高中数学人教B版 (2019)必修 第二册第五章 统计与概率5.3 概率5.3.3 古典概型教学设计

课题

古典概型

项目

内          容

理论依据或意图

教

材

分

析

教材地位及作用

本节课是高中数学3（必修）第三章概率的第二节古典概型的第一课时，是在随机事件的概率之后，几何概型之前，尚未学习排列组合的情况下学习的。古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，在概率论中占有相当重要的地位。

    学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题，有利于增强学生学习数学的兴趣。

教学重点

理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率。

根据本节课的地位和作用以及新课程标准的具体要求，制订教学重点。

教学难点

如何判断一个试验是否是古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数。

根据本节课的内容，即尚未学习排列组合，以及学生的心理特点和认知水平，制定了教学难点。

教

学

目

标

1．知识与技能

（1）理解基本事件概念；

（2）理解古典概型概念，掌握古典概型概率计算公式；

（3）会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。

2．过程与方法

根据本节课的内容和学生的实际水平，通过模拟试验让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，小组合作探究，观察类比分析各个试验，归纳总结出古典概型的概率计算公式，体现了从特殊到一般，化归的等重要数学思想，掌握列举法，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题。

3．情感态度与价值观

树立从具体到抽象、从特殊到一般的辩证唯物主义观点，培养学生用随机的观点来理性的理解世界。适当地增加学生合作学习交流的机会，尽量地让学生自己举出生活和学习中与古典概型有关的实例。使得学生在体会概率意义的同时，感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是地科学态度和锲而不舍的求学精神。

根据新课程标准，并结合学生心理发展的需求，以及人格、情感、价值观的具体要求制订而成。这对激发学生学好数学概念，养成数学习惯，感受数学思想，提高数学能力起到了积极的作用。

项 目

内       容

师生活动

理论依据或意图

教

学

过

程

分

析

一

创

设

情

境

引

入

新

课

游戏热身环节……

同学们，如果同时掷两颗骰子，则点数之和为9与点数之和为10，押哪个点数赢的机会较大？你会选择哪一个？

师：这是概率大小的问题，怎么求这类问题的概率？我们一起来学习本节课内容。

教师创设情境，为引入新知做准备，学生初步思考，带着问题进入课堂。

板书课题

由生活常见的实例，快速地将学生的注意力引入课堂，提出可能性大小实质上是概率大小问题，进而切入本堂课的主题。同时，概率背景的引入，也是对数学史的渗透。

二

试

验

观

测

揭

示

规

律

考察两个试验

试验1：掷一枚质地均匀的硬币，观察出现哪几种结果？（见课件）

试验2：抛掷一颗均匀的骰子一次，观察出现的点数有哪几种结果？

我们把一次试验中可能出现的每一个结果称为一个基本事件.

