2021年黑龙江省各市中考数学真题汇编——专题7图形的变化

这是一份2021年黑龙江省各市中考数学真题汇编——专题7图形的变化，共47页。
2021年黑龙江各市中考数学真题汇编——专题7图形的变化
一．选择题（共17小题）
1．（2021•牡丹江）如图，正方形ABCD的边长为3，E为BC边上一点，BE＝1．将正方形沿GF折叠，使点A恰好与点E重合，连接AF，EF，GE，则四边形AGEF的面积为（　　）

A．210 B．25 C．6 D．5
2．（2021•牡丹江）如图，是由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，则搭成该几何体的小正方体的个数最少是（　　）

A．6 B．3 C．4 D．5
3．（2021•牡丹江）如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝27，将△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（　　）

A．（4，2）或（﹣4，2） B．（23，﹣4）或（﹣23，4）
C．（﹣23，2）或（23，﹣2） D．（2，﹣23）或（﹣2，23）
4．（2021•哈尔滨）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2021•哈尔滨）八个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（　　）

A． B． C． D．
6．（2021•黑龙江）如图，矩形ABCD的边CD上有一点E，∠DAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，将△AEF绕着点F顺时针旋转，使得点A的对应点M落在EF上，点E恰好落在点B处，连接BE．下列结论：①BM⊥AE；②四边形EFBC是正方形；③∠EBM＝30°；④S四边形BCEM：S△BFM＝（22+1）：1．其中结论正确的序号是（　　）

A．①② B．①②③ C．①②④ D．③④
7．（2021•黑龙江）由若干个完全相同的小立方块搭成的几何体的左视图和俯视图如图所示，则搭成该几何体所用的小立方块的个数可能是（　　）

A．4个 B．5个 C．7个 D．8个
8．（2021•黑龙江）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB的延长线上，连接CD，若AB＝2BD，tan∠BCD=23，则ACBC的值为（　　）

A．1 B．2 C．12 D．32
9．（2021•绥化）已知在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝75°，AB＝5，点E为边AC上的动点，点F为边AB上的动点，则线段FE+EB的最小值是（　　）

A．532 B．52 C．5 D．3
10．（2021•绥化）如图所示，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝6，点E、F分别是矩形的边AD、BC上的动点，将该纸片沿直线EF折叠．使点B落在矩形边AD上，对应点记为点G，点A落在M处，连接EF、BG、BE，EF与BG交于点N．则下列结论成立的是（　　）
①BN＝AB；
②当点G与点D重合时，EF=352；
③△GNF的面积S的取值范围是94≤S≤72；
④当CF=52时，S△MEG=3134．

A．①③ B．③④ C．②③ D．②④
11．（2021•大庆）一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小正方块的个数，能正确表示该几何体的主视图的是（　　）

A． B． C． D．
12．（2021•大庆）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
13．（2021•大庆）如图，F是线段CD上除端点外的一点，将△ADF绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得到△ABE．连接EF交AB于点H．下列结论正确的是（　　）

A．∠EAF＝120° B．AE：EF＝1：3
C．AF2＝EH•EF D．EB：AD＝EH：HF
14．（2021•绥化）现实世界中，对称无处不在，在美术字中，有些汉字也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
15．（2021•黑龙江）如图是由5个小正方体组合成的几何体，则该几何体的主视图是（　　）

A． B．
C． D．
16．（2021•齐齐哈尔）下面四个图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
17．（2021•齐齐哈尔）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最多为（　　）

A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
二．填空题（共5小题）
18．（2021•牡丹江）如图，矩形ABCD中，AD=2AB，点E在BC边上，且AE＝AD，DF⊥AE于点F，连接DE，BF，BF的延长线交DE于点O，交CD于点G．以下结论：
①AF＝DC，②OF：BF＝CE：CG，③S△BCG=2S△DFG，④图形中相似三角形有6对，则正确结论的序号是 　 　．

19．（2021•大庆）已知x2=y3=z4，则x2+xyyz=　 　．
20．（2021•黑龙江）在矩形ABCD中，AB＝2cm，将矩形ABCD沿某直线折叠，使点B与点D重合，折痕与直线AD交于点E，且DE＝3cm，则矩形ABCD的面积为 　 　cm2．
21．（2021•大庆）已知，如图①，若AD是△ABC中∠BAC的内角平分线，通过证明可得ABAC=BDCD，同理，若AE是△ABC中∠BAC的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：
如图②，在△ABC中，BD＝2，CD＝3，AD是△ABC的内角平分线，则△ABC的BC边上的中线长l的取值范围是 　 　．

