
解：如果直线ON⊥直线a，直线OM⊥直线a，那么OM与ON重合（即O，M，N三点共线），其理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了垂线，关键是掌握垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
15．（2021·福建·莆田第二十五中学）直线l上有A，B，C三点，直线l外有一点P，若，，，那么点P到直线l的距离（ ）
A．等于2.5cm B．小于2.5cm
C．小于或等于2.5cm D．大于或等于2.5cm，而小于3cm
【答案】C
【分析】
根据点到直线的距离的定义和垂线段最短的性质解答．
【详解】
解：∵PA=5cm，PB=3cm，PC=2.5cm，
∴P点到直线l的距离小于或等于2.5cm．
故选：C．
【点睛】
本题考查了点到直线的距离的定义以及垂线段最短的性质，熟记概念与性质是解题的关键．
16．（2021·河南·郑州市第八中学）如图，小华同学的家在点处，他想尽快到达公路边去接从外地回来的外婆，他选择路线时所用到的数学知识是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点之间直线最短
C．两点之间线段最短 D．垂线段最短
【答案】D
【分析】
根据垂线段的性质解答即可．
【详解】
小华同学应选择P→C路线，因为垂线段最短，
故选：D．
【点睛】
本题考查了垂线段的性质，掌握知识点是解题关键．
17．（山西省吕梁市文水县2019-2020学年七年级下学期期末数学试题）如图，直线AB，CD相交于点O，下列条件中：①∠AOD＝90° ；②∠AOD＝∠AOC；③∠AOC+∠BOC＝180°；④∠AOC+∠BOD＝180°，能说明AB⊥CD的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
根据垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直进行判定即可．
【详解】
解：①∠AOD=90°，可以得出AB⊥CD；
②∵∠AOD＝∠AOC，∠AOC+∠AOD=180°，
∴∠AOD=90°，
∴AB⊥CD：
③∠AOC+∠BOC＝180°，不能得到AB⊥CD；
④∵∠AOC+∠BOD=180°，∠AOC=∠BOD，
∴∠AOC=90°，
∴AB⊥CD；
故能说明AB⊥CD的有①②④共3个．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了垂直定义，关键是通过条件计算出其中一个角为90°．
18．（安徽省芜湖市第二十九中学2016-2017学年七年级下学期期中教学质量评估数学试卷）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD∶∠BOE＝4∶1，则∠AOF的度数为( )
A．120° B．125° C．130° D．135°
【答案】D
【解析】
设∠BOE=x°,则∠AOD=4x°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE=∠DOE=x°，
∴∠AOC=∠BOD=2x°，
∵∠AOD+∠BOD=180°，
∴4x+2x=180，解得：x=30，
∴∠COE=∠COD−∠DOE=180°−30°=150°，
∵OF平分∠COE，
∴∠COF=12∠COE=75°，
∴∠AOF=∠AOC+∠COF=60°+75°=135°，
故选D.
19．（湖北省武汉市东湖高新区2020-2021学年七年级下学期期中数学试题）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是（ ）
A．3 B．2.5 C．2.4 D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
当PC⊥AB时，PC的值最小，利用面积法求解即可．
【详解】
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∵当PC⊥AB时，PC的值最小，
此时：△ABC的面积＝•AB•PC＝•AC•BC，
∴5PC＝3×4，
∴PC＝2.4，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了垂线段最短和三角形的面积公式，解题的关键是学会利用面积法求高．
20．（四川省乐山市2020年初中学业水平考试数学试题）如图，是直线上一点，，射线平分，．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先根据射线平分，得出∠CEB=∠BEF=70°，再根据，可得∠GEB=∠GEF-∠BEF即可得出答案．
【详解】
∵，
∴∠CEF=140°，
∵射线平分，
∴∠CEB=∠BEF=70°，
∵，
∴∠GEB=∠GEF-∠BEF=90°-70°=20°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，补角，掌握知识点灵活运用是解题关键．
21．（2021·全国·七年级课时练习）如图所示，AC⊥BC，CD⊥AB于D，AC=5cm，BC=12cm，AB=13cm，则点B到AC的距离是______，点A到BC的距离是_________，AC>CD的依据是________________．
【答案】 垂线段最短
【分析】
点到直线的距离是指垂线段的长度，两点间的距离是连接两点的线段的长度，据此回答即可．
【详解】
解：∵AC⊥BC，CD⊥AB于D，AC=5cm，BC=12cm，AB=13cm，
∴B到AC的距离是12cm，A点到BC的距离是5cm，
∵垂线段最短，
∴CD＜AC，
故答案为：12cm，5cm，垂线段最短．
【点睛】
本题主要考查了点到直线的距离以及垂线段最短的运用，点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．
22．如图，直线相交于点于点，连接.
