湖南省永州市2022届高三下学期第三次适应性考试（三模）数学试题+Word版含答案

    永州市2022年高考第三次适应性考试试卷

数学

命题人：李军（永州四中）张玉桂（永州四中）

陈诗跃（永州一中）

周海洋（双牌二中）钟华梁（宁远一中）

审题人：席俊雄（永州市教科院）

注意事项：

1．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效．

2．考试结束后，只交答题卡．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的更多全免费资源，关注公众号拾穗者的杂货铺.

1. 已知i为虚数单位，复数在复平面内对应点的坐标为，则（）

A. 1 B. 2

C.  D.

2. 设集合，，则（）

A.  B.

C.  D.

3. “”是“”的（）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 某新能源汽车销售公司统计了某款汽车行驶里程(单位：万千米)对应维修保养费用(单位：万元)的四组数据，这四组数据如下表：

若用最小二乘法求得回归直线方程为，则估计该款汽车行驶里程为6万千米时的维修保养费是（）

A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元

5. 若，则（）

A. 56 B. 28 C.  D.

6. 中国古代数学瑰宝《九章算术》记录形似“楔体”的“羡除”．所谓“羡除”，就是三个侧面都是梯形或平行四边形（其中最多只有一个平行四边形），两个不平行对面是三角形的五面体．如图，在羡除中，四边形是边长为2的正方形，，均为正三角形，平面，且，则羡除的体积为（）

A.  B.

C.  D.

7. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，为坐标原点，点在双曲线的右支上，（为双曲线的半焦距），直线与双曲线右支交于另一个点，，则双曲线的离心率为（）

A.  B.  C.  D.

8. 在正四棱柱中，，为的中点，点为线段上的动点，则三棱锥的外接球表面积的最大值为（）

A.  B.  C.  D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9. 已知等差数列是递减数列，为其前项和，且，则（）

A.  B.

C.  D. 、均为的最大值

10. 已知事件与事件为互斥事件，是事件的对立事件，是事件的对立事件，若，，则（）

A.  B.

C.  D. 事件与事件不独立

11. 已知函数，则（）

A. 图象关于直线对称

B. 在上为减函数

C. 有4个零点

D. ，使

12. 已知抛物线:与圆:，点抛物线上，点在圆上，点，则（）

A. 的最小值为

B. 最大值为

C. 当最大时，四边形的面积为

D. 若的中点也在圆上，则点的纵坐标的取值范围为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知，则＝________.

14. 已知非零向量，满足，，则与夹角为__________．

15. 已知直线:，函数，若存在切线与关于直线对称，则__________．

16. 已知函数，若在内单调且有一个零点，则的取值范围是__________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 从①，②这两个条件中选一个，补充在下面问题中，并解答.

已知的内角，，的对边分别为，，，且 .

（1）求的值；

（2）若外接圆半径为，求的最大值.(注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答记分)

19. 某游乐场开展摸球有奖活动，在一个不透明的盒子中放入大小相同的10个小球，其中红球4个，黑球6个，游客花10元钱，就可以参加一次摸球有奖活动，从盒子中一次随机摸取4个小球，规定摸取到两个或两个以上的红球就中奖.根据摸取到的红球个数，设立如下的中奖等级：

（1）求游客在一次摸球有奖活动中中奖的概率；

（2）若游乐场规定：在一次摸球有奖活动中，游客中三等奖，可获得奖金15元；中二等奖，可获得奖金20元；中一等奖，可获得奖金200元.请从游乐场获利的角度，分析此次摸球有奖活动的合理性.

21. 如图，在三棱柱中，.

（1）求证：；

（2）若，，点满足，求二面角的余弦值.

23. 已知各项均为正数的数列满足，，其中是数列的前项和.

（1）求数列通项公式；

（2）在和中插入个相同的数构成一个新数列：．求的前90项和．

25. 已知椭圆:的焦距为2，点在椭圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）设，是椭圆上的两个动点，为坐标原点，且直线，的倾斜角互补，求面积的最大值.

27. 已知函数.

（1）求的极值；

（2）若时，恒成立，求实数的取值范围．

【1题答案】

【答案】B

【2题答案】

【答案】C

【3题答案】

【答案】B

【4题答案】

【答案】A

【5题答案】

【答案】D

【6题答案】

【答案】B

【7题答案】

【答案】D

【8题答案】

【答案】C

【9题答案】

【答案】BD

【10题答案】

【答案】ABD

【11题答案】

【答案】AB

【12题答案】

【答案】ACD

【13题答案】

【答案】

【14题答案】

【答案】##

【15题答案】

【答案】

【16题答案】

【答案】

【17题答案】

【答案】（1）

（2）6

【小问1详解】

若选①：由，得，

由余弦定理得：，

又因为，所以

若选②：由，得

即，故

又因为,所以，所以，所以

【小问2详解】

由正弦定理得:，即，解得，

又由余弦定理得：，即

所以，当且仅当“”时取等号.  

所以的最大值为6.

【19题答案】

【答案】（1）

（2）答案见解析

【小问1详解】

解：设一次摸球有奖活动中中奖为事件，则事件包含的基本事件有：,  基本事件总数为：，

∴∴游客在一次摸球有奖活动中中奖的概率为.

【小问2详解】

解：设游客在一次摸球有奖活动中获得的奖金为，可以取0，15，20，200，

故的分布列为

的数学期望

由于一次摸球有奖活动中支付给游客奖金的均值，

所以游乐场可获利，故此次摸球有奖活动合理.

【21题答案】

【小问1详解】

连接交于点，连接，

四边形为菱形，，为中点，

又，，

，平面，平面，

又平面，.

【小问2详解】

，，，，

在中，，，

在中，有，，

又，平面，平面，

则以为坐标原点，为轴可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，

，

设，则，，

，，解得：，，，，

设平面的法向量，

，令，解得：，，；

又平面，则平面的一个法向量为，

，

又二面角为锐二面角，二面角的余弦值为.

【23题答案】

【答案】（1）

（2）

【小问1详解】

解：当时，，当时，递推得，

∴，，因为数列各项均为正数，所以，又∵ ，

∴数列为等差数列，故.

【小问2详解】

解：在数列中，在之前的所有项数为

故时，当时，数列中，之前的所有项数恰好为90 

∴

令，则

∴

∴,        

∴.

【25题答案】

【答案】（1）

（2）

【小问1详解】

解：设椭圆的左、右焦点分别为、，因为焦距为2，

所以且轴，

故

又由于，所以解得，

故椭圆方程为；

【小问2详解】

解：设，，直线的方程为，

由于直线，的倾斜角互补，故

联立方程，整理得，

故，即

且，

，

所以，故的方程为，且

所以弦长

原点到直线：的距离为，

所以

故当且仅当时，的面积的最大值为.

【27题答案】

【小问1详解】

解：函数的定义域为，，

当时，在恒成立，在单调递减，故无极值；

当时，令，则，

时，，在单调递减；

时，，在单调递增；

故在取极小值，且，无极大值

综上，当时，无极值；

当时，在取极小值，且，无极大值.

【小问2详解】

解：∵，∴，即且

∴且，即，为的两个零点

∴由（1）知，当时，在取极小值，且，故

又∵，∴，

又∵恒成立，∴对任意恒成立，

∵，∴，且

∴对任意恒成立

∴令，则，对任意恒成立，则.

∴对任意恒成立

令，则

当，即时，恒成立

故在为单调递增函数，

又∵，∴对恒成立

当，即时，为单调增函数，

又∵，，∴使，

当时，，故在单调递减

∴当时，，不合题意

综上，实数的取值范围为.