问题1：

（1）在一次试验中，会同时出现“1点”与“2点”这两个基本事件吗？

（不会，任何两个基本事件都是互斥的。）

（2）①事件“出现偶数点”包含哪几个基本事件？（“2点”、“4点”“6点”）

②事件“出现的点数不大于4”包含哪几个基本事件？（“1点”“2点”、“3点”、“4点”）（任何事件都可以表示成为基本事件的和）

师；根据分析，得到基本事件的概念：

1．   基本事件的概念

（1）任何两个基本事件是互斥的；

（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。

例1 从字母中任意取出两个不同字母，可能有哪些基本事件？

分析：为了解基本事件，我们可以按照字母排序的顺序，利用树状图把所有可能的结果都列出来,避免重复与遗漏。

画树状图是列举基本事件的基本方法，一般分步完成的结果(两步或两步以上)可以用树状图进行列举。

解：（树状图）

所求的基本事件共有6个：

，，，

，，

教师创设熟悉的情境，提出问题，引导学生思考。学生感悟体验，思考回答，引出基本事件的概念。

结合基本事件的概念，学生尝试解决例题。教师示范画树状图进行列举所有的基本事件.。

通过学生熟悉的抛硬币与掷骰子试验，使学生从具体的感性材料中，迅速理解基本事件的概念，从感性学习上升到理性学习。

讲练结合，及时巩固新知，为新知铺垫概念基础，也为下面推导古典概型公式推导积累素材，埋下伏笔。掌握画树状图的方法列举所有的基本事件，避免重复和遗漏，落实重点内容。

问题2：下面的试验和例1的基本事件还有什么共同特点？基本事件的个数如何？每个基本事件的可能性怎么样？你有什么猜想？

学生猜想：这类概率类型中，基本事件的特点：

（1）出现的结果只有有限个；

（2）每个基本事件出现的可能性相等.

我们通过实验来验证猜想。

在课前，教师布置任务，分发试验用具，学生以小组为单位，完成模拟试验，并写出实验报告，小组代表汇总发言：

学生代表做实验结果汇报，同学之间互相交流学习心得.

计算机excel软件模拟掷骰子实验，改变试验次数，观察频率变化。验证猜想。

结论：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；

（2）每个基本事件出现的可能性相等。

经概括总结后得到：

如果试验满足下面的两个条件

（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）

（2）每个基本事件出现的可能性相等。（等可能性）

我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率概型，简称古典概型。

判断辨析下列问题对错。

（1）如图，向一个圆面内随机地投射一个点，投射的情况都是等可能的，所以是古典概型。（ ）

（2）如图，某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环……命中5环和不中环。所以是古典概型。（ ）

（3）袋子里有4个大小相同的小球，其中，红黄蓝绿各一个，随机摸出一个，是古典概型。（ ）

（4）抛掷一颗质地均匀的特制骰子，骰子一面是1点，有两个面是2点，有三个面是3点，则随机得到各个点数为古典概型。（ ）

（1）答：错，不是古典概型，满足等可能性，但不满足有限性。

你认为这是古典概型吗？为什么？

（2）错，不是古典概型，满足有限性，但不满足等可能性。

（3）对，摸到不同颜色的球的可能性相等，且只有四种结果，所以是古典概型。

（4）错，结果满足有限性，但不满足等可能性。

问题3：你能举出几个生活中的古典概型的例子吗？

教师举例：

引导学生进一步分析试验中基本事件的共同点，发现试验中的基本事件只有有限个，为了求概率，学生大胆提出猜想。

教师提前分配准备试验。学生通过小组合作的方式，猜想、操作、统计、观察、分析、概括等过程，自主探究古典概型基本事件的特点。同时学生展示学习成果，互相交流学习心得体会。

计算机大量重复操作抛骰子试验，验证古典概型特点。

板书古典概型概念

教师创设概念辨析问题与开放性问题，学生根据自身经验及概念定义，思考作答举例，教师引导补充不足。

启发性的问题设计，引导学生进行自主学习，体现了“以教师为主导，学生为主体”新课标要求。

通过学生小组合作，实验探究，让学生充分理解古典概型的两个特点——有限性与等可能性，尤其是等可能性必须满足，突出教学重难点。

学生体验完整的实验探究，以及与他人的合作交流过程，感受到了与他人合作的重要性，培养了个人合作探究能力，形成实事求是，严谨科学的学习态度和锲而不舍的求学精神。

科学使用多媒体互动平台，响应新课标要求。

两类问题的设计是为了让学生更加准确的把握古典概型的两个特点。突破了如何判断一个试验是否是古典概型这一教学难点。

教

学

过

程

分

析

四

合作探究

公式推导

师：如果一个试验是古典概型，怎么求概率呢？试验模拟求概率好吗？

问题4： 在抛硬币与掷骰子的试验中，怎么求每个基本事件的概率？

    你能求出随机事件“出现偶数点”的概率吗?