(1)若,则=__________;
(2)若=2 cm, =1.5 cm, =2. 5 cm,则点到的距离是________cm.
【答案】65 1.5
【分析】
（1）根据对顶角的性质得出∠BOD，再由垂直的定义即可得出答案；
（2）根据点到直线的距离即可得出答案．
【详解】
(1)∵OE⊥CD，
∴∠DOE=90°，
∵∠AOC=25°，
∴∠BOD=90°，
∴∠BOE=90°−25°=65°，
(2)∵OE⊥CD，OE=1.5cm，
∴点E到直线CD的距离是1.5cm，
故答案为65°，1.5.
【点睛】
本题考查点到直线的距离，对顶角、邻补角定义、性质，解答关键是要理解并掌握点到直线的距离定义．
23．（2020·浙江浙江·七年级期中）根据下列语句，画出图形．
如图，已知平面内有四个点A、B、C、D，其中任意三点都不在同一直线上．
①画直线；射线、线段；
②过点B作的垂线，垂足为点G．
【答案】①见详解；②见详解
【分析】
①根据直线，射线，线段的概念，画出图形即可；
②根据垂线的定义，画出图形即可．
【详解】
解：①如图所示：
②如图所示：
【点睛】
本题主要考查画直线，射线，线段，垂线，熟练掌握直线，射线，线段，垂线的定义是解题的关键．
24．（2015-2016学年天津津南区东片学区七年级下期中数学试卷（带解析））如图，直线AB、CD相交于O，OD平分∠AOF，OE⊥CD于点O，∠1＝50°，求∠COB、∠BOF的度数．
【答案】∠COB＝40°，∠BOF＝100°．
【详解】
因为OE⊥CD，所以∠DOE＝90°．又因为∠1＝50°，所以∠AOD＝∠COB＝40°．因为OD平分∠AOF，所以∠AOF＝2∠AOD＝80°，所以∠BOF＝180°－∠AOF＝100°．
25．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB于点O，ON⊥CD于点O．
（1）试说明∠1＝∠2；
（2）若∠BOC＝4∠2，求∠AOC的大小．
【答案】（1）见解析；（2）60°
【解析】
【分析】
（1）利用同角的余角相等解答即可得出结论；
（2）利用（1）的结论，等量代换可得∠BOC＝4∠1，利用∠BOM＝90°＝3∠1，求得∠1的度数，则∠AOC＝90°﹣∠1．
【详解】
解：（1）∵OM⊥AB，ON⊥CD，
∴∠AOM＝∠CON=90°，
∴∠AOC+∠1＝90°，∠AOC+∠2＝90°，
∴∠1＝∠2．
（2）∵OM⊥AB，
∴∠BOM＝90°．
∵∠1＝∠2，∠BOC＝4∠2，
∴∠BOC＝4∠1．
∴∠BOM＝∠BOC﹣∠1＝4∠1﹣∠1＝3∠1，
即3∠1＝90°，
∴∠1＝30°．
∴∠AOC＝∠AOM﹣∠1＝90°﹣30°＝60°．
【点睛】
本题考查了对顶角、垂线性质、余角等基本几何知识，属于基础题．熟练掌握基本几何公理、基本几何概念是关键．
拓广探索突破
26．如图，点O为直线AB上一点，射线OC，OD，OE都在直线AB的上方，∠COD＝90°，下列说法：①若OD平分∠BOE，则∠AOC的余角和∠AOD的补角都有两个；②若OC平分∠AOE，则有OD平分∠BOE；③若OE平分∠BOC，则OC平分∠AOE；④若OE平分∠BOC，则有∠AOC＝2∠DOE，其中结论正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角；从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．依据余角的定义以及角平分线的定义，即可得到正确结论．
【详解】
解：①若OD平分∠BOE，则∠BOD＝∠DOE，
∵∠COD＝90°，
∴∠AOC＋∠BOD＝90°，∠AOC＋∠DOE＝90°，
又∵∠AOD＋∠BOD＝180°，∠AOD＋∠DOE＝180°，
∴∠AOC的余角和∠AOD的补角都有两个，
故①正确；
②若OC平分∠AOE，则∠AOC＝∠EOC，
又∵∠COD＝90°，
∴∠AOC＋∠BOD＝90°，∠COE＋∠DOE＝90°，
∴∠DOE＝∠DOB，
∴OD平分∠BOE，
故②正确；
③若OE平分∠BOC，则OC平分∠AOE不一定成立，
故③错误；
④若OE平分∠BOC，则∠BOE＝∠BOC＝（180°−∠AOC）＝90°−∠AOC，
又∵∠DOB＝90°−∠AOC，
∴∠DOE＝∠BOE−∠BOD＝（90°−∠AOC）−（90°−∠AOC）＝∠AOC，
∴∠AOC＝2∠DOE，
