江苏省无锡市2024届高一下学期数学期末试卷 含解析

这是一份江苏省无锡市2024届高一下学期数学期末试卷 含解析，共15页。试卷主要包含了06，下面四个命题中，真命题为等内容，欢迎下载使用。
无锡市普通高中2021年春学期高一期终教学质量抽测建议卷
数 学
2021．06
命题单位：江阴市教师发展中心 制卷单位：江阴市教师发展中心
注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．复数的共轭复数是
A．﹣2﹣i B．﹣2＋i C．2＋i D．2﹣i
2．为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是
A．抽签法抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样D．随机数表法抽样
3．设四边形ABCD为平行四边形，若点M，N满足，，，则
A．， B．， C．， D．，
4．已知一个半径为R的半球，其体积为V1，一个底面半径和高都等于R的圆柱，挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得几何体的体积为V2，下列说法正确的是
A．V1＞V2 B．V1＝V2 C．V1＜V2 D．不确定
5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若C＝，c＝，则的值为
A．2 B． C．6 D．
6．设平面向量，满足＝12，＝(2，)，＝18，则在方向上的投影向量为
A． B． C． D．
7．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中错误的是
A．若m⊥，m∥n，n∥，则⊥
B．若∥，m，则m∥
C．若m⊥n，m，n，则⊥
D．若m∥n，∥，则m与所成的角和n与所成的角相等
8．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若tanB＝2tanC，b＝1，则△ABC面积的最大值为
A． B． C． D．
二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A＝“第一枚硬币正面向上”，事件B＝“第二枚硬币反面向上”，下列结论中正确的是
A．A与B互为对立事件 B．A与B为相互独立事件
C．A与B相等 D．P(A)＝P(B)
10．下面四个命题中，真命题为
A．若复数z满足﹣zR，则zR B．若复数z满足z2R，则zR
C．若复数，则 D．若复数，则
11．有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
下列说法中正确的是
A．甲、乙这次射击成绩的极差相同 B．甲、乙这次射击皮绩的平均值相同
C．这次射击中乙比甲的成绩稳定 D．甲的射击成绩的第60百分位数为7.5
12．设正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为4，E为线段A1D1的中点，F为线段CC1上的一个动点，则
A．存在点F，使B1D⊥EF
B．直线AF与平面A1ADD1所成角为定值
C．平面AEF截正方体的截面可能是五边形
D．当点F与点C1重合时，平面AEF截正方体的截面面积为
三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．设m为实数，复数m(3＋i)﹣(2＋i)在复平面内所对应的点位于第四象限，则m的取值范围为 ．
14．若平面向量，，两两的夹角相等，且＝1，＝1，＝3，则＝ ．
15．立德中学数学兴趣小组设计了一个方案来测量学校操场旗杆顶端距离地面的高度，具体步骤如下：①设旗杆与地面交于O点，②在O点的正西方A点测得旗杆顶端P的仰角为45°，③在O点南偏东60°的B点处测得点P的仰角为60°，④测得A，B两点处的距离为米，则该旗杆顶端距离地面的高度为 米．
16．已知一个底面边长为，侧棱长为6的正三棱锥，则此三棱锥的侧面与底面所成二面角的余弦值为 ，此三棱锥内切球的半径为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度，即确定一户居民月均用水量标准X．用水量不超过X的部分按平价收费，超出X的部分按议价收费．为了确定一个较为合理的用水标准，有关部门通过随机抽样调查的方式，获得过去一年4000户居民用户的月均用水量数据（单位：吨），并根据获得的数据制作了频率分布表：

（1）求m，n，p，q的值及所获得数据中“月均用水量不低于30吨”发生的频率；
（2）若在第4、5、6组用分层抽样的方法随机抽取6户做问卷调查，并在这6户中任选2户进行座谈会，求这2户中恰有1户是“月均用水量不低于50吨”的概率．







18．（本小题满分12分）
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，平面向量＝(a＋c，b)，＝(a﹣c，b﹣a)，⊥．
（1）求角C的大小；
（2）现给出三个条件：①c＝4；②(2c﹣a)cosB＝bcosA；③a2＋bccosA﹣accosB＝24．请从中选择两个条件求出△ABC的面积．







19．（本小题满分12分）
如图所示，在四棱锥P—ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是线段PB中点，F是线段DC上的点，且DF＝AB，PH⊥AD，且PHAD＝H．
（1）证明：EF∥平面PAD；
（2）比较∠PBH与∠PBA的大小，并说明理由．