22．（2021•青海）如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值是 　 　．

三．解答题（共10小题）
23．（2021•牡丹江）Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝17，BC＝8，矩形CDEF的另三个顶点D，E，F均在Rt△ABC的边上，且邻边之比为1：2，画出符合题意的图形，并直接写出矩形周长的值．
24．（2021•哈尔滨）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点和线段DE的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后得到△MNP（点A的对应点是点M，点B的对应点是点N，点C的对应点是点P），请画出△MNP；
（2）在方格纸中画出以DE为斜边的等腰直角三角形DEF（点F在小正方形的顶点上）．连接FP，请直接写出线段FP的长．

25．（2021•黑龙江）已知∠ABC＝60°，点F在直线BC上，以AF为边作等边三角形AFE，过点E作ED⊥AB于点D．请解答下列问题：

（1）如图①，求证：AB+BF＝2BD；
（2）如图②、图③，线段AB，BF，BD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明．
26．（2021•黑龙江）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位似比为2：1，并写出点A1的坐标；
（2）作出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的图形△A2B2C；
（3）在（2）的条件下，求出点B所经过的路径长．

27．（2021•大庆）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，点E为线段AB的三等分点（靠近点A），点F为线段CD的三等分点（靠近点C），且CE⊥AB．将△BCE沿CE对折，BC边与AD边交于点G，且DC＝DG．
（1）证明：四边形AECF为矩形；
（2）求四边形AECG的面积．

28．（2021•黑龙江）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABO的三个顶点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，3），O（0，0）．
（1）画出△ABO关于x轴对称的△A1B1O，并写出点A1的坐标；
（2）画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2O，并写出点A2的坐标；
（3）在（2）的条件下，求点A旋转到点A2所经过的路径长（结果保留π）．

29．（2021•绥化）一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为△ABC，点B、C、D在同一条直线上，测得∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝32cm，∠BDE＝75°，其中一段支撑杆CD＝84cm，另一段支撑杆DE＝70cm．求支撑杆上的点E到水平地面的距离EF是多少？（用四舍五入法对结果取整数，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，3≈1.732）

30．（2021•黑龙江）在等腰△ADE中，AE＝DE，△ABC是直角三角形，∠CAB＝90°，∠ABC=12∠AED，连接CD、BD，点F是BD的中点，连接EF．
（1）当∠EAD＝45°，点B在边AE上时，如图①所示，求证：EF=12CD；
（2）当∠EAD＝45°，把△ABC绕点A逆时针旋转，顶点B落在边AD上时，如图②所示，当∠EAD＝60°，点B在边AE上时，如图③所示，猜想图②、图③中线段EF和CD又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

31．（2021•大庆）小明在A点测得C点在A点的北偏西75°方向，并由A点向南偏西45°方向行走到达B点测得C点在B点的北偏西45°方向，继续向正西方向行走2km后到达D点，测得C点在D点的北偏东22.5°方向，求A，C两点之间的距离．（结果保留0.1km．参数数据3≈1.732）

32．（2021•黑龙江）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABO的三个顶点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，3），O（0，0）．
（1）画出△ABO关于x轴对称的△A1B1O，并写出点B1的坐标；
（2）画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2O，并写出点B2的坐标；
（3）在（2）的条件下，求点B旋转到点B2所经过的路径长（结果保留π）．


2021年黑龙江各市中考数学真题汇编——专题7图形的变化
参考答案与试题解析
一．选择题（共17小题）
1．（2021•牡丹江）如图，正方形ABCD的边长为3，E为BC边上一点，BE＝1．将正方形沿GF折叠，使点A恰好与点E重合，连接AF，EF，GE，则四边形AGEF的面积为（　　）