故④正确；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了余角和补角以及角平分线的定义，余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
27．（2021·全国·七年级课时练习）从点O引出四条射线OA，OB，OC，OD，且AO⊥BO，CO⊥DO，试探索∠AOC与∠BOD的数量关系．
【答案】相等或互补
【分析】
分两种情况讨论，①∠AOB与∠CODA有公共部分，②∠AOB与∠COD没有公共部分，画出图形即可得出结论．
【详解】
解：①如图①所示：
∵∠AOC+∠BOC=∠BOD+∠BOC=90°，
∴∠AOC=∠BOD；
②如图②所示：
∵∠AOC+∠BOA+∠BOD+∠DOC=360°，
即∠AOC+90°+∠BOD+90°=360°，
∴∠AOC+∠BOD=180°．
综上，∠AOC与∠BOD的数量关系是：相等或互补．
【点睛】
本题考查了余角和补角的知识，关键是分类讨论，对于位置未知的情况，我们可分情况讨论．
28．（江苏省南京外国语学校仙林分校2020-2021学年七年级上学期期末数学试题）如图，直线、相交于点，为锐角，，平分
（1）图中与互余的角为__________；
（2）若，求的度数；
（3）图中与锐角互补角的个数随的度数变化而变化，直接写出与互补的角的个数及对应的的度数
【答案】（1）、；（2）；（3）见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据余角的定义可解答；
（2）根据补角的定义列方程可解答；
（3）设出∠AOE的度数，依次表达图中的补角，可解．
【详解】
（1）由题意可得于∠AOE互余的角为：、
（2）设.
∵，
∴，
.
∵，
∴.
又∵，
∴，即.
∴.
（3）设∠AOE=α，且0°＜α＜90°由（1）可知，∠AOD=∠BOC=90°-α，∠BOE=180°-α，
∴∠BOD=180°-∠AOD=180°-（90°-α）=90°+α，
∵OF平分∠BOD，
∴∠BOF=∠DOF=45°+，
∴∠AOF=∠AOD+∠DOF=90°-α+45°+=135°-，
∠EOF=∠AOF+∠AOE=135°+，
∠COF=∠BOC+∠BOF=90°-α+45°+=135°-=∠AOF，
①当∠AOF+∠AOE=180°时，即135°-+α=180°，解得α=90°，不符合题意；
②当∠EOF+∠AOE=180°时，即135°++α=180°，解得α=30°，符合题意；
③当∠BOD+∠AOE=180°时，即90°+α+α=180°，解得α=45°，符合题意；
综上可知，
当锐角时，互补角有2个，为、．
当锐角时，互补角有3个，为、、．
当锐角不等于和时，互补角有1个，为．
【点睛】
本题主要考查补角的定义，角平分线的定义，熟练掌握补角的定义是解题关键．
29．（辽宁省营口市老边区联合校2020-2021学年七年级下学期期中质量监测数学试题）平面内两条直线、相交于点，，恰好平分．
（1）如图1，若，求数；
（2）在图1中，若，请求出的度数（用含有的式子表示），并写出和的数量关系；
（3）如图2，当，在直线的同侧时，和的数量关系是否会发生改变？若不变，请直接写出它们之间的数量关系；若发生变化，请说明理由．
【答案】（1）；（2），；（3）不变，
【解析】
【分析】
（1）根据邻补角的定义和角平分线的定义解答即可；
（2）根据垂线的定义、邻补角的定义和角平分线的定义解答即可；
（3）根据（1）（2）解答即可．
【详解】
（1），
，
平分，
，
，
，
；
（2），
，
平分，
，
，
，
；
；
（3）不变，．
【点睛】
考查了垂线，角平分线的定义，邻补角的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．
5.1.2 垂线
基础对点练
知识点1 垂线的定义、性质及画法
1．（2021·全国·七年级专题练习）下列语句中，正确的有（ ）
①一条直线的垂线只有一条；
②在同一平面内，过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；
③两直线相交，则交点叫垂足；
④互相垂直的两条直线形成的四个角一定都是直角．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】
根据垂线的性质和定义进行分析即可．
【详解】
解：①一条直线的垂线只有一条，说法错误；
②在同一平面内，过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，说法正确；
③两条直线相交，则交点叫垂足，说法错误；