20．（本小题满分12分）
设是虛数，是实数，且﹣2＜≤1．
（1）求的实部的取值范围；
（2）若，求的最小值．












21．（本小题满分12分）
有甲、乙、丙、丁四支足球队到某地集训，该地只有一块训练场地，商定摸球决定哪支球队先使用场地．摸球办法如下：盒中共放有大小形状相同的四个球，其中有三个白球、一个黑球．
进行不放回的摸球，直到摸到黑球为止．若第一次摸到黑球，则甲队先使用；第二次摸到黑球，则乙队先使用；第三次摸到黑球，则丙队先使用；最后一次才摸到黑球，则丁队先使用．
（1）这种摸球办法是否公平？请说明理由；
（2）若改为放回摸球，是否公平？请说明理由．






























22．（本小题满分12分）
已知在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD为直角梯形，且满足AD⊥AB，AD＝4，AB＝2，∠BCD＝135°，BB1＝2，E，F分别是线段AB，BC的中点．
（1）求证：平面A1BD⊥平面A1AF；
（2）棱AA1上是否存在点G，使EG∥平面A1FD，若存在，确定点G的位置，若不存在，请说明理由．




























无锡市普通高中2021年春学期高一期终教学质量抽测建议卷
数 学
2021．06
命题单位：江阴市教师发展中心 制卷单位：江阴市教师发展中心
注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．复数的共轭复数是
A．﹣2﹣i B．﹣2＋i C．2＋i D．2﹣i
【答案】D
【解析】，故共轭复数为2﹣i，选D．
2．为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是
A．抽签法抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样D．随机数表法抽样
【答案】C
【解析】由于男女生视力情况差异不大，但是小学、初中、高中三个学段的学生视力情况差异较大，故采用按学段分层抽样的方法，选C．
3．设四边形ABCD为平行四边形，若点M，N满足，，，则
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【解析】，故选A．
4．已知一个半径为R的半球，其体积为V1，一个底面半径和高都等于R的圆柱，挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得几何体的体积为V2，下列说法正确的是
A．V1＞V2 B．V1＝V2 C．V1＜V2 D．不确定
【答案】B
【解析】，，故V1＝V2，选B．
5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若C＝，c＝，则的值为
A．2 B． C．6 D．
【答案】B
【解析】，故选B．
6．设平面向量，满足＝12，＝(2，)，＝18，则在方向上的投影向量为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在方向上的投影向量＝，故选D．
7．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中错误的是
A．若m⊥，m∥n，n∥，则⊥
B．若∥，m，则m∥
C．若m⊥n，m，n，则⊥
D．若m∥n，∥，则m与所成的角和n与所成的角相等
【答案】C
【解析】选项C中，直线m，n必须有一条是平面，的交线，才能保证⊥，故C错误．
8．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若tanB＝2tanC，b＝1，则△ABC面积的最大值为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为tanB＝2tanC，所以sinBcosC＝2cosBsinC，两边同时加上cosBsinC得，sinA＝3cosBsinC，即a＝3ccosB(*)，故cosB＝，sinB＝，把cosB＝代入(*)并化简得，即①，②，由①、②得，当时，S有最大值为，选A．
