初中数学苏科版九年级下册6.4 探索三角形相似的条件学案

相似图形

一、学习目标 ：1．了解相似图形的概念，并能找出相似图形；

2．理解相似三角形、相似比的概念，并会用相关知识解决一些问题．

学习重点：相似三角形定义的理解和认识.

 学习难点：准确判断出相似三角形的对应角和对应边.

二、知识梳理

1．你还记得全等的图形吗？全等图形有什么性质？

 能够完全重合的图形叫做全等图形.全等图形的形状和大小都相同.

能够完全重合的两个三角形是全等三角形.全等三角形的对应角相等，对应边相等.

2．放映电影时，屏幕上的画面是由放映机把底片上的画面经过放大后投射得到的，底片上的画面与屏幕上的画面形状是否相同?   ——相同

3．同一张底片洗出来的不同尺寸的照片中，人物的形状改变了吗?  ——不改变

新知探索

我们刚才欣赏的图片都有些什么特征呢？  ——形状相同，大小不一定相同.

归纳：形状相同，大小不一定相同的图形称为相似图形。

找一找:下面四组图形中，哪些是相似图形？哪些不是？

说明：1.两个图形相似，只要其形状相同，与它们的大小及位置无关.用定义可判断两个图形是否相似.

2. 两个图形相似，则其中一个通过放大或缩小一定的倍数都能使它与另一个图形重合.

3.所有的正三角形、正方形、等腰直角三角形、正n边形一定相似；而一般的四边形、等腰三角形、直角三角形、梯形、平行四边形、矩形等不一定相似.

4.利用网格可将已知图形放大或缩小.

5. 两个图形全等一定相似，但两个图形相似不一定全等.

归纳：各角对应相等，各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形中对应边的比叫做相似比. 

注意：相似比是正数且有顺序性。

数学表达：如图,在△ABC和△A′B′C′中,

∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′；

则△ABC与△A′B′C′相似.记作△ABC∽△A′B′C′。其中k叫做它们的相似比.

注意：对应顶点的字母写在对应的位置上 。

反之：若△ABC与△A′B′C′相似,

则∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′；                         。

说明：

1.若△ABC∽△A′B′C′的相似比为K1，△A′B′C′∽△ABC的相似比为K2，则K1×K2=1.

2.相似比实质是把一个图形放大或缩小的倍数.

3.相似三角形具有传递性.

4. 相似三角形的对应角相等，对应边成比例.（定义具有双重性，既是性质，又是判定）

尝试：下面每组都有两个三角形相似,请把它们表示出来,并说出它们的相似比.

                          _                                       

△ABC与 △ A'B'C' 的相似比为________  ； △DEF与 △ABC的相似比为_________。

△ADE与 △ ABC 的相似比为          ；    △AOB与 △ COD 的相似比为­­­­­­­­­­­­­­        。

思考：如果相似比 k=1，这两个三角形有怎样的关系？  ——这两个三角形全等

5．探索：

我们知道：各角对应相等、各边对应成比例的两个三角形，叫做相似三角形。相似三角形中对应边的比叫做相似比。假如把三角形换成四边形、或者五边形，甚至多边形呢？

类比归纳：如果两个边数相同的多边形的各角对应相等，各边对应成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比.相似多边形的对应角相等，对应边成比例.

四、典例精讲

例1．下列说法中，错误的是（    ）

   A.所有的等腰三角形都相似                 B.所有的正方形都相似
   C.所有的等边三角形都相似                 D.所有的圆都相似

例2.若△ABC∽△ A′B′C′ ，且         ，则△ABC与△ A′B′C′相似比是              ，△ A′B′C′与△ABC的相似比是              。

例3．△ABC的三条边的长分别为6、8、10，与△ABC相似的△A′B′C′的最长边为30，则△A′B′C′的最短边的长为_______。 

例4． 如图△ABC∽△A′B′C′，求∠α、∠β的大小和A′C′的长. 

例5．如图D、E、F分别是△ABC三边的中点。△DEF与△ACB相似吗？为什么？

五、课堂小结与反思

1. 理解相似形、相似三角形、相似多边形、相似比的概念；

2.掌握相似三角形、相似多边形的性质并能简单运用.