④互相垂直的两条直线形成的四个角一定是直角，说法正确．
正确的共有2个；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查垂线的性质和定义以及真假命题的判断．
2．（2021·河南郑州·七年级期末）小红在学习垂线时遇到了这样一个问题，请你帮她解决：如图，线段AB和CD相交于点O，则下列条件中能说明AB⊥CD的是（ ）
A．AO＝OB B．CO＝OD C．∠AOC＝∠BOD D．∠AOC＝∠BOC
【答案】D
【分析】
根据题意证明∠AOC=90°即可．
【详解】
解：A.由OA＝OB只能得出O是AB的中点，故A选项错误；
B.由OC＝OD只能得出O是CD的中点，故B选项错误；
C.∠AOC和∠BOD是对顶角，对顶角始终是相等的，故C选项错误；
D.∠AOC和∠BOC互补，当∠AOC＝∠BOC时，∠AOC＝180°÷2＝90°，∴CD⊥AB，故选项D正确，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查垂直的定义，当两条线的夹角是90°时，两直线互相垂直，基本定义要牢记．也考查了对顶角和线段的中点．
3．（2021·湖南·隆回县教育科学研究室七年级期末）如图，AB⊥CD，垂足为O，EF是过点O的一条直线，已知∠1=40°，则∠2=（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【答案】C
【分析】
根据垂直得到∠BOD=90°，然后平角的性质求解即可．
【详解】
∵AB⊥CD，
∴∠BOD=90°，
∵∠1+∠BOD+∠2=180°，∠1=40°，
∴40°+90°+∠2=180°，
∴∠2=50°，
故选：C．
【点睛】
此题考查了直角和平角的性质，解题的关键是熟练掌握直角和平角的性质．
4．（2021·吉林靖宇·七年级期末）如图，三条直线相交于点．若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
首先根据垂直定义可得∠AOC=90°，根据平角定义可得∠1+∠2=90°，再由∠1=52°可得∠2的度数．
【详解】
解：∵CO⊥AB，
∴∠AOC=90°，
∴∠1+∠2=180°-90°=90°，
∵∠1=52°，
∴∠2=90°-52°=38°，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了垂直，关键是掌握当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直．
5．（2021·河南·郑州外国语中学八年级开学考试）下列选项中，过点P画AB的垂线CD，三角尺放法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据P点在CD上，CD⊥AB进行判断．
【详解】
解：过点P画AB的垂线CD，则P点在CD上，CD⊥AB，所以三角尺放法正确的为
．
故选：C．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图，熟练掌握基本作图（过一点画已知直线的垂线）是解决问题的关键．
6．（2021·全国·七年级课时练习）画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线．如图，请你过点画出射线或线段的垂线．
【答案】见详解
【分析】
利用直角三角板，一条直角边与BA重合，沿BA平移，使另一直角边过P，再画垂线即可．
【详解】
如图所示：
（1）PQ即为所求；
（2）PM即为所求；
（3）PN即为所求．
【点睛】
此题主要考查了基本作图，关键是掌握过直线上、直线外一点，分别作已知直线的垂线的方法．
7．（安徽省合肥期中）如图，直线AB，CD相交于O，OE平分∠AOC，OF⊥OE，若∠BOD＝40°，求∠DOF的度数．
【答案】70°
【解析】
【分析】
由对顶角相等可得∠AOC＝40°，由角平分线的性质可得∠COE的度数，利用OF⊥OE，可得∠EOF＝90°，用角的和差可求∠DOF的度数．
【详解】
解：∵OE平分∠AOC，
∴∠COE＝∠AOC．
∵∠AOC＝∠BOD，∠BOD＝40°，
∴∠AOC＝40°．
∴∠COE＝×40°＝20°．
∵OF⊥OE，
∴∠EOF＝90°．
∴∠DOF＝180°﹣∠EOF﹣∠COE＝180°﹣90°﹣20°＝70°．
【点睛】
本题考查了角平分的定义、对顶角的性质，熟练掌握对顶角相等以及角平分线的定义是解题的关键.