二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A＝“第一枚硬币正面向上”，事件B＝“第二枚硬币反面向上”，下列结论中正确的是
A．A与B互为对立事件 B．A与B为相互独立事件
C．A与B相等 D．P(A)＝P(B)
【答案】BD
【解析】A，B为独立事件，且P(A)＝P(B)＝，故选BD．
10．下面四个命题中，真命题为
A．若复数z满足﹣zR，则zR B．若复数z满足z2R，则zR
C．若复数，则 D．若复数，则
【答案】AC
【解析】当z＝i时，z2＝﹣1R，但z不是实数，B错误；取，，则＝5，但是，D错误．故选AC．
11．有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
下列说法中正确的是
A．甲、乙这次射击成绩的极差相同 B．甲、乙这次射击皮绩的平均值相同
C．这次射击中乙比甲的成绩稳定 D．甲的射击成绩的第60百分位数为7.5
【答案】BCD
【解析】甲的极差是6，乙的极差是4，故A错误；
甲的平均数是7，乙的平均数是7，故B正确；
由于此次射击甲的方差＞乙的方差，故乙的成绩比较稳定，C正确；
10×60%＝6，故甲的第60百分位数是将甲的成绩从小到大排列后的第6和第7个数的平均数，计算得7.5，故D正确．
故选BCD．
12．设正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为4，E为线段A1D1的中点，F为线段CC1上的一个动点，则
A．存在点F，使B1D⊥EF
B．直线AF与平面A1ADD1所成角为定值
C．平面AEF截正方体的截面可能是五边形
D．当点F与点C1重合时，平面AEF截正方体的截面面积为
【答案】AC
【解析】当F为CC1中点时，有B1D⊥EF，A正确；
当点F与点C重合时，直线AF与平面A1ADD1所成角的正切值为1，当点F与点C1重合时，直线AF与平面A1ADD1所成角的正切值为，故B错误；
当F为CC1中点时，平面AEF截正方体的截面是五边形，C正确；
过F作AE的平行线交BC于点G，平行四边形AEFG为所截的面，则S＝4×，故D错误．
故选AC．
三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．设m为实数，复数m(3＋i)﹣(2＋i)在复平面内所对应的点位于第四象限，则m的取值范围为 ．
【答案】
【解析】m(3＋i)﹣(2＋i)＝3m﹣2＋(m﹣1)i，该复数在复平面内表示的点的坐标为(3m﹣2，m﹣1)，因为该点在第四象限，故3m﹣2＞0，m﹣1＜0，解得．
14．若平面向量，，两两的夹角相等，且＝1，＝1，＝3，则＝ ．
【答案】1或4
【解析】平面向量，，两两的夹角相等，包括两种情况，一是两两夹角为0°，二是两两夹角为120°，
当两两夹角为0°时，；
当两两夹角为120°时，＝4．
15．立德中学数学兴趣小组设计了一个方案来测量学校操场旗杆顶端距离地面的高度，具体步骤如下：①设旗杆与地面交于O点，②在O点的正西方A点测得旗杆顶端P的仰角为45°，③在O点南偏东60°的B点处测得点P的仰角为60°，④测得A，B两点处的距离为米，则该旗杆顶端距离地面的高度为 米．
【答案】12
【解析】设OB＝x，则OA＝OP＝，∵∠AOB＝150°，
则AB2＝OA2＋OB2﹣2OA·OB·cos150°，故，即336＝7x2，故x2＝48，x＝，∴OP＝＝12．
16．已知一个底面边长为，侧棱长为6的正三棱锥，则此三棱锥的侧面与底面所成二面角的余弦值为 ，此三棱锥内切球的半径为 ．
【答案】，
【解析】如图正三棱锥P—ABC，O是底面ABC的重心，∠PDO即为所求二面角的平面角，易知OD＝，PD＝，故cos∠PDO＝，∠PDO的平分线与PO的交点G即为该正三棱锥内切球的球心，根据角平分线定理可知，．

