2021年湖南省长沙市初中学业水平考试适应性测试（三）数学试题

这是一份2021年湖南省长沙市初中学业水平考试适应性测试（三）数学试题，共10页。试卷主要包含了下列属于随机事件的是，如图，已知二次函数y＝a两点等内容，欢迎下载使用。
2021年初中学业水平考试适应性测试卷三
姓名准考证号

数 学
注意事项：
1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；
2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；
4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分.
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的. 请在答题卡中填涂符合题意的选项. 本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若收入150元记作+150，则﹣30元表示
A．收入30元 B．收入60元 C．支出60元 D．支出30元
2．下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是

A． B． C． D．
3．下列运算正确的是
A．a2+2a＝3a3 B．（﹣2a3）2＝4a5
C．（a+2）（a﹣1）＝a2+a﹣2 D．（a+b）2＝a2+b2
4．作为长沙地铁“米”字型构架西南﹣东北方向的地铁3号线一期工程线路全长约36400米，则数据36400用科学记数法表示为
A．3.64×104 B．36.4×103 C．364×102 D．0.364×105
5．如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体A放到小正方体B的正上方，则它的
A．左视图会发生改变 B．主视图会发生改变
C．俯视图会发生改变 D．三种视图都会发生改变
6．点A（﹣3，4）关于x轴对称的点的坐标为
A．（﹣3，﹣4） B．（3，﹣4） C．（3，4） D．（4，﹣3）
7．下列属于随机事件的是
A．从装满红球的口袋随意摸一个球是红球 B．抛一枚硬币，正好反面朝上
C．任意画一个三角形，其内角和为180° D．抛一枚骰子两次出现点数之和为13
8．如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E．若∠C＝48°，则∠AED的大小为
A．52° B．62° C．108° D．114°
9．随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3600件提高到4500件，平均每人每周比原来多投递50件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为
A．B． C． D．
10．如图，已知二次函数y＝a（x﹣h）2+k在坐标平面上的图象经过（0，5）、（10，8）两点．若a＜0，0＜h＜10，则h的值可能为
A．2 B．3 C．5 D．8
11．如图，边长为2的正方形OABC的顶点B在⊙O上，顶点A、C在⊙O内，OA的延长线交⊙O于点D，则图中阴影部分的面积为
A． B． C． D．

第5题图第8题图第10题图第11题图
12．长沙某饮品店生产某种新型饮品，5月份销售每杯饮品的利润是售价的25%，6月份将每杯饮品的售价调低5%（每杯饮品的成本不变），销售杯数比5月份增加30%，那么6月份销售这种饮品的利润总额比5月份的利润总额增长
A．4% B．5% C．8% D．10%
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．把多项式xy﹣9xy3分解因式的结果为___________．

14．一次体检中，某班学生视力情况如下表：
视力情况
0.7以下
0.7
0.8
0.9
1.0
1.0以上
人数所占的百分比
4%
12%
14%
21%
36%
13%
从表中看出全班视力情况的众数是____________．

15．如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A＝69°，则∠BCO的度数为__________．

15题图 16题图
16．如图，A为反比例函数y＝（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝4．连接OA，AB，且OA＝AB＝，过点B作BC⊥OB，交反比例函数y＝（其中x＞0）的图象于点C，连接OC交AB于点D，则k=________；=_________．

三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分。解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17﹒计算：
18．先化简，再求值：，其中x＝．
19．如图，亮亮在一座桥的附近试飞一架小型无人机，无人机飞行的高度为AD，且D、B、C在同一水平线上．
（1）有下列说法：①无人机俯视桥头B的俯角为∠EAC；②无人机俯视桥头C的俯角为∠C；③站在桥头B处看无人机的仰角为∠ABD；④从C处走向B处的过程中观察无人机，仰角越来越大；其中正确的是　　（只填序号即可）．
（2）若∠EAB＝60°，∠EAC＝30°，桥BC的长度为28米，求无人机的飞行高度AD（结果保留整数，参考数据：≈1.73）．


20．某校对该校学生最喜欢的球类运动的情况进行了抽样调查，从足球，乒乓球、篮球、排球等四个方面进行了一次调查（每位同学必选择一项且只能选择一项），井将调查结果绘制了如图不完整的统计图．请根据图中的信息解答以下问题：

（1）本次调查选取了　　名学生，足球所在扇形的圆心角的度数为　　°；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）该校共有1300名同学，估计最喜欢篮球运动的同学有　　名；
（4）甲、乙、丙、丁四位同学分别最喜欢足球、乒乓球、乒乓球，篮球，现在要从这4名同学中随机抽取两名同学，请你利用画树状图或列表的方法，求出这两名同学最喜欢的球类运动项目不一样的概率．

21．如图，在▱ABCD中，AB＝AE．
（1）求证：AC＝ED；
（2）若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°．求∠ACE的度数．