知识点2 垂线段的性质及点到直线的距离
8．（2021·河北滦州二模）如图，在平面内过点O作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
【答案】B
【分析】
根据垂直、垂线的定义，可直接得结论．
【详解】
解：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
所以在平面内过点O作已知直线m的垂线，可作垂线的条数只有1条．
故选：B．
【点睛】
本题考查了垂直和垂线的定义．掌握垂线的定义是解决本题的关键．
9．如图，连接直线外一点P与直线上各点O，A1，A2，A3，…，其中PO⊥，这些线段PO，PA1，PA1，PA3，…中，最短的线段是（ ）
A．PO B．PA1 C．PA2 D．PA3
【答案】A
【分析】
由点到直线的距离，垂线段最短，可得答案．
【详解】
解：∵PO⊥，
∴最短的线段是线段PO，
故选：A．
【点睛】
本题考查的是垂线段的定义，垂线段最短，掌握以上知识是解题的关键．
10．如图所示，火车站，码头分别位于A，B两点，直线a，b分别表示铁路与河流．
（1）从火车站到码头怎样走最近？请画图并说明理由．
（2）从码头到铁路怎样走最近？请画图并说明理由．
【答案】（1）沿线段AB走，见解析，两点之间，线段最短；（2）沿垂线段BD走，见解析，垂线段最短
【解析】
【分析】
（1）根据两点之间线段最短解决问题即可．
（2）根据垂线段最短解决问题即可．
【详解】
解：（1）如图，沿线段AB走，理由：两点之间，线段最短．
（2）如图，沿垂线段BD走，理由：垂线段最短．
【点睛】
本题考查了“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”两个知识，熟知两个知识点并正确作图是解题关键．
能力达标练
11．（吉林省白山市长白县宝泉山中学2019-2020学年七年级下学期期末数学试题）下列图形中线段PQ的长度表示点P到直线a的距离的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据点到直线的距离的定义，可得答案．
【详解】
解：由题意得PQ⊥a，
P到a的距离是PQ垂线段的长，
故选：C．
【点睛】
本题考查点到直线的距离、垂直的性质等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
12．（2021·陕西·吴堡县教学研究室七年级期末）如图，，，若，则的度数为（ ）
A．125° B．135° C．145° D．155°
【答案】C
【分析】
根据余角的定义：和为90°的两个角互为余角，即可求解．
【详解】
解：∵，
∴，
∵，、
∴，
∵，
∴,
∴，
故选：C．
【点睛】
本题考查了垂直的定义，余角的定义，熟知相关定义是解题的关键．
13．（2021·全国·七年级课时练习）如图，直线a，b相交于点O，射线c⊥a，垂足为点O，若∠1=40°，则∠2的度数为（ ）
A．50° B．120° C．130° D．140°
【答案】C
【分析】
直接利用垂直的定义进而结合平角的定义得出答案．
【详解】
解：∵直线a与b相交于点O，直线c⊥b，∠1=40°，
∴∠2=180°-(90°-40°)=130°．
故答案为：C．
【点睛】
本题主要考查了垂线的定义以及邻补角的定义，正确把握定义是解题关键．
14．（2020·山西·七年级阶段练习）如图，如果直线直线a，直线直线a，那么与重合（即O，M，N三点共线），其理由是（ ）
A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．在同一平面内，过两点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点确定一条直线
D．垂线段最短
【答案】A
【分析】
利用垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，即可解答．
【详解】
解：如果直线ON⊥直线a，直线OM⊥直线a，那么OM与ON重合（即O，M，N三点共线），其理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了垂线，关键是掌握垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
15．（2021·福建·莆田第二十五中学）直线l上有A，B，C三点，直线l外有一点P，若，，，那么点P到直线l的距离（ ）
A．等于2.5cm B．小于2.5cm
C．小于或等于2.5cm D．大于或等于2.5cm，而小于3cm
【答案】C
【分析】
根据点到直线的距离的定义和垂线段最短的性质解答．
【详解】
解：∵PA=5cm，PB=3cm，PC=2.5cm，
∴P点到直线l的距离小于或等于2.5cm．
故选：C．
【点睛】
本题考查了点到直线的距离的定义以及垂线段最短的性质，熟记概念与性质是解题的关键．
