2022年山东省聊城市东昌府区中考数学一模试卷（含解析）

2022年山东省聊城市东昌府区中考数学一模试卷

副标题

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 下列各数与互为相反数的是

A.  B.  C.  D.

2. 下面由个完全相同的小正方体组成的几何体的主视图是

A.
B.
C.
D.

3. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

4. 下列说法正确的是

A. 从小亮，小莹，小刚三人中抽人参加诗歌比赛，小明被抽中是随机事件
B. 要了解学校名学生的视力健康情况，随机抽取名学生进行调查，在该调查中样本容量是名学生
C. 为了解人造卫星的设备零件的质量情况，应选择抽样调查
D. 了解一批冰箱的使用寿命，采用抽样调查的方式

5. 一块含有的直角三角板和直尺如图放置，若，则的度数是

A.
B.
C.
D.

6. 下列计算正确的是

A.  B.
C.  D.

7. 如果不等式组，的解集为，那么的取值范围是

A.  B.  C.  D.

8. 已知在中，，，，点为边上的动点，点为边上的中点，则线段的最小值是

A.
B.
C.
D.

9. 某通讯公司就上宽带网推出，，三种月收费方式．这三种收费方式每月所需的费用元与上网时间的函数关系如图所示，则下列判断错误的是

A. 每月上网时间不足时，选择方式最省钱
B. 每月上网费用为元时，方式可上网的时间比方式多
C. 每月上网时间为时，选择方式最省钱
D. 每月上网时间超过时，选择方式最省钱

10. 如图，是的弦，圆心到弦的距离，点是弧中点，点是优弧上的一点，，则弦的长为

A.
B.
C.
D.

11. 如图，在平面直角坐标系中，▱的顶点，点在轴的正半轴上，的平分线交于点，则点的坐标为

A.
B.
C.
D.

12. 如图，已知抛物线为常数，经过点，且对称轴为直线，有下列结论：
    ；
    ；
    ；
    无论，，取何值，抛物线一定经过；
    ．
    其中正确结论有

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 因式分解：______．
14. 若一个扇形的弧长是，面积是，由这个扇形所围成的圆锥的高是______．
15. 如图，在中，，在同一平面内，将绕点逆时针旋转到的位置，使，作交于点，则______．
     

16. 从标有数字，，，，的五张卡片中，无放回地随机抽取两张，将抽取的卡片上的数字组成一个两位数，所组成的两位数的数字中为偶数的概率为______．
17. 如图，直线与直线所成的角，过点作交直线于点，，以为边在外侧作等边三角形，再过点作，分别交直线和于，两点，以为边在外侧作等边三角形，按此规律进行下去，则第个等边三角形的周长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共69.0分）

18. 先化简，再求值：，其中．
    
    
    
    
    
    
     
19. “强我体魄，筑我精神”某学校九年级在抓学生学习的同时，加强了学生的体育锻炼．为了解学生的体育锻炼情况，学校随机抽取名男生进行引体向上的测试，成绩如下单位：个：
    
    
    整理上面的数据得到频数分布表和频数分布直方图：

回答下列问题：
以上个数据中，中位数是多少？频数分布表中，分别是多少？
补全频数分布直方图；
若成绩不低于个为优秀，估计该校九年级名学生中达到优秀等级的人数是多少？

20. 已知菱形，，分别为菱形外的两点，且，，三点共线，交于，连接，，，，求证：．
    
     

21. 我市某青少年素质教育实践基地，购买可重复使用的船模、航模器材，上学期采购船模器材共花费了万元，采购航模器材共花费万元，购进的船模器材的数量是购进的航模器材数量的，每个船模器材的价格比每个航模器材的价格少元．
    求这两种器材的单价分别是多少元？
    本学期由于参加实践的学生人数增加，需要再购进这两种模型的器材个，由于这两种器材的价格有所调整，每个船模器材的价格比上学期提高了，每个航模器材的价格比上学期降低了，若购买这两种器材的总费用不超过去年总费用的，那么最大可购进多少航模器材？
    