    你能归纳出古典概型的概率计算公式吗？说明它的合理性。

（小组合作交流探讨，进行概括展示……）

可能出现的结果：

（1）经验判断得出概率；

（2）事件A包含的基本事件个数*每个基本事件的概率；

（3）直接通过古典概型概率公式，如：

（4）根据基本事件的等可能性，以及

互斥事件概率加法计算概率，如

试验一

试验二

2.古典概型计算任何事件的概率公式：

问题5：在使用古典概型的概率公式时，应注意什么？

归纳：使用古典概型的概率公式时注意：

（1）要判断该概率模型是不是古典概型（满足有限性与等可能性）；

（2）要准确找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验的基本事件的总数。

教师设计层层递进式的启发性问题，引导学生积极思考。学生积极发散思维，小组合作讨论学习，并分享展示，互相评价。教师及时点评，引导与补充。

问题设计，及时提醒，点拨引导。

重点内容反复强调。

通过引导学生开展独立思考、主动探究、合作交流等多种活动形式来理解和掌握基本的数学方法和数学技能，数学知识，符合数学学科核心素养的养成。在数学教学过程中，学生成为课堂学习的主体，教师成为学生活动的组织者、引导者、合作者，体现了学生的主体性地位。学生通过自我展示，获得充分的成就感，培养了对数学学习的信心，提高对学习数学的兴趣。

概念深化，点拨画龙点睛之意。

教

学

过

程

分

析

教

学

过

程

分

析

五

典例精析 

巩固新知

五

例题分析 

推广应用

例2.同时抛掷两枚均匀的硬币，会出现几种结果？出现“一枚正面向上，一枚反面向上”的概率是多少？

学生甲解：基本事件：“两个正面”、“一正一反”、“两个反面”，得

学生乙解：基本事件：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），得

归纳与点拨：

1.古典概型概率问题步骤：

（1）       审题，判断是否是古典概型；

（2）       记事件A，求出基本事件总数，以及A事件包含的基本事件的个数；

（3）       利用公式求概率。

2.为了保证基本事件的等可能性，对相同对象要进行编号标记区分.

练习：从一个装有4颗巧克力（形状大小均相同）的布袋中随机取出2颗巧克力．若4颗巧克力中，红色、黄色各2颗，计算取出的2颗均为黄色的概率．

解：将黄色巧克力标号为a,b，红色巧克力标号为c,d，记“取出两颗均是黄色的”为事件A，由树状图得：

则所有基本事件数是6个，事件“取出两颗均为黄色”包含1个基本事件，所以：

例3．同时掷两颗骰子 

（1）一共有多少种不同的基本事件?

（2）点数之和为9的基本事件有多少种？

（3）点数之和为9的概率是多少？

（4）点数之和为10的概率是多少？

解：（1）掷一个骰子的结果有6种，我们把两个骰子标上记号1，2以便区分，由于1号骰子的结果都可以与2号骰子的任意一个结果配对，我们用一个“有序实数对”来表示组成同时掷两个骰子的一个结果（如表），其中第一个数表示1号骰子的结果，第二个数表示2号骰子的结果。

（可由列表法得到）

由表中可知同时掷两个骰子的结果共有36种。

（2）在上面的结果中，向上的点数之和为9的结果有4种，分别为：

（3，6），（4，5），（5，4），（6，3）

（3）由于所有36种结果是等可能的，其中向上点数之和为9的结果（记为事件A）有4种，因此，由古典概型的概率计算公式可得

（4）记“向上点数之和为10”为事件B，

向上点数之和为10的基本事件有：（4,6），（5,5），（6,4）三个，则：

学生独立完成，展示两个学生的解法，发现学生甲的解答中存在的问题及错误，及时纠正。

模型展示帮助学生更加深刻的理解（正，反），（反，正）是两个不同的基本事件，以及根据计算机模拟可知，“一正一反”的可能性是“两正”“两反”的2倍。

学生完成类似练习题。

回归引例，解决问题

引导学生用列表法来列举试验中的基本事件的总数。

点拨：列表法适用于两步完成的试验。

让学生明确概率的计算问题的关键是：先要判断该概率模型是不是古典概型（重点判断是否满足等可能性），再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数，巩固对已学知识的掌握。