16．（2021·河南·郑州市第八中学）如图，小华同学的家在点处，他想尽快到达公路边去接从外地回来的外婆，他选择路线时所用到的数学知识是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点之间直线最短
C．两点之间线段最短 D．垂线段最短
【答案】D
【分析】
根据垂线段的性质解答即可．
【详解】
小华同学应选择P→C路线，因为垂线段最短，
故选：D．
【点睛】
本题考查了垂线段的性质，掌握知识点是解题关键．
17．（山西省吕梁市文水县2019-2020学年七年级下学期期末数学试题）如图，直线AB，CD相交于点O，下列条件中：①∠AOD＝90° ；②∠AOD＝∠AOC；③∠AOC+∠BOC＝180°；④∠AOC+∠BOD＝180°，能说明AB⊥CD的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
根据垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直进行判定即可．
【详解】
解：①∠AOD=90°，可以得出AB⊥CD；
②∵∠AOD＝∠AOC，∠AOC+∠AOD=180°，
∴∠AOD=90°，
∴AB⊥CD：
③∠AOC+∠BOC＝180°，不能得到AB⊥CD；
④∵∠AOC+∠BOD=180°，∠AOC=∠BOD，
∴∠AOC=90°，
∴AB⊥CD；
故能说明AB⊥CD的有①②④共3个．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了垂直定义，关键是通过条件计算出其中一个角为90°．
18．（安徽省芜湖市第二十九中学2016-2017学年七年级下学期期中教学质量评估数学试卷）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD∶∠BOE＝4∶1，则∠AOF的度数为( )
A．120° B．125° C．130° D．135°
【答案】D
【解析】
设∠BOE=x°,则∠AOD=4x°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE=∠DOE=x°，
∴∠AOC=∠BOD=2x°，
∵∠AOD+∠BOD=180°，
∴4x+2x=180，解得：x=30，
∴∠COE=∠COD−∠DOE=180°−30°=150°，
∵OF平分∠COE，
∴∠COF=12∠COE=75°，
∴∠AOF=∠AOC+∠COF=60°+75°=135°，
故选D.
19．（湖北省武汉市东湖高新区2020-2021学年七年级下学期期中数学试题）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是（ ）
A．3 B．2.5 C．2.4 D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
当PC⊥AB时，PC的值最小，利用面积法求解即可．
【详解】
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∵当PC⊥AB时，PC的值最小，
此时：△ABC的面积＝•AB•PC＝•AC•BC，
∴5PC＝3×4，
∴PC＝2.4，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了垂线段最短和三角形的面积公式，解题的关键是学会利用面积法求高．
20．（四川省乐山市2020年初中学业水平考试数学试题）如图，是直线上一点，，射线平分，．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先根据射线平分，得出∠CEB=∠BEF=70°，再根据，可得∠GEB=∠GEF-∠BEF即可得出答案．
【详解】
∵，
∴∠CEF=140°，
∵射线平分，
∴∠CEB=∠BEF=70°，
∵，
∴∠GEB=∠GEF-∠BEF=90°-70°=20°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，补角，掌握知识点灵活运用是解题关键．
21．（2021·全国·七年级课时练习）如图所示，AC⊥BC，CD⊥AB于D，AC=5cm，BC=12cm，AB=13cm，则点B到AC的距离是______，点A到BC的距离是_________，AC>CD的依据是________________．
【答案】 垂线段最短
【分析】
点到直线的距离是指垂线段的长度，两点间的距离是连接两点的线段的长度，据此回答即可．
【详解】
解：∵AC⊥BC，CD⊥AB于D，AC=5cm，BC=12cm，AB=13cm，
∴B到AC的距离是12cm，A点到BC的距离是5cm，
∵垂线段最短，
∴CD＜AC，
故答案为：12cm，5cm，垂线段最短．
【点睛】
本题主要考查了点到直线的距离以及垂线段最短的运用，点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．
22．如图，直线相交于点于点，连接.
