人教版七年级下册9.2 一元一次不等式课后测评

9.5 利用一元一次不等式进行方案设计

类型一 确定最值问题

1.某商店为了促销一种定价为3元的商品，采取下列方式优惠销售：若一次性购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分按原价八折付款．如果小明有30元钱，那么他最多可以购买该商品（       ）

A．10件 B．11件 C．12件 D．13件

【答案】B

【解析】

【分析】

设小明可以购买该商品的数量为x件，先根据得出小明可以购买该商品的数量超过5件，再根据优惠方案建立不等式，然后求解，取最大整数解即可．

【详解】

设小明可以购买该商品的数量为x件，

，

小明可以购买该商品的数量超过5件，即，

由题意得：，

解得，

则小明最多可以购买该商品11件，

故选：B．

【点睛】

本题考查了一元一次不等式的应用，依据题意，正确建立不等式是解题关键．

2.某单位为某中学捐赠了一批新桌椅．学校组织七年级名学生搬桌椅，规定一人一次搬两把椅子，两人一次搬一张桌子，每人限搬一次，最多可搬桌椅（一桌一椅为一套）的套数为（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

设可搬桌椅x套，即桌子x把，椅子x把，则搬桌子需2x人，搬椅子需人，根据题意列出不等式求解即可．

【详解】

解：设可搬桌椅x套，即桌子x把，椅子x把，则搬桌子需2x人，搬椅子需人，由题意得：

，

解得：；

∴最多可搬桌椅的套数为120套，

故选B．

【点睛】

本题主要考查一元一次不等式的应用，熟练掌握一元一次不等式的应用是解题的关键．

3.下表为小洁打算在某电信公司购买一支手机与搭配一个门号的两种方案．

此公司每个月收取通话费与月租费的方式如下：若通话费超过月租费，只收通话费；若通话费不超过月租费，只收月租费．若小洁每个月的通话费均为x元，x为400到600之间的整数，则在不考虑其他费用并使用两年的情况下，x至少为多少才会使得选择乙方案的总花费比甲方案便宜？（ ）

A．500 B．516 C．517 D．600

【答案】C

【解析】

【详解】

∵x为400到600之间的整数，∴若小洁选择甲方案，需以通话费计算，若小洁选择乙方案，需以月租费计算，甲方案使用两年总花费；乙方案使用两年总花费．由题意得：，解得，即x至少为517．

4.某经销商销售一批电话手表，第一个月以550元/块的价格售出60块，第二个月起降价，以500元/块的价格将这批电话手表全部售出，销售总额超过了5.5万元．这批电话手表至少有（　　）

A．103块 B．104块 C．105块 D．106块

【答案】C

【解析】

【详解】

试题分析：根据题意设出未知数，列出相应的不等式，从而可以解答本题．设这批手表有x块，

550×60+（x﹣60）×500＞55000 解得，x＞104   ∴这批电话手表至少有105块

考点：一元一次不等式的应用

5.“红星”足球队在已赛过的20场比赛中，输占30%，平局占20%，该队还要赛若干场球，球迷发现，即使该队以后每场比赛都没有踢赢，也能保持不低于30%的胜场数，则该足球队参赛场数最多有（    ）

A.32场     B.33场    C.34场    D.35场

【答案】B

6.某工厂有20名工人，每人每天加工甲种零件5个或乙种零件4个．在这20名工人当中，派x人加工甲种零件，其余的加工乙种零件，已知每加工一个甲种零件可获利16元，每加工一个乙种零件可以获利24元．若要使工厂每天获利不低于1800元，问至少要派多少人加工乙种零件．

【答案】至少要派13人加工乙种零件．

【解析】

解：由题意得，解得x≤，

∵x是整数，

∴若要使工厂每天获利不低于1800元，加工甲种零件至多派工人7人．

∴至少派13名加工乙种零件．

7.（2022·广东·湖景中学一模）阳光社区为进一步落实全民强身健体，准备从体育用品商场一次性购买若干副羽毛球拍和乒乓球拍，用于社区球类比赛活动．每副乒乓球拍和羽毛球拍的价格都相同．已知购买8副羽毛球拍和5副乒乓球拍共需1500元，购买2副羽毛球拍和10副乒乓球拍共需900元．