六、巩固练习

1．下列图形不是形状相同的图形是   （      ）

A．某人的侧身照片和正面   B．用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有图案和放大图案   C．像同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片  D．一棵树与它倒影在水中的像

2．如图，左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形 。

3．一个三角形的各边之比为2∶5∶6，与它相似的另一个三角形的最大边为24，则它的另外两边长分别为                。

4．两个相似三角形，已知其中一个三角形的边分别为4、5、6，另一个三角形的一边长为2，则另一个三角形的其它两边长分别为                                。

5．如图，△ADE∽△ABC，AD＝3cm，AE＝2cm，CE＝4cm，BC＝9cm。

求：(1)BD、DE的长；    (2)求△ ADE与△ ABC的周长比。

七、课堂作业

1.给出4个判断：①所有的等腰三角形都相似，②所有的等边三角形都相似，③所有的直角三角形都相似，④所有的等腰直角三角形都相似。其中判断正确的个数有（    ）。   

 A. 1个       B. 2个        C.3个         D.4个

2.已知：如图，ΔADE∽ΔABC，从中选择你喜欢的1个图形，写出对应相等的角和对应边的比例式，并说说你是怎么想的？

3．已知△ABC∽△A1B1C1,且∠A=50°,∠B=95°,则∠C1等于   (      )

A．50°    B．95°      C．35°     D．25°

4．一个三角形的各边之比为2∶5∶6，和它相似的另一个三角形的最大边为24，它的最小边是_______.

5．已知四边形ABCD∽四边形A‘B’C‘D’，且AB∶BC∶CD∶DA＝7∶6∶5∶4，若四边形A‘B’C‘D’周长为44，则A‘B’＝       ，B’C‘＝       ，C‘D’＝     ，D’A‘＝       .

6．观察下面的各组图形，其中相似的图形有                  （填序号）．

(1)                        (2)                       　  （3）

(4)                      　 (5)                   

7.如图所示的相似图形四边形中,

则x=       、y=       、∠C=       。

8．判断下面两个三角形是否相似，简单说明理由；若相似，写出相似三角形对应边的比例式，求出相似比k。

9. 如图，两个矩形是否相似？为什么？

10．在图中的△ABC内任取一点M，连结MA、MB、MC，分别取MA、MB、MC的中点A′、B ′、C ′，连结A′B′、B′C′、 C′A′，△ABC和△ A′B′C′相似吗？为什么？

11．如图,已知△ABC∽△ADE,AB=30cm,BD=18cm,BC=20cm,∠BAC=75°,∠ABC=40°.

求:(1)∠ADE和∠AED的度数；(2)DE的长.

12．如图，在大小为4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C

在单位正方形的顶点上，请在图中画一个△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC

(不全等)，且点A1、B1、、C1都在单位正方形的顶点上。

※△ABC中，∠C=900，BC=8厘米，AC=6厘米，点P从点B出发，沿BC向点C以2厘米/秒的速度移动，点Q从点C出发，沿CA向点A以1厘米/秒的速度移动。如果P、Q分别从B、C同时出发：

（1）经过t秒时,△CPQ∽△CBA，求时间t

（2）经过多少秒时以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似,求时间t。

八、课后练习 

1．下列说法中，正确的是    (      )

  A．任意两个矩形形状相同                 B．任意两个菱形形状相同

  C．任意两个直角三角形相似               D．任意两个正五边形形状相同

2．已知△ABC∽△A1B1C1，且∠A=50°，∠B=95°，则∠C1的度数为     (      )

    A．50°            B．95°             C．35°         D．25°

3．下列各组图形中，相似的是     (      )

    A．(1)(2)(3)            B．(2)(3)(4)       C．(1)(3)(4)     D．(1)(2)(4)

4．下列给出的图形中，不是相似图形的是    (      )

    A．刚买的一双手套的左右两只         B．仅仅宽度不同的两块长方形木板

    C．一对羽毛球球拍                   D．复印出来的两个“喜”字

5．如图，有两个形状相同的星星图案，则x的值为    (      )

    A．8

    B．10

    C．12

    D．15

6．若△ABC∽△A′B′C′，且，则△ABC与△A′B′C′的相似比是_______．

7．如图，有三个矩形，其中形状相同的两个矩形是_________．

8．在下图右边的四个小狗中，与左边图中的小狗相似的是________．

9．找出两类形状相同的的图形_________、_________．

10．下面各组图形中，哪些是相似图形?哪些不是?

11．在右边的网格纸中描出左边图形的缩小图形．

12．如图，△ABC∽△ADE，AB=30 cm，BD=18 cm，BC=20 cm，∠BAC=75°，

∠ABC=40°． (1)求∠ADE和∠AED的度数．(2)求DE的长．

13．(1)如图(1)是用12个相似的直角三角形组成的图案，请你给它取一个名字．

(2)如图(2)、(3)是小明利用相似的正方形、正五边形组成的图案，你能否也用相似的图形设计出几个美丽的图案?最好再给它们分别取个名字．

课后练习参考答案

1．D   2．C   3．B  4．B   5．A   6．2   7．(1)与(3)  8．(3) 

9．答案不唯一，如两个等边三角形、两个正方形  10．(1)(3)是相似图形，(2)(4)不是

11．略  12．(1) ∠ADE=40°，∠AED=65°  (2)DE=8 cm

13．(1)答案不唯一，如成长的贝壳  (2)略