(1)若,则=__________;
(2)若=2 cm, =1.5 cm, =2. 5 cm,则点到的距离是________cm.
【答案】65 1.5
【分析】
（1）根据对顶角的性质得出∠BOD，再由垂直的定义即可得出答案；
（2）根据点到直线的距离即可得出答案．
【详解】
(1)∵OE⊥CD，
∴∠DOE=90°，
∵∠AOC=25°，
∴∠BOD=90°，
∴∠BOE=90°−25°=65°，
(2)∵OE⊥CD，OE=1.5cm，
∴点E到直线CD的距离是1.5cm，
故答案为65°，1.5.
【点睛】
本题考查点到直线的距离，对顶角、邻补角定义、性质，解答关键是要理解并掌握点到直线的距离定义．
23．（2020·浙江浙江·七年级期中）根据下列语句，画出图形．
如图，已知平面内有四个点A、B、C、D，其中任意三点都不在同一直线上．
①画直线；射线、线段；
②过点B作的垂线，垂足为点G．
【答案】①见详解；②见详解
【分析】
①根据直线，射线，线段的概念，画出图形即可；
②根据垂线的定义，画出图形即可．
【详解】
解：①如图所示：
②如图所示：
【点睛】
本题主要考查画直线，射线，线段，垂线，熟练掌握直线，射线，线段，垂线的定义是解题的关键．
24．（2015-2016学年天津津南区东片学区七年级下期中数学试卷（带解析））如图，直线AB、CD相交于O，OD平分∠AOF，OE⊥CD于点O，∠1＝50°，求∠COB、∠BOF的度数．
【答案】∠COB＝40°，∠BOF＝100°．
【详解】
因为OE⊥CD，所以∠DOE＝90°．又因为∠1＝50°，所以∠AOD＝∠COB＝40°．因为OD平分∠AOF，所以∠AOF＝2∠AOD＝80°，所以∠BOF＝180°－∠AOF＝100°．
25．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB于点O，ON⊥CD于点O．
（1）试说明∠1＝∠2；
（2）若∠BOC＝4∠2，求∠AOC的大小．
【答案】（1）见解析；（2）60°
【解析】
【分析】
（1）利用同角的余角相等解答即可得出结论；
（2）利用（1）的结论，等量代换可得∠BOC＝4∠1，利用∠BOM＝90°＝3∠1，求得∠1的度数，则∠AOC＝90°﹣∠1．
【详解】
解：（1）∵OM⊥AB，ON⊥CD，
∴∠AOM＝∠CON=90°，
∴∠AOC+∠1＝90°，∠AOC+∠2＝90°，
∴∠1＝∠2．
（2）∵OM⊥AB，
∴∠BOM＝90°．
∵∠1＝∠2，∠BOC＝4∠2，
∴∠BOC＝4∠1．
∴∠BOM＝∠BOC﹣∠1＝4∠1﹣∠1＝3∠1，
即3∠1＝90°，
∴∠1＝30°．
∴∠AOC＝∠AOM﹣∠1＝90°﹣30°＝60°．
【点睛】
本题考查了对顶角、垂线性质、余角等基本几何知识，属于基础题．熟练掌握基本几何公理、基本几何概念是关键．
拓广探索突破
26．如图，点O为直线AB上一点，射线OC，OD，OE都在直线AB的上方，∠COD＝90°，下列说法：①若OD平分∠BOE，则∠AOC的余角和∠AOD的补角都有两个；②若OC平分∠AOE，则有OD平分∠BOE；③若OE平分∠BOC，则OC平分∠AOE；④若OE平分∠BOC，则有∠AOC＝2∠DOE，其中结论正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角；从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．依据余角的定义以及角平分线的定义，即可得到正确结论．
【详解】
解：①若OD平分∠BOE，则∠BOD＝∠DOE，
∵∠COD＝90°，
∴∠AOC＋∠BOD＝90°，∠AOC＋∠DOE＝90°，
又∵∠AOD＋∠BOD＝180°，∠AOD＋∠DOE＝180°，
∴∠AOC的余角和∠AOD的补角都有两个，
故①正确；
②若OC平分∠AOE，则∠AOC＝∠EOC，
又∵∠COD＝90°，
∴∠AOC＋∠BOD＝90°，∠COE＋∠DOE＝90°，
∴∠DOE＝∠DOB，
∴OD平分∠BOE，
故②正确；
③若OE平分∠BOC，则OC平分∠AOE不一定成立，
故③错误；
④若OE平分∠BOC，则∠BOE＝∠BOC＝（180°−∠AOC）＝90°−∠AOC，