    
    
    
    
    
     
22. 美丽的徒骇河穿城而过，成为市民休闲娱乐的风景带．某数学兴趣小组在一次课外活动中，测量徒骇河某段河的宽如图所示，小组成员选取的点，是桥上的两点，点，，在河岸的同一直线上，且若，间的距离米，在点处测得与平行于的直线间的夹角为，在点处测得与直线之间的夹角为，求这段河的宽度结果保留根号

23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，，且，，同时交反比例函数在第一象限的图象于点，反比例函数图象上的点的纵坐标，轴交直线于点，是轴上任意一点，连接，．
    求一次函数和反比例函数的表达式；
    求面积的最大值．
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，已知是的直径，，分别为上和外的两点，连接，，连接并延长交的延长线于点，作，分别交，和于点、点和点，连接，若．
    求证：与相切；
    若，平分，，求的长．

如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴相交于，两点，点的坐标是连接，．
求过，，三点的抛物线的函数表达式，并判断的形状；
动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向点运动；同时，动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为，当为何值时，的面积最大？
当抛物线的对称轴上有一点，使以，，为顶点的三角形是等腰三角形时，求出点的坐标．







答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：与互为相反数的是，也就是，
故选：．
利用相反数的定义，只有符号不同的两个数即得．
本题考查的是相反数的定义，关键就是把定义弄明白了，只有符号不同的两个数．
 

2.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．根据主视图的定义，找到几何体从正面看所得到的图形即可．
【解答】

解：从正面可看到从左往右列小正方形的个数依次为：，，．
故选：．
 

3.【答案】
 

【解析】解：、，所以是错误的，故本项不合题意；
B、，所以是错误的，故本项不合题意；
C、，所以是错误的，故本项不合题意；
D、，所以是正确的，故本项符合题意．
故选：．
A、完全平方公式的运用，漏项，所以是错误的；
B、幂的乘方，指数应该是相乘的，所以是错误的；
C、同底数幂的除法，指数应该是相减，所以是错误的；
D、同底数幂的乘法，是正确的．
本题考查指数运算，关键是要熟记各个法则，不能混淆．
 

4.【答案】
 

【解析】解：、从小亮，小莹，小刚三人中抽人参加诗歌比赛，小明被抽中是不可能事件，故A不符合题意；
B、要了解学校名学生的视力健康情况，随机抽取名学生进行调查，在该调查中样本容量是，故B不符合题意；
C、为了解人造卫星的设备零件的质量情况，应选择全面调查，故C不符合题意；
D、了解一批冰箱的使用寿命，采用抽样调查的方式，故D符合题意；
故选：．
根据全面调查与抽样调查，总体、个体、样本、样本容量，随机事件，不可能事件，必然事件的特点，判断即可．
本题考查了全面调查与抽样调查，总体、个体、样本、样本容量，随机事件，熟练掌握随机事件，不可能事件，必然事件的特点是解题的关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：如图，过点作直线，则，

，
，
，
．
故选：．
过点作直线，根据平行线的性质即可得出结论．
本题主要考查平行线的性质，解题关键是构造平行线的常见辅助线．
 

6.【答案】
 

【解析】解：、与不属于同类二次根式，不能相加，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用二次根式的相应的运算的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
 