(1)每副羽毛球拍和乒乓球拍的单价各是多少元？

(2)根据社区实际情况，需一次性购买乒乓球拍和羽毛球拍共20副，但要求乒乓球拍和羽毛球拍的总费用不超过2000元，社区最多可以购买多少副羽毛球拍？

【答案】(1)每副羽毛球拍的单价各是150元，每副乒乓球拍的单价是60元

(2)社区最多可以购买8副羽毛球拍

【解析】

【分析】

（1）设每副羽毛球拍的单价为x元，每副乒乓球拍的价格为y元，购买8副羽毛球拍和5副乒乓球拍共需1500元，购买2副羽毛球拍和10副乒乓球拍共需900元，可列出方程组，求解即可；

（2）设购买羽毛球拍a副，则购买乒乓球拍（20-a）副，乒乓球拍和羽毛球拍的总费用不超过2000元建立不等式，求解即可．

(1)

解：设每副羽毛球拍的单价为x元，每副乒乓球拍的价格为y元，

则由题意可得：

解得

所以每副羽毛球拍的单价各是150元，每副乒乓球拍的单价是60元．

(2)

解：设购买羽毛球拍a副，则购买乒乓球拍（20-a）副，则由题意可得：

150a+60(20-a)≤2000，

解得a≤ ，

又∵a为正整数，

∴a的最大值为8，

即社区最多可以购买8副羽毛球拍．

【点睛】

本题考查二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，找出其中的等量关系和不等关系．

类型二 方案选择问题

8.某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某活塞．现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示．经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元.

(1)按该公司要求可以有几种购买方案？

(2)如果该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资金应选择什么样的购买方案？

【答案】（1）有3种购买方案①购乙6台，②购甲1台，购乙5台，③购甲2台，购乙4台（2）购买甲种机器1台,购买乙种机器5台,

【解析】

【分析】

（1）设购买甲种机器x台（x≥0），则购买乙种机器（6-x）台，根据买机器所耗资金不能超过34万元，即购买甲种机器的钱数+购买乙种机器的钱数≤34万元．就可以得到关于x的不等式，就可以求出x的范围．

（2）该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，就是已知不等关系：甲种机器生产的零件数+乙种机器生产的零件数≤380件．根据（1）中的三种方案，可以计算出每种方案的需要资金，从而选择出合适的方案．

【详解】

解：(1)设购买甲种机器x台(x≥0),则购买乙种机器(6-x)台

依题意,得7x+5(6-x)≤34

解这个不等式,得x≤2,即x可取0,1,2三个值.

∴该公司按要求可以有以下三种购买方案:

方案一:不购买甲种机器,购买乙种机器6台.

方案二:购买甲种机器l1台,购买乙种机器5台.

方案三:购买甲种机器2台,购买乙种机器4台

(2)根据题意,100x+60(6-x)≥380

解之得x>

由(1)得x≤2,即≤x≤2.

∴x可取1,2俩值.

即有以下两种购买方案：

购买甲种机器1台,购买乙种机器5台,所耗资金为1×7+5×5=32万元；

购买甲种机器2台,购买乙种机器4台,所耗资金为2×7+4×5=34万元.

∴为了节约资金应选择购买甲种机器1台,购买乙种机器5台,.

9.甲乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案，在甲商场累计购物超过200元后，超出200元的部分按85%收费，在乙商店累计超过100元后，超出部分按照90%收费．