又∵∠DOB＝90°−∠AOC，
∴∠DOE＝∠BOE−∠BOD＝（90°−∠AOC）−（90°−∠AOC）＝∠AOC，
∴∠AOC＝2∠DOE，
故④正确；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了余角和补角以及角平分线的定义，余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
27．（2021·全国·七年级课时练习）从点O引出四条射线OA，OB，OC，OD，且AO⊥BO，CO⊥DO，试探索∠AOC与∠BOD的数量关系．
【答案】相等或互补
【分析】
分两种情况讨论，①∠AOB与∠CODA有公共部分，②∠AOB与∠COD没有公共部分，画出图形即可得出结论．
【详解】
解：①如图①所示：
∵∠AOC+∠BOC=∠BOD+∠BOC=90°，
∴∠AOC=∠BOD；
②如图②所示：
∵∠AOC+∠BOA+∠BOD+∠DOC=360°，
即∠AOC+90°+∠BOD+90°=360°，
∴∠AOC+∠BOD=180°．
综上，∠AOC与∠BOD的数量关系是：相等或互补．
【点睛】
本题考查了余角和补角的知识，关键是分类讨论，对于位置未知的情况，我们可分情况讨论．
28．（江苏省南京外国语学校仙林分校2020-2021学年七年级上学期期末数学试题）如图，直线、相交于点，为锐角，，平分
（1）图中与互余的角为__________；
（2）若，求的度数；
（3）图中与锐角互补角的个数随的度数变化而变化，直接写出与互补的角的个数及对应的的度数
【答案】（1）、；（2）；（3）见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据余角的定义可解答；
（2）根据补角的定义列方程可解答；
（3）设出∠AOE的度数，依次表达图中的补角，可解．
【详解】
（1）由题意可得于∠AOE互余的角为：、
（2）设.
∵，
∴，
.
∵，
∴.
又∵，
∴，即.
∴.
（3）设∠AOE=α，且0°＜α＜90°由（1）可知，∠AOD=∠BOC=90°-α，∠BOE=180°-α，
∴∠BOD=180°-∠AOD=180°-（90°-α）=90°+α，
∵OF平分∠BOD，
∴∠BOF=∠DOF=45°+，
∴∠AOF=∠AOD+∠DOF=90°-α+45°+=135°-，
∠EOF=∠AOF+∠AOE=135°+，
∠COF=∠BOC+∠BOF=90°-α+45°+=135°-=∠AOF，
①当∠AOF+∠AOE=180°时，即135°-+α=180°，解得α=90°，不符合题意；
②当∠EOF+∠AOE=180°时，即135°++α=180°，解得α=30°，符合题意；
③当∠BOD+∠AOE=180°时，即90°+α+α=180°，解得α=45°，符合题意；
综上可知，
当锐角时，互补角有2个，为、．
当锐角时，互补角有3个，为、、．
当锐角不等于和时，互补角有1个，为．
【点睛】
本题主要考查补角的定义，角平分线的定义，熟练掌握补角的定义是解题关键．
29．（辽宁省营口市老边区联合校2020-2021学年七年级下学期期中质量监测数学试题）平面内两条直线、相交于点，，恰好平分．
（1）如图1，若，求数；
（2）在图1中，若，请求出的度数（用含有的式子表示），并写出和的数量关系；
（3）如图2，当，在直线的同侧时，和的数量关系是否会发生改变？若不变，请直接写出它们之间的数量关系；若发生变化，请说明理由．
【答案】（1）；（2），；（3）不变，
【解析】
【分析】
（1）根据邻补角的定义和角平分线的定义解答即可；
（2）根据垂线的定义、邻补角的定义和角平分线的定义解答即可；
（3）根据（1）（2）解答即可．
【详解】
（1），
，
平分，
，
，
，
；
（2），
，
平分，
，
，
，
；
；
（3）不变，．
【点睛】
考查了垂线，角平分线的定义，邻补角的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．
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