江苏省无锡市2023届高二下学期数学期末试卷 含解析

这是一份江苏省无锡市2023届高二下学期数学期末试卷 含解析，共21页。试卷主要包含了06，《九章算术·商功》，若，xR，则的值为等内容，欢迎下载使用。

无锡市普通高中2021年春学期高二期终教学质量抽测建议卷
数 学
2021．06
命题单位：宜兴市教师发展中心 制卷单位：江阴市教师发展中心
注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．已知复数z＝2＋i，在复平面内z(1﹣i)对应点的坐标为
A．(3，1) B．(﹣3，1) C．(3，﹣1) D．(﹣3，﹣1)
2．一个小球从5米的高处自由下落，其运动方程为，则t＝1秒时小球的瞬时速度为
A．﹣9.8米/秒 B．﹣4.9米/秒 C．9.8米/秒 D．4.9米/秒
3．随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1，2，3，4，5，则P(X＜3)＝
A． B． C． D．
4．《九章算术·商功》：“斜解立方，得两塹堵，斜解塹堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以基，其形露矣．”文中“阳马”是底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．在阳马P—ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝1，AB＝AD＝2，则点A到平面PBD的距离为
A． B． C． D．
5．若，xR，则的值为
A． B． C． D．
6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次，已知甲和乙都没有得到冠军，并且乙不是第5名，则这5个人的名次排列情况共有
A．72种 B．54种 C．36种 D．27种
7．已知函数的导函数的图像如图所示，则下
列说法一定正确的是
A．x[0，a]时，的值为常数
B．x[a，c]时，单调递减
C．x＝d时，取得极小值
D．x＝c时，取得最小值
8．现行排球比赛规则为五局三胜制，前四局每局先得25分者为胜，第五局先得15分者为胜，并且每赢1球得1分，每次得分者发球；当出现24平或14平时，要继续比赛至领先2分才能取胜．在一局比赛中，甲队发球赢球的概率为，甲队接发球赢球的概率为，在比分为24：24平且甲队发球的情况下，甲队以27：25赢下比赛的概率为
A． B． C． D．
二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．下列复数z满足“k，使得对都成立”的有
A．z＝i B． C．z＝1﹣i D．
10．甲盒中有3个红球，2个白球；乙盒中有2个红球，3个白球．先从甲盒中随机取出一球放入乙盒．用事件A表示“从甲盒中取出的是红球”，用事件B表示“从甲盒中取出的是白球”；再从乙盒中随机取出一球，用事件C表示“从乙盒中取出的是红球”，则下列结论正确的是
A．事件B与事件C是互斥事件 B．事件A与事件C是独立事件
C．P(C)＝ D．P(C|A)＝
11．老杨每天17：00下班回家，通常步行5分钟后乘坐公交车再步行到家，公交车有A，B两条线路可以选择．乘坐线路A所需时间（单位：分钟）服从正态分布N(44，4)，下车后步行到家要5分钟；乘坐线路B所需时间（单位：分钟）服从正态分布N(33，16)，下车后步行到家要12分钟．下列说法从统计角度认为合理的是
A．若乘坐线路B，18:00前一定能到家
B．乘坐线路A和乘坐线路B在17:58前到家的可能性一样
C．乘坐线路B比乘坐线路A在17:54前到家的可能性更大
D．若乘坐线路A，则在17:48前到家的可能性不超过1%

12．已知曲线在点(0，2)处的切线为l，且l与曲线也相切．则
A．a＝b
B．存在l的平行线与曲线相切
C．任意x(﹣2，)，恒成立
D．存在实数c，使得任意x[0，)恒成立
三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．的展开式中常数项是240，则实数c的值为 ．
14．有A，B两盒完全相同的卡片，每盒3张每次等可能的从A，B两个盒子中随机取出一张，当A盒卡取完时，B盒恰好剩1张的概率为 ．
15．函数的单调减区间为 ．
16．一个班级有30名学生，其中10名女生，现从中任选3名学生当班委，则女生小红当选的概率为 ；令X表示3名班委中女生的人数，则P(X≤2)＝ ．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
已知复数，(，，mR)．
（1）当m＝﹣1时，是关于x的方程2x2＋px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值；
（2）若，求的取值范围．