展示错例，供学生分析，反思，学生经历受挫教育，加深了对古典概型的等可能性的理解，突破教学难点。

设计与例2相类似的练习，使学生在多次练习的过程中，突破等可能性这一难点．

同时练习是课本原例1创新改编而成，以 “抽取巧克力”试验作为背景，让学生在轻松的氛围中通过观察分析掌握古典概型的两个特点．这样既培养了学生观察、分析问题和解决问题的能力，又有效地突破了本节课的教学难点．

利用列表法数形结合和分类讨论，既能形象直观地列出基本事件的总数，又能做到列举的不重不漏。深化巩固对古典概型及其概率计算公式的理解，和用列举法来计算一些随机事件所含基本事件的个数及事件发生的概率。

培养学生运用数形结合的思想，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生数学思维情趣，形成学习数学知识的积极态度。

教

学

过

程

分

析

六

课堂小结

形成体系

1．   基本事件概念

（1）任何两个基本事件是互斥的；

（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。

2．古典概型

（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）

（2）每个基本事件出现的可能性相等。（等可能性）

3．古典概型计算任何事件的概率计算公式

4．求某个随机事件A包含的基本事件的个数和实验中基本事件的总数的常用方法是列举法（画树状图和列表），应做到不重不漏。

学生小结归纳，不足的地方老师补充说明。

使学生对本节课的知识有一个系统全面的认识，并把学过的相关知识有机地串联起来，便于记忆和应用，也进一步升华了这节课所要表达的本质思想，让学生的认知更上一层。

七

课后拓展

探究提升

1．P123   练习1、2 题

2．课后思考：

单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案。如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案。假设考生不会做，他随机的选择一个答案，问他答对的概率是多少？

变式练习：

（1）若是不定项选择题，在不会做的的情况下，考生答对的概率是多少？

（2）若是单选题，在不会做的情况下，考生两个题都答对的概率是多少？

（3）假设有20道单选题，如果有一个考生答对了17道题，他是随机选择的可能性大，还是他掌握了一定知识的可能性大？

3、实践应用

近年来，国家越来越重视商品的质量问题，经常组织质检部门对其进行抽样检测．请你收集相关的新闻材料、数据或进行实际的市场调查，从古典概型角度针对检测产品的数量和检测出不合格产品的概率进行分析研究，说明质量抽检的科学性或提出你的建议．

学生课后自主完成。

进一步让学生掌握古典概型及其概率公式，并能够学以致用，加深对本节课的理解，指导个人的学习。同时关注概率与生活的练习，积极解决生活中的实际问题。

八

板

书

设

计

教

法

与

学

法

分

析

教

法

分

析

根据本节课的特点，采用引导发现和归纳概括相结合的教学方法，通过提出问题、思考问题、解决问题等教学过程，观察对比、概括归纳古典概型的概念及其概率公式，再通过具体问题的提出和解决，来激发学生的学习兴趣，调动学生的主体能动性，让每一个学生充分地参与到学习活动中来。

学

法

分

析

学生在教师创设的问题情景中，通过观察、类比、思考、探究、概括、归纳和动手尝试相结合，体现了学生的主体地位，培养了学生由具体到抽象，由特殊到一般的数学思维能力，形成了实事求是的科学态度，增强了锲而不舍的求学精神。

评

价

分

析

评

价

设

计

本节课的教学通过提出问题，引导学生发现问题，经历思考交流概括归纳后得出古典概型的概念，由两个问题的提出进一步加深对古典概型的两个特点的理解；再通过学生观察类比推导出古典概型的概率计算公式。这一过程能够培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。

    在解决概率的计算上，教师鼓励学生尝试列表和画出树状图，让学生感受求基本事件个数的一般方法，从而化解由于没有学习排列组合而学习概率这一教学困惑。整个教学设计的顺利实施，达到了教师的教学目标。