A．210 B．25 C．6 D．5
【解答】解：设DF＝m，AG＝n，
∵正方形的边长为3，
∴CF＝3﹣m，BG＝3﹣n，
由折叠可得，AF＝EF，AG＝GE，
在Rt△ADF中，AF2＝DF2+DA2，
即AF2＝m2+9，
在Rt△EFC中，EF2＝EC2+CF2，
∵BE＝1，
∴EC＝2，
∴EF2＝4+（3﹣m）2，
∴m2+9＝4+（3﹣m）2，
∴m=23，
在Rt△BEG中，GE2＝BG2+BE2，
∴n2＝（3﹣n）2+1，
∴n=53，
∴S△GEB=12×1×（3−53）=23，
S△ADF=12×23×3＝1，
S△CEF=12×2×（3−23）=73，
∴S四边形AGEF＝S正方形ABCD﹣S△GEB﹣S△ADF﹣S△CEF＝9−23−1−73=5，
故选：D．
2．（2021•牡丹江）如图，是由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，则搭成该几何体的小正方体的个数最少是（　　）

A．6 B．3 C．4 D．5
【解答】解：仔细观察物体的主视图和俯视图可知：该几何体的下面最少要有4个小正方体，上面最少要有1个小正方体，
故该几何体最少有5个小正方体组成．
故选：D．
3．（2021•牡丹江）如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝27，将△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（　　）

A．（4，2）或（﹣4，2） B．（23，﹣4）或（﹣23，4）
C．（﹣23，2）或（23，﹣2） D．（2，﹣23）或（﹣2，23）
【解答】解：如图，过点A作AH⊥OB于H，设OH＝m，则BH＝6﹣m，

∵AH2＝OA2﹣OH2＝AB2﹣BH2，
∴42﹣m2＝（27）2﹣（6﹣m）2，
∴m＝2，
∴AH=42−22=23，
∴A（2，23），
若将△AOB绕原点O顺时针旋转90°，则旋转后点A的对应点A′（23，﹣2），
若将△AOB绕原点O逆时针旋转90°，则旋转后点A的对应点A′（﹣23，2），
故选：C．
4．（2021•哈尔滨）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：∵DE∥BC，
∴ADAB=AEAC，
∵AD＝2，BD＝3，AC＝10，
∴22+3=AE10，
∴AE＝4．
故选：B．
5．（2021•哈尔滨）八个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：从正面看，共有三列，每列的小正方形个数分别为2、1、2，
故选：C．
6．（2021•黑龙江）如图，矩形ABCD的边CD上有一点E，∠DAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，将△AEF绕着点F顺时针旋转，使得点A的对应点M落在EF上，点E恰好落在点B处，连接BE．下列结论：①BM⊥AE；②四边形EFBC是正方形；③∠EBM＝30°；④S四边形BCEM：S△BFM＝（22+1）：1．其中结论正确的序号是（　　）

A．①② B．①②③ C．①②④ D．③④
【解答】解：如图，延长BM交AE于N，连接AM，

∵EF⊥AB，
∴∠AFE＝∠EFB＝90°，
∵∠DAE＝22.5°，
∴∠EAF＝90°﹣∠DAE＝67.5°，
∵将△AEF绕着点F顺时针旋转得△MFB，
∴MF＝AF，FB＝FE，∠FBM＝∠AEF＝∠DAE＝22.5°，
∴∠EAF+∠FBM＝90°，
∴∠ANB＝90°，
∴BM⊥AE，故①正确；
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠C＝90°，
∵∠EFB＝90°，
∴四边形EFBC是矩形，
又∵EF＝BF，
∴矩形EFBC是正方形，故②正确；
∴∠EBF＝45°，
∴∠EBM＝∠EBF﹣∠FBM
＝45°﹣22.5°
＝22.5°，
故③错误；
∵∠AFM＝90°，AF＝FM，
∴∠MAF＝45°，AM=2FM，
∴∠EAM＝67.5°﹣45°＝22.5°，
∴∠AEM＝∠MAE，
∴EM＝AM=2FM，
∴EF＝EM+FM＝（2+1）FM，
∴S△EFB：S△BFM＝（2+1 ）：1，
又∵四边形BCEF是正方形，
∴S四边形BCEF＝2S△EFB，
∴S四边形BCEM：S△BFM＝（22+1）：1，
故④正确，
∴正确的是：①②④，
故选：C．
7．（2021•黑龙江）由若干个完全相同的小立方块搭成的几何体的左视图和俯视图如图所示，则搭成该几何体所用的小立方块的个数可能是（　　）