18．（本小题满分12分）
某地区2014至2020年生活垃圾无害化处理量（单位：万吨）如下表：

（1）求y关于x的线性回归方程；
（2）根据（1）中的回归方程，分析过去七年该地区生活垃圾无害化处理的变化情况，并预测该地区2022年生活垃圾无害化处理量．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：









19．（本小题满分12分）
为了调查人民群众对物权法的了解程度，某地民调机构举行了物权法知识竞答，并在所有答卷中随机选取了100份答卷进行调查，并根据成绩绘制了如图所示的频数分布表．

（1）将对物权法的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“群众对物权法的了解程度”与性别有关？

（2）若用样本频率代替概率，用简单随机抽样的方法从该地抽取20名群众进行调查，其中有r名群众对物权法“比较了解”的概率为P(X＝r)(r＝0，1，2，…，20)，当P(X＝r)最大时，求r的值．




20．（本小题满分12分）
在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AA1的长为2，且∠A1AB＝∠A1AD＝60°．
（1）求异面直线AD1与A1B所成角的余弦值；
（2）求三棱锥A1—ABD的体积．


21．（本小题满分12分）
某单位为了丰富职工业余生活，举办象棋比赛（每局比赛可能出现胜、负、平三种结果）．甲、乙两人共进行三局比赛，每局比赛甲赢的概率为，甲输的概率为q，且三局比赛均没有出现平局的概率为．
（1）求三场比赛乙至少赢两局的概率；
（2）若该单位为每局比赛拿出1百元奖金，若分出胜负，奖金归胜方；若平局，两人平分奖金．设甲获得奖金总额与乙获得奖金总额之差为X（单位：百元），求X的分布列及其数学期望．











22．（本小题满分12分）
已知函数，aR．
（1）若在(0，)上单调递减，求实数a的取值范围；
（2）当a＝0时，求证在x(，)上恒成立．


















无锡市普通高中2021年春学期高二期终教学质量抽测建议卷
数 学
2021．06
命题单位：宜兴市教师发展中心 制卷单位：江阴市教师发展中心
注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．已知复数z＝2＋i，在复平面内z(1﹣i)对应点的坐标为
A．(3，1) B．(﹣3，1) C．(3，﹣1) D．(﹣3，﹣1)
【答案】C
【解析】z(1﹣i)＝(2＋i)(1﹣i)＝3﹣i，故选C．
2．一个小球从5米的高处自由下落，其运动方程为，则t＝1秒时小球的瞬时速度为
A．﹣9.8米/秒 B．﹣4.9米/秒 C．9.8米/秒 D．4.9米/秒
【答案】A
【解析】，，故选A．
3．随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1，2，3，4，5，则P(X＜3)＝
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】P(X＜3)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝，故选A．
4．《九章算术·商功》：“斜解立方，得两塹堵，斜解塹堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以基，其形露矣．”文中“阳马”是底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．在阳马P—ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝1，AB＝AD＝2，则点A到平面PBD的距离为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设点A到平面PBD的距离为h，则四棱锥的体积为：

则．选B．
5．若，xR，则的值为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令x＝0，得，
令x＝2，得，
所以＝．
6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次，已知甲和乙都没有得到冠军，并且乙不是第5名，则这5个人的名次排列情况共有
A．72种 B．54种 C．36种 D．27种
【答案】B
【解析】．
7．已知函数的导函数的图像如图所示，则下列说法一定正确的是