（1）若小明妈妈准备用160元去购物，你建议小明妈妈去     商场花费少（直接写出“甲”或“乙”）；

（2）设顾客累计了购物花费x（x＞200）元，若在甲商场购物，则实际花费     元，若在乙商场购物，则实际花费     元．（均用含x的式子表示）；

（3）在（2）的情况下，请根据两家商场的优惠活动方案，讨论顾客到哪家商场购物花费少？说明理由．

【答案】（1）乙；（2）（0.85x+30）；（0.9x+10）；（3）当购物400元时，到甲、乙两家商场购物花费一样．

【解析】

【分析】

（1）计算出买160元的东西分别在甲、乙两商场的花费，然后得出在乙商场更少；

（2）根据甲、乙的优惠政策进行解答；

（3）根据（2）中表示出在甲乙两商场的花费列出的不等式，分情况讨论，求出最合适的消费方案．

【详解】

解：（1）在甲商店购买160元的东西需要花费：160（元），

在乙商场购买160元的东西需要花费：100+60×0.90=154（元），

∵160＞154，

∴建议小明妈妈去乙商场花费少；

故答案是：乙；

（2）在甲商场购物：200+（x﹣200）×85%（或0.85x+30），

在乙商场购物：100+（x﹣100）×90%（或0.9x+10）；

故答案是：（0.85x+30）；（0.9x+10）；

（3）①若在甲商场花费少，则0.85x+30＜0.9x+10，

解得x＞400

所以当购物超过400元时，到甲商场购物花费少；

②若在乙商场花费少，则0.85x+30＞0.9x+10，

解得x＜400，

所以当购物超过200元却少于400元时，到乙商场购物花费少；

③若到两家商场花费一样多时，则0.85x+30=0.9x+10

解得x=400

所以当购物400元时，到甲、乙两家商场购物花费一样．

10.（2022·黑龙江·鸡西市第一中学校一模）“冰墩墩”2022年北京冬奥会的吉祥物，深受人们的喜爱.某纪念品商店为了抓住商机，决定购进冬奥会吉祥物“冰墩墩”，若购进A种型号“冰墩墩”20件，B种型号“冰墩墩”10件，共需要2000元；若购进A种型号“冰墩墩”8件，B种型号“冰墩墩”6件，共需要1100元．

(1)求购进A、B两种型号的“冰墩墩”每件各需要多少元？

(2)若该商店决定拿出10000元全部用来购进这两种型号的“冰墩墩”，考虑到市场需求，要求购进A种型号的“冰墩墩”的数量不少于B种型号的“冰墩墩”数量的6倍，且少于B种型号的“冰墩墩”数量的8倍，设购进B种型号的“冰墩墩”数量为x件，则该商店有哪几种进货方案？

(3)在（2）的条件下，若每件A种型号的“冰墩墩”的售价为55元，每件B种型号的“冰墩墩”的售价为190元，该商店选用哪种进货方案获得利润最大，最大利润是多少？

【答案】(1)购进A种型号的“冰墩墩”每件需要25元，B种型号的“冰墩墩”每件需要150元．

(2)该商店有五种进货方案，方案一：A种型号的“冰墩墩”进226个，B种型号的“冰墩墩”进29个．方案二：A种型号的“冰墩墩”进220个，B种型号的“冰墩墩”进30个．方案三：A种型号的“冰墩墩”进214个，B种型号的“冰墩墩”进31个．方案四：A种型号的“冰墩墩”进208个，B种型号的“冰墩墩”进32个．方案五：A种型号的“冰墩墩”进202个，B种型号的“冰墩墩”进33个．

(3)选用方案一，即A种型号的“冰墩墩”进226个，B种型号的“冰墩墩”进29个，获得利润最大，最大利润为7940元

【解析】

【分析】

（1）设购进A种型号的“冰墩墩”每件需要m元，B种型号的“冰墩墩”每件需要n元，根据题意得出关于m和n的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；

（2）根据题意列出关于x的一元一次不等式组，解不等式组得出x的取值范围，再分别进行讨论；

（3）设该商店获得的利润为w元，求出利润关于购买B种型号的“冰墩墩”x件的函数关系式，由函数的单调性确定总利润取最值时x的值，从而得出结论．

(1)

设购进A种型号的“冰墩墩”每件需要m元，B种型号的“冰墩墩”每件需要n元．

解得

答：购进A种型号的“冰墩墩”每件需要25元，B种型号的“冰墩墩”每件需要150元．

(2)