A．4个 B．5个 C．7个 D．8个
【解答】解：从左视图看第一列2个正方形，结合俯视图可知上面一层有1或2个正方体，左视图第二列1个正方形，结合俯视图可知下面一层有4个正方体，所以此几何体共有5或6个正方体．
故选：B．
8．（2021•黑龙江）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB的延长线上，连接CD，若AB＝2BD，tan∠BCD=23，则ACBC的值为（　　）

A．1 B．2 C．12 D．32
【解答】解：过点D作DM⊥BC，交CB的延长线于点M，
∵∠ACB＝∠DMB＝90°，∠ABC＝∠DBM，
∴△ABC∽△DBM，
∴BDAB=BMBC=DMAC，
∵AB＝2BD，
∴BDAB=BMBC=DMAC=12，
在Rt△CDM中，
由于tan∠MCD=23=DMCM，设DM＝2k，则CM＝3k，
又∵BMBC=12=DMAC，
∴BC＝2k，AC＝4k，
∴ACBC=4k2k=2，
故选：B．

9．（2021•绥化）已知在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝75°，AB＝5，点E为边AC上的动点，点F为边AB上的动点，则线段FE+EB的最小值是（　　）

A．532 B．52 C．5 D．3
【解答】解：作F关于AC的对称点F'，延长AF'、BC交于点B'，
∴∠BAB'＝30°，EF＝EF'，
∴FE+EB＝BE+EF'，
∴当B、E、F'共线且与AB'垂直时，BE+EF'长度最小，即求BD的长，
即作BD⊥AB'于D，
在△ABD中，BD=12AB=52，

故选：B．
10．（2021•绥化）如图所示，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝6，点E、F分别是矩形的边AD、BC上的动点，将该纸片沿直线EF折叠．使点B落在矩形边AD上，对应点记为点G，点A落在M处，连接EF、BG、BE，EF与BG交于点N．则下列结论成立的是（　　）
①BN＝AB；
②当点G与点D重合时，EF=352；
③△GNF的面积S的取值范围是94≤S≤72；
④当CF=52时，S△MEG=3134．

A．①③ B．③④ C．②③ D．②④
【解答】解：∵AB＝3是定值，BN=12BG，BG的长是变化的，
∴BN的值也是变化的，
∴BN与AB不一定相等，故①错误．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB，
由翻折的性质可知FB＝FG，∠EFB＝∠EFG，
∴∠GEF＝∠EFG，
∴GE＝GF＝BF，
∵GE∥BF，
∴四边形BEGF是平行四边形，
∵FB＝FG，
∴四边形BEGF是菱形，
∴BE＝EG，
当D，G重合时，设BE＝DE＝x，则有x2＝32+（6﹣x）2，
∴x=154，
∵∠A＝90°，AB＝3，AD＝6，
∴BD=AB2+AD2=32+62=35，
∴S菱形BEDF＝DE•AB=12•BD•EF，
∴EF=2×3×15435=352，故②正确，
当D，G重合时，△GNF的面积最大，最大值=14×154×3=4516，
∴S△GNF≤4516，故③错误，
如图2中，当CF=52时，BF＝BE＝EG＝FG＝BC﹣CF＝6−52=72，
∴AE＝EM=BE2−AB2=(72)2−32=132，
∴S△MEG=12•ME•GM=12×132×3=3134，故④正确．
故选：D．


11．（2021•大庆）一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小正方块的个数，能正确表示该几何体的主视图的是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：由所给图可知，这个几何体从正面看共有三列，左侧第一列最多有4块小正方体，中间一列最多有2块小正方体，最右边一列有3块小正方体，
所以主视图为B．
故选：B．
12．（2021•大庆）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A：是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A选项不符合题意；
B：是中心对称图形，但不是轴对称图形，故B选项符合题意；
C：既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项不符合题意；
D：是轴对称图形，但不是中心对称图形，故D选项不符合题意；
故选：B．
13．（2021•大庆）如图，F是线段CD上除端点外的一点，将△ADF绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得到△ABE．连接EF交AB于点H．下列结论正确的是（　　）