7.【答案】
 

【解析】解：由，得：，
且不等式组的解集为，
，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：如图．作点关于的对称点，连接，交于，连接，过点作于点，
则，，，
即当、、在同一直线上时，的最小值为，．
，，，
，
点为边上的中点，
，，
，，
，
，
故选：．
如图．作点关于的对称点，连接，交于，连接，过点作于点，则，，，即当、、在同一直线上时，的最小值为据此解答即可．
本题考查了最短路线问题，直角三角形的性质，熟练掌握特殊直角三角形的性质是解题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了函数的图象、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象，利用一次函数的有关知识逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
A.观察函数图象，可得出：每月上网时间不足 时，选择方式最省钱，结论A正确；
B.观察函数图象，可得出：当每月上网费用元时，方式可上网的时间比方式多，结论B正确；
C.利用待定系数法求出：当时，与之间的函数关系式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出当时的值，将其与比较后即可得出结论C正确；
D.利用待定系数法求出：当时，与之间的函数关系式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出当时的值，将其与比较后即可得出结论D错误．
综上即可得出结论．
【解答】
解：观察函数图象，可知：每月上网时间不足 时，选择方式最省钱，结论A正确；
B.观察函数图象，可知：当每月上网费用元时，方式可上网的时间比方式多，结论B正确；
C.设当时，，
将、代入，得：
，解得：，
，
当时，，
每月上网时间为时，选择方式最省钱，结论C正确；
D.设当时，，
将、代入，得：
，解得：，
，
当时，，
结论D错误．
故选：．  

10.【答案】
 

【解析】解：如图，连接、，

点是弧中点，，
、、在一条直线上，，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
故选：．
根据题意连接、，交于点，根据垂径定理推出、、在一条直线上，，再由圆周角定理推出，从而根据直角三角形的性质及垂径定理求解即可．
本题考查圆周角定理及垂径定理，解题的关键确定、、在一条直线上．
 

11.【答案】
 

【解析】解：设与轴交于点，

四边形是平行四边形，
，
，
，
，，
平分，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
故选：．
由平行四边形的性质证得，设，则，由勾股定理得出，求出，则可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：抛物线的对称轴为直线，即对称轴在轴的左侧，
，
抛物线与轴交在正半轴上，
，
，
故正确；
抛物线的对称轴为直线，
，
，
，
故不正确；
抛物线为常数，经过点，
，
，
，
故不正确；
由对称得：抛物线与轴另一交点为，
，
，
，
当，无论，取何值，抛物线一定经过，
故正确；
，
，
，
，即，
故正确；
本题正确的有：，共个．
故选：．
由题意得到抛物线的开口向上，对称轴，判断，与的关系，根据抛物线与轴交点的位置确定与的关系，从而得到，即可判断；
根据抛物线对称轴方程可得，即可判断；
根据抛物线经过点以及，得到，即可判断；
先根据和得，再根据对称性可知：抛物线过，即可判断；
根据，把换成，提公因式，分解因式，根据平方的非负性即可判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于．
 

13.【答案】
 

【解析】解：原式，
故答案为：
原式提取，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：设扇形的半径为，
，
，
解得，，
设圆锥的底面半径为，
则，
解得：，
扇形的高为．
故答案为．
首先求得扇形的半径，然后再求得圆锥的底面半径就可以根据勾股定理求出圆锥的高．
考查了圆锥的计算，解题的关键是了解有关计算公式，难度不大．
 

15.【答案】
 

【解析】解：，，
，
将绕点逆时针旋转到的位置，
，
．
故答案为：．
由平行线的性质可得，由旋转的性质，根据三角形内角和定理即可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：根据题意画出树状图如下：

一共有种等可能的情况数，其中所组成的两位数的数字中为偶数的有种，
则所组成的两位数的数字中为偶数的概率为．
故答案为：．
画出树状图，找出所组成的两位数的数字中为偶数的情况数，然后根据概率公式列式计算即可得解．
本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

17.【答案】
 

【解析】解：，，，
，，，
，
，，
，
是等边三角形，
，，
，，，
是等边三角形，
，
，
，
同理：，
第个等边三角形的边长：，
其周长为：，
第第个等边三角形的周长为．
故答案为：．
由题意可得，，则有，可求得，同理可求得，，从而可得第个等边三角形的边长为：，从而可求解．
本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是得出第个等边三角形的边长为：．
 

18.【答案】解：原式



，
当时，
原式

．
 

【解析】先算括号内，再把除化为乘，最后算加减，化简后将的值代入计算即可．
本题考查分式化简求值，解题的关键式掌握分式的通分、约分，把分式化简．
 

19.【答案】解：将已知数据重新排列为、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，
所以其中位数为，
由已知数据知的频数，
则；
补全直方图如下：