A．x[0，a]时，的值为常数
B．x[a，c]时，单调递减
C．x＝d时，取得极小值
D．x＝c时，取得最小值
【答案】C
【解析】x(c，d)时，＜0；x(d，e)时，＞0，所以x＝d时，取得极小值．选C．
8．现行排球比赛规则为五局三胜制，前四局每局先得25分者为胜，第五局先得15分者为胜，并且每赢1球得1分，每次得分者发球；当出现24平或14平时，要继续比赛至领先2分才能取胜．在一局比赛中，甲队发球赢球的概率为，甲队接发球赢球的概率为，在比分为24：24平且甲队发球的情况下，甲队以27：25赢下比赛的概率为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由比分可知甲需胜3局，输1局，且甲第四局胜，第1局或第2局输，
故．
二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．下列复数z满足“k，使得对都成立”的有
A．z＝i B． C．z＝1﹣i D．
【答案】ABD
【解析】即求，满足条件的是ABD．
10．甲盒中有3个红球，2个白球；乙盒中有2个红球，3个白球．先从甲盒中随机取出一球放入乙盒．用事件A表示“从甲盒中取出的是红球”，用事件B表示“从甲盒中取出的是白球”；再从乙盒中随机取出一球，用事件C表示“从乙盒中取出的是红球”，则下列结论正确的是
A．事件B与事件C是互斥事件 B．事件A与事件C是独立事件
C．P(C)＝ D．P(C|A)＝
【答案】CD
【解析】，．
11．老杨每天17：00下班回家，通常步行5分钟后乘坐公交车再步行到家，公交车有A，B两条线路可以选择．乘坐线路A所需时间（单位：分钟）服从正态分布N(44，4)，下车后步行到家要5分钟；乘坐线路B所需时间（单位：分钟）服从正态分布N(33，16)，下车后步行到家要12分钟．下列说法从统计角度认为合理的是
A．若乘坐线路B，18:00前一定能到家
B．乘坐线路A和乘坐线路B在17:58前到家的可能性一样
C．乘坐线路B比乘坐线路A在17:54前到家的可能性更大
D．若乘坐线路A，则在17:48前到家的可能性不超过1%

【答案】BCD
【解析】对于A，P(B≥45)＝＝0.0013，故A错误；
对于B，P(B≤41)＝＋＝0.9772，
P(A≤48)＝＋＝0.9772，故B对；
对于C，P(B≤37)＝＋＝0.8413，P(A≤44)＝＜0.8413，故C对；
对于D，P(A≤38)＝＝0.0013＜0.01，故D对．
12．已知曲线在点(0，2)处的切线为l，且l与曲线也相切．则
A．a＝b
B．存在l的平行线与曲线相切
C．任意x(﹣2，)，恒成立
D．存在实数c，使得任意x[0，)恒成立
【答案】AC
【解析】由于过(0，2)，将(0，2)代入，求得a＝2；对求导，代入点(0，2)求出的斜率为4，切线为y＝4x＋2，由于该切线l也与相切，对求导，得到，令＝4，得x＝0，则同时过(0，2)代入得到b＝2，则a＝b＝2，A正确；
过一点，仅有一条直线与已知曲线相切，B错误；
，在(﹣2，)单调增，，，在(﹣2，)上单调增，；在(0，)上，，且随x增大变化较大，当x趋近于，则f变化的比g快，f与g表示的函数f更大，因此，不存在足够大的实数c，使得，D错误．故AC正确．
三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．的展开式中常数项是240，则实数c的值为 ．
【答案】
【解析】在该式展开的常数项中，由于二次项的项数分别为与，只有当x的系数为0时，该展开项才是常数项，只有x2这一项为二次方，为四次方时，x的系数才为0，此时常数项为，由于c为正实数，所以c＝．
14．有A，B两盒完全相同的卡片，每盒3张每次等可能的从A，B两个盒子中随机取出一张，当A盒卡取完时，B盒恰好剩1张的概率为 ．
【答案】
【解析】．
15．函数的单调减区间为 ．
【答案】(1，2)
【解析】对求导：


因此，极值点为1和2，其中x＝1取不到，x＝2可取，根据的正负画出极值表，减区间为(1，2)．
16．一个班级有30名学生，其中10名女生，现从中任选3名学生当班委，则女生小红当选的概率为 ；令X表示3名班委中女生的人数，则P(X≤2)＝ ．
【答案】；
【解析】（1）设小红当选班委为事件A，则P(A)＝；
（2）要求P(X≤2)，只需要求出P(X＝3)，用1﹣P(X＝3)求出P(X≤2)，
．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
已知复数，(，，mR)．
（1）当m＝﹣1时，是关于x的方程2x2＋px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值；
（2）若，求的取值范围．
【解析】解：（1）当m＝﹣1时，＝﹣1＋3i，则，
由题意可知，2＋p＋q＝0， 即2(﹣8﹣6i)＋p(﹣1＋3i)＋q＝0，
整理得q﹣p﹣16＋(3p﹣12)i＝0，所以q﹣p﹣16＝0，3p﹣12＝0，
解得p＝4，q＝20；
（2）因为，所以，
所以，消去m，整理得＝﹣4sin2﹣3sin，
又sin[﹣1，1]，所以[﹣7，]．
18．（本小题满分12分）
某地区2014至2020年生活垃圾无害化处理量（单位：万吨）如下表：