根据题意得

解得

∵x为正整数，∴．该商店有五种进货方案，

方案一：A种型号的“冰墩墩”进226个，B种型号的“冰墩墩”进29个．

方案二：A种型号的“冰墩墩”进220个，B种型号的“冰墩墩”进30个．

方案三：A种型号的“冰墩墩”进214个，B种型号的“冰墩墩”进31个．

方案四：A种型号的“冰墩墩”进208个，B种型号的“冰墩墩”进32个．

方案五：A种型号的“冰墩墩”进202个，B种型号的“冰墩墩”进33个．

(3)

设该商店获得的利润为w元．

根据题意得

∴x越大w越小．

∴当时，w有最大值，（元）

∴选用方案一，即A种型号的“冰墩墩”进226个，B种型号的“冰墩墩”进29个，获得利润最大，最大利润为7940元．

11.为拓展学生视野，促进书本知识与生活实践的深度融合，某中学组织八年级全体学生开展研学活动．在此次活动中，若每名老师带队14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每名老师带队15名学生，就有1名老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示：

学校计划此次研学活动的租金总费用不超过3000元，且保证所有师生都有车坐，

(1)参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？

(2)学校打算租甲型客车和乙型客车两种客车总共8辆车，学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？

【答案】(1)参加此次研学活动的老师有16人，学生有234人．

(2)学校共有4种租车方案，最少租车费用是2720元．

【解析】

【分析】

（1）设参加此次研学活动的老师有人，学生有人，根据“若每名老师带队14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每名老师带队15名学生，就有1名老师少带6名学生”列出二元一次方程组，求解即可；

（2）设租甲型客车辆，则租乙型客车辆，根据“学校打算租甲型客车和乙型客车两种客车总共8辆车，学校计划此次研学活动的租金总费用不超过3000元”列出一元一次不等式组，求出m的范围，结合实际可得租车方案数，设租车总费用为元，即可得到w与m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可得到答案．

(1)

设参加此次研学活动的老师有人，学生有人，由题意得

解得

所以，参加此次研学活动的老师有16人，学生有234人．

(2)

设租甲型客车辆，则租乙型客车辆，由题意得

解得

为正整数

共有4种租车方案

租车总费用表示为

∴越大费用越高

当时，租车费用最小为元

所以，学校共有4种租车方案，最少租车费用是2720元．

12．（2022·浙江温州·一模）草莓基地为了提高收益，对收获的草莓分拣成A，B两个等级销售．每千克草莓的价格A级比B级的2倍少4元，3千克A级草莓比5千克B级草莓的销售额多4元．

(1)问A，B两个等级草莓每千克各是多少元？

(2)某超市从草莓基地购进200千克草莓，A级草蒋不少于40千克，且均价不超过19元．

①问最多购进了A级草莓多少千克？

②超市对购进草莓进行包装销售（如下表），全部包装销售完．当包装A级草莓多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？

【答案】(1)每千克A级草莓为28元，每千克B级草莓为16元；

(2)①50，②9200

【解析】

【分析】

（1）根据每千克草莓的价格A级比B级的2倍少4元，3千克A级草莓比5千克B级草莓的销售额多4元，可以得到相应的二元一次方程组，从而可以求得每千克A级草莓、B级草莓的利润分别为多少元；

（2）①根据A级草莓不少于40千克，且均价不超过19元，可得出结论；

②根据题意和①中的结果，可以得到w与m之间的函数关系式；然后根据一次函数的性质，即可得到该经销商如何进货，使销售总利润最大，并求出总利润的最大值．

(1)

解：设每千克A级草莓为a元，每千克B级草莓为b元，

由题意得： ，

解得： ，

答：每千克A级草莓为28元，每千克B级草莓为16元；

(2)

解：①由题意可得，设购进A级草莓m千克，则购进B级草莓（200﹣m）千克，

根据题意可知

解得40≤m≤50，

∴最多购进了A级草莓50千克；

②设总利润为（80﹣28）m+（120﹣2×16）×＝8m+8800，

∵40≤m≤50，

∴当m＝50时，所获利润最大，此时总利润最大值为8×50+8800＝9200，

即当进货方案是A级草莓50千克，即A级草莓50包，B级草莓150千克时，使销售总利润最大，总利润的最大值是9200元．