估计该校九年级名学生中达到优秀等级的人数是人．
 

【解析】将数据重新排列后根据中位数的定义求解即可，继而可得、的值；
根据所求数据及表格中的已知数据即可补全图形；
用总人数乘以样本中优秀人数所占比例即可．
此题考查了频数率分布直方图，频数率分布图，以及用样本估计总体，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
 

20.【答案】证明：四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
又，
，
，
，
在和中，
，
≌，
．
 

【解析】由“”可证≌，可得．
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

21.【答案】解：设每个船模器材的价格为元，每个航模器材的价格元，
由题意可得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
元，
答：每个船模器材的价格为元，每个航模器材的价格元；
设购进个航模器材，
由题意可得：，
解得：，
为整数，
的最大值为，
答：最大可购进个航模器材．
 

【解析】设每个船模器材的价格为元，每个航模器材的价格元，由购进的船模器材的数量是购进的航模器材数量的，列出方程，即可求解；
购进个航模器材，由“购买这两种器材的总费用不超过去年总费用的”，列出不等式，即可求解．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．
 

22.【答案】解：如图，过点作于，则，，
，米，
米，
在中，，设，则，
米，
在中，，米，米，
，
，
解得，，
经检验，是原方程的根，
米，
米，
答：这段河的宽度的长为米．
 

【解析】根据题意可求出米，通过作垂线构造直角三角形，在中，设米，进而表示出、、，在中由锐角三角函数的意义列方程求解即可．
本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，理解锐角三角函数的定义是正确解答的前提．
 

23.【答案】解：，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
一次函数的解析式为：，
点在一次函数的图象上，
，
，
，
点在反比例函数第一象限的图象上，
，
反比例函数为；
点的纵坐标，则，
，
，
当时，有最大值，最大值为．
 

【解析】根据等腰直角三角形的性质得出，，即可得到一次函数的解析式为：，把代入求得的值，进而即可利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
表示出、的坐标，然后利用三角形面积公式即可得到，根据二次函数的性质即可求得结论．
本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，求得函数的解析式以及表示出、的坐标是解题的关键．
 

24.【答案】证明：，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
与相切；
解：解法一：如图，连接，
平分，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
．

解法二：如图，连接，
，
，
中，，
中，，
，
由勾股定理得：．
 

【解析】如图，延长至，证明，根据切线的判定可得与相切；
解法一：如图，连接，先根据垂径定理证明，再证明∽，列比例式可得，即的半径为，根据勾股定理可得的长；
解法二：如图，先得半径为，计算的正切可得的长，根据勾股定理可得的长．
此题考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定，垂径定理，勾股定理等知识，解答本题需要我们熟练掌握切线的判定，第问关键是证明∽．
 

25.【答案】解：直线与轴，轴相交于，两点，
当时，，当时，，
，，
设抛物线的解析式为，
代入，，，
得，
解得，
抛物线的解析式为，
，，，
，
是直角三角形；
作轴于，轴于，

由题知，且，
，，
，
，
即，
，
，
当时，的面积最大；
由知抛物线的解析式为，
抛物线的对称轴为直线，
设的坐标为，
的中点在对称轴上且对称轴不与垂直，
等腰三角形不能以为底，
由知，，
当时，
，
解得或，
此时，或；
当时，
，
解得或，
此时，或，
综上，符合条件的点的坐标为或或或
 

【解析】根据直线解析式求出点和点坐标，然后用待定系数法求出抛物线的函数表达式，再利用勾股定理判定的形状即可；
作轴于，轴于，根据相似比例求出，然后用含有的式子表示出，根据二次函数的性质求出的面积最大时的值即可；
设出点的坐标，判断出不能为底，再分情况讨论求出点的坐标即可．
本题主要考查二次函数的综合题，熟练掌握待定系数法求解析式，二次函数的性质，三角形的面积，勾股定理，平行线分线段成比例等知识是解题的关键．