初中数学苏科版九年级下册6.2 黄金分割学案

黄金分割

一、学习目标：

1、探索黄金分割、黄金矩形、黄金三角形的过程，了解黄金分割在各个领域有价值的运用；[来源:Zxxk.Com]

2、会找一条线段的黄金分割点；

3、在应用中进一步理解线段的比、成比例线段.

学习重点：了解黄金分割、黄金矩形、黄金三角形的意义.

学习难点：怎样找一条线段的黄金分割点.

二、知识梳理：

1．导学预习：

[来源:Z*xx*k.Com]

（1）欣赏芭蕾舞演员身体各部分之间适当的比例给人以匀称、协调的美感，请量出图中线段AB、AC的长度，并求出线段AB与AC的比值；

（2）上海东方明珠电视设计巧妙，整个塔体的挺拔秀丽，请量出图中线段AB、AC的长度，并求出线段AB与AC的比值；

（3）察“你最喜欢的矩形”的调查结果，看看多数同学选择是哪一个矩形，在此矩形中，宽与长的比值约是多少？

2.小组讨论：

活动一、计算（或）的值，引入黄金分割的概念.

把矩形ABCD的长AB与宽BC画在同一条直线上，此时点B把线段AC分成两部分，如果，那么线段AC被点B黄金分割.（有一种通俗的说法是：较小的线段与较大的线段的比等于较大的线段与整个线段之比）

BC与AC（或AC与AB）的比值约为0.618，这个比值称为黄金比.

注意：（1）一条线段的黄金分割点有两个，它们关于中点中心对称；

（2）若矩形的两条邻边长度的比值约为0.618，这种矩形称为黄金矩形.

（3）若在黄金矩形中截取一个正方形，那么剩余的矩形是黄金矩形吗？

3.展示提升：

活动二、认识黄金分割在几何中的一些应用.（如黄金三角形）

1、作顶角为36°的等腰△ABC；2、分别量出底边BC与腰AB的长度；

3、作∠B的平分线，交AC于点D，量出△BCD的底边CD的长度；

最后，分别求出△ABC与△BCD的底边与腰的长度的比值（精确到0.001）

问：比值是多少？　

所以我们把顶角为36°的三角形称为黄金三角形，它具有如下的性质：（1）；

（2）设BD是△ABC的底角的平分线，则△BCD也是黄金三角形，且点D是线段AC的黄金分割点；

（3）如再作∠C的平分线，交BD于点E，则△CDE也是黄金三角形，如此继续下去，可得到一串黄金三角形；

活动三、如图，五边形ABCDE的5条边相等，5个内角也相等，

（1）找出图中的黄金三角形；[来源:学&科&网Z&X&X&K]

（2）图中的点F、G、H、M、N分别是那些线段的黄金分割点？你能说明理由吗？

解：（1）△ACD、△BDE、△CAE、△DAB、△EBC、△AGD、△ABN、△BCF、

△BAH、△CMB、△CDG、△DNC、△DEH、△EDF、△EMA；

（2）点F是线段CG、CE、DN、BD的黄金分割点，……[来源:Zxxk.Com]

三、例题精讲：

例题讲解：例1、若线段AB＝4cm，点C是线段AB的一个黄金分割点，则AC的长为多少？

[来源:学&科&网Z&X&X&K]

例2、我们知道古希腊时期的巴台农神庙（Parthenom Temple）的正面是一个黄金矩形，若已知黄金矩形的长等于6,则这个黄金矩形的宽等于多少？（结果保留根号）

例3、如图的五角星中，AD=BC，且C、D两点都是AB的黄金分割

点，AB=1，求CD的长.

四、巩固练习：                                

（1）已知M、N是线段AB上的两个黄金分割点．若AB=1cm，则MN≈_______cm．

（2）如果是a与c的比例中项，且a=1，那么c=        .

（3）如图，正方形ABCD的边长为2.E为AB的中点，点H在BA延长线上，且EH=ED，四边形AFGH是正方形.（1）求AF、DF的长；（2）点F是AD的黄金分割点吗？为什么？

（4）给定一条线段AB，如何找到它的黄金分割点C呢？

①作BD⊥AB，且使BD=AB；②连接AD，以D为圆心，BD长为半径画弧交AD于点E；③以A为圆心，AE长为半径画弧交AB于点C．点C就是线段AB的黄金分割点．

如果有兴趣的话，你可以和同学们探索一下，点C为什么是线段AB的黄金分割点？

五、课后作业   

1．(1)如图，若点C是AB的黄金分割点，AB＝1，则AC≈_______，BC≈_______．

   (2)－条线段的黄金分割点有_______个．

2．据有关实验测定，当气温处于人体正常体温(37℃)的黄金比值时，人体感到最舒适．这个气温约为_______℃（精确到1℃）．

3．我们知道古希腊时期的巴台农神庙(Parthenom Temple)的正面是一个黄金矩形．若已知黄金矩形的长等于6，则这个黄金矩形的宽约等于_______．（精确到0.1）

4．已知P为线段AB的黄金分割点，且AP<PB，则    (    )

    A．AP2＝AB·PB                     B．AB2＝AP·PB

    C．PB2＝AP·AB                     D．AP2＋BP2＝AB2

5．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20 cm，则它的宽约为    (    )

   A．12.36 cm          B．13.6 cm       C．32.36 cm        D．7.64 cm

6．如图，为什么翩翩起舞的芭蕾舞演员要踮起脚尖？为什么身材苗条的时装模特还要穿高跟鞋？为什么她们会给人和谐、平衡、舒适和美的感觉？请利用“黄金分割”的知识加以解释．

7．已知点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，那么AC是线段_______与_______的比例中项，若AC＝10 cm，则BC约为_______cm．

8．如图，电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．若舞台AB的长为20 m，则主持人应走到离A点至少_______m处最合适．(结果精确到0.1 m)

9．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0. 618时，

越给人一种美感．如图，某女士身高165 cm，下半身长x与身高

l的比值是0. 60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度

大约为    (    )

   A．4 cm                          B．6 cm

   C．8 cm                          D．10 cm

10．已知线段AB，点P是它的黄金分割点，AP>BP，设以AP为边的正方形的面积为S1，以PB、AB为边的矩形的面积为S2，则S1与S2的关系是    (    )

A．S1>S2        B．S1<S2       C．S1＝S2       D．S1≥S2

11．（2014 昆明）如图，将边长为6cm的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是         cm

12．（2014怀化）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的中点，则S△ADE：S△ABC=　　．

13．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝DC，AC＝BD＝BC，试问：图中有多少个黄金三角形？为什么？

14．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，若AE＝BC，则点E是线段AB的黄金分割点吗？说明你的理由．

15．市政府圈出一块地作为市民广场，广场形状为黄金矩形，现小红在比例尺为1：38 000的地图上量得该矩形的宽为1.236 cm，请你帮小红算一算，若用50 cm×50 cm的地砖铺广场，大约需多少块？

六、课后小结

参考答案

1．(1)0.618  0.382   (2)2   2．23   3．3.7   4．C   5．A   6．略

7．AB  BC  6.18  8．7.6   9．C  10．C  

11．12

12．1：4

13．4个 

14．点E是线段AB的黄金分割点 

15．约142.8万块