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度，即确定一户居民月均用水量标准X．用水量不超过X的部分按平价收费，超出X的部分按议价收费．为了确定一个较为合理的用水标准，有关部门通过随机抽样调查的方式，获得过去一年4000户居民用户的月均用水量数据（单位：吨），并根据获得的数据制作了频率分布表：

（1）求m，n，p，q的值及所获得数据中“月均用水量不低于30吨”发生的频率；
（2）若在第4、5、6组用分层抽样的方法随机抽取6户做问卷调查，并在这6户中任选2户进行座谈会，求这2户中恰有1户是“月均用水量不低于50吨”的概率．
【解析】解：（1）由题意得m＝4000×(0.046×10)＝1840，n＝0.046×10＝0.46，p＝0.018÷10＝0.0018，q＝4000×0.006＝24，所获数据中“月均用水量不低于30吨”发生的频率为0.018＋0.012＋0.006＝0.036．
（2）用分层抽样的方法在第4、5、6组随机抽取6户做回访调查的人数分别为3，2，1，设上述6户为a，b，c，d，e，f（其中“月均用水量不低于50吨”的1户为f），在这6户中任选2户进行采访，该实验的样本空间有15个样本点，具体为：

记这两户中恰有1户是“月均用水量不低于50吨”为事件A，
因为，
所以，
答：在这6户中任选2户进行座谈会，这2户中恰有1户是“月均用水量不低于50吨”的概率为．
18．（本小题满分12分）
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，平面向量＝(a＋c，b)，＝(a﹣c，b﹣a)，⊥．
（1）求角C的大小；
（2）现给出三个条件：①c＝4；②(2c﹣a)cosB＝bcosA；③a2＋bccosA﹣accosB＝24．请从中选择两个条件求出△ABC的面积．
【解析】解：（1）因为⊥，即，所以，
因为，所以．
（2）选①②，
由正弦定理及(2c﹣a)cosB＝bcosA得，
所以，所以，由代入数据得，得b＝，
因为，
于是．
19．（本小题满分12分）
如图所示，在四棱锥P—ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是线段PB中点，F是线段DC上的点，且DF＝AB，PH⊥AD，且PHAD＝H．
（1）证明：EF∥平面PAD；
（2）比较∠PBH与∠PBA的大小，并说明理由．

【解析】证明：（1）取PA的中点为G，连接DG，EG，点E，G是棱PB，PA的中点，
所以EG∥AB，EG＝AB，因为DF∥AB，DF＝AB，
所以DF∥EG，DF＝EG，即四边形DFGE为平行四边形，
所以DG∥EF，
因为DG平面PAD，EF平面PAD，
所以EF∥平面PAD；
（2）因为AB⊥平面PAD，PH面PAD，所以PH⊥AB，
又PH⊥AD，AB∩AD＝A，
所以PH⊥平面ABCD，
即∠PBH为直线PB与平面ABCD所成的角，
因为AB⊥平面PAD，所以PA⊥AB，即cos∠PBA＝，
因为cos∠PBH＝，在△PDA中，PD＝AD，所以H与A不重合，
在△ABH中，AB＜BH，所以∠PBA＞∠PBH．
20．（本小题满分12分）
设是虛数，是实数，且﹣2＜≤1．
（1）求的实部的取值范围；
（2）若，求的最小值．
【解析】解：（1）设
则
因为是实数，，所以，
所以由﹣2＜≤1得，所以的实部的取值范围是；
（2），

因为，所以，
因为，所以，
所以当，即时，取到最小值．
21．（本小题满分12分）
有甲、乙、丙、丁四支足球队到某地集训，该地只有一块训练场地，商定摸球决定哪支球队先使用场地．摸球办法如下：盒中共放有大小形状相同的四个球，其中有三个白球、一个黑球．
进行不放回的摸球，直到摸到黑球为止．若第一次摸到黑球，则甲队先使用；第二次摸到黑球，则乙队先使用；第三次摸到黑球，则丙队先使用；最后一次才摸到黑球，则丁队先使用．
（1）这种摸球办法是否公平？请说明理由；
（2）若改为放回摸球，是否公平？请说明理由．
【解析】解：（1）设事件A表示不放回摸球中第i(1≤i≤4，iN)次摸到黑球，

所以，四次摸到黑球的概率相等，是公平的；
（2）设事件B表示有放回摸球中第i(1≤i≤4，iN)次摸到黑球，

所以，四次摸到黑球的概率不相等，是不公平的．
22．（本小题满分12分）
已知在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD为直角梯形，且满足AD⊥AB，AD＝4，AB＝2，∠BCD＝135°，BB1＝2，E，F分别是线段AB，BC的中点．
（1）求证：平面A1BD⊥平面A1AF；
（2）棱AA1上是否存在点G，使EG∥平面A1FD，若存在，确定点G的位置，若不存在，请说明理由．

【解析】解：（1）证明：在直角梯形ABCD中，过点C作CH⊥AD于H，
由AD⊥AB，AD＝4，AB＝2，∠BCD＝135°，
得△CHD为等腰直角三角形，所以ABCH为正方形，
所以BF＝1，△DAB∽△ABF，所以∠BAF＝∠AOB，
所以∠BAF ＋∠ABD＝∠ADB＋∠ABD＝90°，
从而得到DB⊥AF，
在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1⊥面ABCD，DB面ABCD，
所以DB⊥AA1，又因为AF∩AA1＝A，所以DB⊥面AA1F，因为BD面A1BD，
所以平面A1BD⊥平面A1AF；
（2）存在点G，且AG＝，使得EG∥平面A1FD，
则在AD上取点M，使AM＝AD＝，
此时tan∠AME＝tan∠ADF，所以EM∥DF，
在平面ADD1A1中，，所以MG∥A1D，
此时由EM∥DF，DF平面A1FD，EM平面A1FD，得EM∥平面A1FD，
由MG∥A1D，MG平面A1FD，得MG∥平面A1FD，
又MG∩EM＝M，所以平面EMG∥平面A1FD，故EG∥平面A1FD．