22．某环卫公司承包了市区两个片区道路的清扫任务，需要购买某厂家A，B两种型号的马路清扫车，购买4辆A型马路清扫车和5辆B型马路清扫车共需140万元；购买3辆A型马路清扫车和7辆B型马路清扫车共需157万元．
（1）求这两种马路清扫车的单价；
（2）若该公司承包的道路清扫面积为118000m2，每辆A型马路清扫车每天清扫5000m2，每辆B型马路清扫车每天清扫6000m2，公司准备购买20辆马路清扫车，且B型马路清扫车的数量大于12辆．请你帮该公司设计出最省钱的购买方案．请说明理由．

23．如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连接OC交⊙O于点E，弦AD∥OC，弦DF⊥AB于点G．
（1）求证：点E是弧BD的中点；
（2）求证：CD是⊙O的切线；
（3）若，⊙O的半径为5，求OG的长．





24．定义：有两个相邻内角和等于另两个内角和的一半的四边形称为角和谐四边形，这两个角的夹边称为和谐线．
（1）如图1，在△ABC中，D，E分别为边BC，AB上的点，若四边形ACDE是角和谐四边形，且∠A+∠C＝(∠AED+∠CDE)，求∠B的度数；
（2）如图2，O为锐角△ABC的外心，过点O的直线交AC，BC于点D，E，
∠OAB＝30°，求证：四边形ABED是角和谐四边形；
（3）如图3，在△ABC中，D，E分别是AC，BC上一点，CD＝CE＝4，CE＝4EB，F为DE的中点，∠AFB＝120°，当AB为角和谐四边形ABED的和谐线时，求AC的长．
图1


25．如图，Rt△ABC的三个顶点均落在直角坐标系的坐标轴上，OA＝9，OB＝16，∠ACB＝90°，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过A，B，C三点．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）点D是线段BC上一动点（不与B、C两点重合），过点D作DE⊥轴，交抛物线于点E，当AD平分∠CAB时，求DE的长；
F
（3）在第（2）问的条件下，延长AD交抛物线于点M，点N（9，）在抛物线上，在直线上是否存在点Q，使∠MQN＝45°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．









2021年初中学业水平考试适应性测试卷三
数学参考答案
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的. 请在答题卡中填涂符合题意的选项. 本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
C
A
B
A
B
D
D
D
C
A
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13． xy（1+3y）（1﹣3y）； 14． 1.0； 15．21°； 16．12，
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分。解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17﹒解：原式＝1－2×+2+＝1－+2+…………4分
＝3．……………………6分
18．解：原式＝
＝．……………………4分
当x＝时，原式＝．……………………6分
19．解：（1）①无人机俯视桥头B的俯角为∠EAB，故①不正确；
②无人机俯视桥头C的俯角为∠CAE，故②不正确；
③站在桥头B处看无人机的仰角为∠ABD，故③正确；
④从C处走向B处的过程中观察无人机，仰角越来越大；故④正确；
故答案为：③④；………………3分
（2）∵∠EAB＝60°，∠EAC＝30°，∴∠CAD＝60°，∠BAD＝30°，
∴CD＝AD•tan∠CAD＝AD，BD＝AD•tan∠BAD＝AD，
∴BC＝CD－BD＝AD＝28，
解得：AD＝14≈24（米）．
答：无人机的飞行高度AD约为24米．…………………………6分

20．解：（1）本次调查选取的学生人数为：20÷40%＝50（名），足球所在扇形的圆心角的度数为：360°×20%＝72°，故答案为：50，144；……………………2分
（2）统计图中喜欢足球的学生人数为：50﹣20﹣15﹣5＝10（名），
将条形统计图补充完整如图：
…………………………4分
（3）该校共有1600名同学，估计最喜欢篮球运动的同学有：1300×＝390（名），
故答案为：390；………………6分
（4）画树状图如图：

共有12个等可能的结果，抽取的这两名同学最喜欢的球类运动项目不一样的结果有10个，
∴抽取的这两名同学最喜欢的球类运动项目不一样的概率为．……………8分

21．解：（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC． ∴∠DAE＝∠AEB．
∵AB＝AE， ∴∠AEB＝∠B．∴∠B＝∠DAE．
在△ABC和△AED中，
， ∴△ABC≌△EAD（SAS），
∴AC＝ED．……………………4分
（2）解：∵AE平分∠DAB（已知），∴∠DAE＝∠BAE；
又∵∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB＝∠B．
∴△ABE为等边三角形．∴∠AEB＝60°．
∵∠EAC＝25°，∴∠ACE＝35°．……………………8分