（1）求y关于x的线性回归方程；
（2）根据（1）中的回归方程，分析过去七年该地区生活垃圾无害化处理的变化情况，并预测该地区2022年生活垃圾无害化处理量．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

【解析】解：（1）易知，
又，所以，
则，
所以回归方程为；
（2）由回归方程可知，过去七年中，生活垃圾无害化处理量每年平均增长0.5万吨，当x＝9时，y＝4.5＋2.3＝6.8，即2022年该地区生活垃圾无害化处理量约为6.8万吨．
19．（本小题满分12分）
为了调查人民群众对物权法的了解程度，某地民调机构举行了物权法知识竞答，并在所有答卷中随机选取了100份答卷进行调查，并根据成绩绘制了如图所示的频数分布表．

（1）将对物权法的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“群众对物权法的了解程度”与性别有关？

（2）若用样本频率代替概率，用简单随机抽样的方法从该地抽取20名群众进行调查，其中有r名群众对物权法“比较了解”的概率为P(X＝r)(r＝0，1，2，…，20)，当P(X＝r)最大时，求r的值．

【解析】解：（1）2×2列联表如下：

不太了解
比较了解
合计
男性
8
37
45
女性
22
33
55
合计
30
70
100
则，
所以有95%的把握；
（2）由（1）可知，随机取一名群众，对物权法比较了解的概率为，
则随机变量X满足X~B(20，)，所以其期望值E(X)＝20×＝14，
即P(X＝r)最大时，r＝14．
20．（本小题满分12分）
在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AA1的长为2，且∠A1AB＝∠A1AD＝60°．
（1）求异面直线AD1与A1B所成角的余弦值；
（2）求三棱锥A1—ABD的体积．

【解析】解：（1）由题意知，，，
所以，，
又，所以，
设AD1与A1B所成角为，则；
（2）易知，所以，
作BD中点O，连接OA，OA1，则OA＝OA1＝，
所以OA2＋OA12＝AA12，即OA⊥OA1，
又A1B＝A1D，所以OA1⊥BD，
因为OA，BD平面ABCD，OABD＝O，所以OA1⊥平面ABCD，
因为，所以V＝．
21．（本小题满分12分）
某单位为了丰富职工业余生活，举办象棋比赛（每局比赛可能出现胜、负、平三种结果）．甲、乙两人共进行三局比赛，每局比赛甲赢的概率为，甲输的概率为q，且三局比赛均没有出现平局的概率为．
（1）求三场比赛乙至少赢两局的概率；
（2）若该单位为每局比赛拿出1百元奖金，若分出胜负，奖金归胜方；若平局，两人平分奖金．设甲获得奖金总额与乙获得奖金总额之差为X（单位：百元），求X的分布列及其数学期望．
【解析】解：（1）由题意可知，，
解得，即每局乙赢的概率为，
设乙至少赢两局为事件A，则；
（2）易知随机变量X的可能取值为300,，200，100，0，﹣100，﹣200，﹣300，
由（1）可知，每局比赛甲赢的概率为，乙贏的概率为，平局的概率为，
则，
，
，．
则分布列如下表：

则数学期望
．
22．（本小题满分12分）
已知函数，aR．
（1）若在(0，)上单调递减，求实数a的取值范围；
（2）当a＝0时，求证在x(，)上恒成立．
【解析】解：（1）因为，
对恒成立，
所以，
故
所以；
（2）由题意知，要证在x(，)上，，
令，则，
显然在x(，)上单调减，
所以
所以单调增，单调减，
所以，得证．