22．解：（1）设A型马路清扫车的单价为a万元，B型马路清扫车的单价为b万元，
由题意可得，， 解得 ，………………………………4分
答：A型马路清扫车的单价为15万元/辆，B型马路清扫车的单价为16万元/辆；
（2）该公司购买A型马路清扫车2辆，购买B型马路清扫车18辆时最省钱，
理由：设该公司购买B型马路清扫车m辆，则购买A型马路清扫车（20﹣m）辆，
由题意可得，，
解得m≥18，
∵A型马路清扫车的单价比B型马路清扫车的单价便宜，
∴当m＝18时，该公司最省钱，此时20﹣m＝2，
即该公司购买A型马路清扫车2辆，购买B型马路清扫车18辆时最省钱 …………9分
23．解：（1）证明：连接OD，如图，
∵AD∥OC，∴∠BOC＝∠A，∠DOC＝∠ODA，
∵OA＝OD，∴∠A＝∠ODA，∴∠BOC＝∠DOC，∴，
即点E是弧BD的中点； ………………3分
（2）证明：在△OCD和△OCB中，，
∴△OCD≌△OCB（SAS），∴∠ODC＝∠OBC＝90°，
∴OD⊥CD， ∴CD是⊙O的切线；……………………6分

（3）解：∵AD∥OC，BC⊥AB，DF⊥AB, ∴∠ADG=∠BCO
∵，∴tan∠BCO＝ ∴tan∠ADG＝，
设DG＝4x，AG＝3x；
又∵⊙O的半径为5，∴OG＝5﹣3x；
∵OD2＝DG2+OG2， ∴52＝（4x）2+（5﹣3x）2；（2分）
∴x1＝，x2＝0；（舍去） ∴AG＝3x=
∴OG＝OA﹣AG＝5﹣=．………………9分


24．解：（1）由四边形内角和为360°，可得∠A+∠AED+∠CDE+∠C＝360°，
则∠A+∠C+2（∠A+∠C）＝360°，
∴∠A+∠C＝120°； ∴∠B=60°…………………………………3分

（2）如图2，连结OC，由三角形外心的性质可得，OA＝OB＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∠OCA＝∠OAC，∠OCE＝∠OBC，
∴∠ACB＝（180°﹣30°﹣30°）÷2＝60°，
则∠CAB+∠CBA＝120°，
在四边形ABED中，∠CAB+∠CBA＝120°，则另两个内角之和为240°，
∴四边形ABED为角和谐四边形；………………………………6分

（3）若AB为和谐线，则∠CAB+∠CBA＝120°，∴∠C＝60°，
又∵CD＝CE，∴△CDE为等边三角形，
∵∠CDE＝CED＝60°，DE＝DC＝4， ∴∠ADF＝∠FEB＝120°，
∵∠AFB＝120°，∴∠DFA+∠EFB＝60°，
又∵∠DAF+∠DFA＝60°，∴∠DAF＝∠EFB，
∴△ADF∽△FEB， ∴＝，
∵CE＝DE＝4，CE＝4BE，F是DE的中点， ∴BE＝1，DF＝EF＝2，
∴ ∴AD＝4，
∴CA＝CD+AD＝4+4＝8．……………………10分
图1










F
25．解：
（1）∵∠ACB＝∠AOC＝∠BOC＝90°，
∴∠ACO+∠BCO＝∠BCO+∠CBO＝90°，
∴∠ACO＝∠CBO， ∴△AOC∽△COB，
∴＝，即，
又∵OA＝9，OB＝16，解得OC＝12，
∴A（﹣9，0），B（16，0），C（0，12），
∴可设抛物线解析式为，
把C（0，12）代入可得
∴抛物线解析式为；………………3分

（2）在Rt△AOC和Rt△BOC中，
∵OA＝9，OC＝12，OB＝16， ∴AC＝15，BC＝20，
∵AD平分∠CAB， ∵DF⊥AB， ∴∠ACD＝∠AFD＝90°，
∵AD＝AD， ∴△ACD≌△AFD， ∴AF＝AC＝15，
∴OF＝AF﹣OA＝15﹣9＝6，BF＝10，
∵∠DBF＝∠ABC，∠DFB＝∠ACB＝90°，
∴△BDF∽△BAC， ∴∴DF＝， ∴D（6，），
把代入得，∴E（6，）
∴DE=………………………………6分

（3）作NG⊥轴于点G，MH⊥NG于点H，连接MN、MQ、NQ、HM、HQ，
M
N
H
Q
G
∵抛物线的解析式， ∴N（9，），
设直线AD的解析式为，
将A（﹣9，0），D（6，）代入得，
联立化简得，
∴
∴M（10，）， ∴MH＝NH＝1，H（9，）
∵∠MQN＝45°， ∠NHM＝90°，∴∠NQM＝∠NHM，
可知△NQM外接圆的圆心为H，∴QH＝HN＝HM＝1
设Q（，t），则
或
∴符合题意的点Q的坐标：Q1（，）、Q2（，）．…………10分