A．∠EAF＝120° B．AE：EF＝1：3
C．AF2＝EH•EF D．EB：AD＝EH：HF
【解答】解：∵△ADF绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得到△ABE，
∴△ABE≌△ADF，
∴∠EAB＝∠DAF，
∴∠EAF＝∠BAE+∠FAB＝90°＝∠DAF+∠FAB＝90°，
故A不正确；
∵∠EAF＝90°，AE＝AF，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴EF=2AE，
∴AE：EF＝1：2，
故B不正确；
若AF2＝EH•EF成立，
∵AE：EF＝1：2，
∴EH=22AF，
∴EH=12EF，
即H是EF的中点，H不一定是EF的中点，
故C不正确；
∵AB∥CD，
∴EB：BC＝EH：HF，
∵BC＝AD，
∴EB：AD＝EH：HF，
故D正确；
故选：D．
14．（2021•绥化）现实世界中，对称无处不在，在美术字中，有些汉字也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A．是轴对称图形，故本选项符合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
故选：A．
15．（2021•黑龙江）如图是由5个小正方体组合成的几何体，则该几何体的主视图是（　　）

A． B．
C． D．
【解答】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形．
故选：C．
16．（2021•齐齐哈尔）下面四个图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
17．（2021•齐齐哈尔）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最多为（　　）

A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
【解答】解：根据题意得：
，
则搭成该几何体的小正方体最多是1+1+1+2+2＝7（个）．
故选：A．
二．填空题（共5小题）
18．（2021•牡丹江）如图，矩形ABCD中，AD=2AB，点E在BC边上，且AE＝AD，DF⊥AE于点F，连接DE，BF，BF的延长线交DE于点O，交CD于点G．以下结论：
①AF＝DC，②OF：BF＝CE：CG，③S△BCG=2S△DFG，④图形中相似三角形有6对，则正确结论的序号是 　①②　．

【解答】解：①∵AE＝AD，AD=2AB，
∴AE=2AB，
即△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAE＝45°，
∴∠DAF＝90°﹣45°＝45°，
即△AFD为等腰直角三角形，
∴AF＝DF，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC，
∵AE＝AD，
∴∠AED＝∠ADE，
∴∠AED＝∠DEC，
又∵∠DFE＝∠DCE＝90°，DE＝DE，
∴△DFE≌△DCE（AAS），
∴DF＝DC，
即AF＝DC，
故①正确；
②由①知△AFD为等腰直角三角形，
如图1，作FH⊥AD于H，连接CF，
∴点H是AD的中点，
∴点F是BG的中点，
即BF＝FG＝FC，
∵∠AEB＝45°，
∴∠EFC＝∠ECF=12∠AEB＝22.5°，
∴∠FCG＝∠FGC＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∵∠OFE＝∠AFB=12（180°﹣45°）＝67.5°，∠OEF＝90°﹣∠EDF＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠FCG＝∠FGC＝∠OFE＝∠OEF，
∴△GFC∽△FOE，
∴OF：FC＝EF：CG，
又∵FC＝BF，EF＝CE，
∴OF：BF＝CE：CG，
即②正确；
③令AB＝1，则AD＝AE＝BC=2，
∴CE=2−1，
∵∠GBC＝∠EDC，∠DCE＝∠BCG＝90°，
∴△BCG∽△DCE，
∴BCCG=DCCE，
即2CG=12−1，
∴CG＝2−2，
∴DG＝1﹣（2−2）=2−1，
∴CG=2DG，
∴S△BCG=2S△DFG不成立，
即③不正确；
④根据角相等可以得出图形中相似三角形如下：△ABE∽△AFD，这是1对；△ABF∽△OEF∽△ADE，可组成3对；△BCG∽△DCE∽△DFE，又可组成3对；△BEF∽△BOE∽△DOG∽△FDG，还可组成6对，
综上，图形中相似三角形有13对，故④不正确．
故答案为：①②．

19．（2021•大庆）已知x2=y3=z4，则x2+xyyz=　56　．
【解答】解：设x2=y3=z4=k，
∴x＝2k，y＝3k，z＝4k，
∴x2+xyyz=4k2+2k⋅3k3k⋅4k=10k212k2=56，
故答案为56．
20．（2021•黑龙江）在矩形ABCD中，AB＝2cm，将矩形ABCD沿某直线折叠，使点B与点D重合，折痕与直线AD交于点E，且DE＝3cm，则矩形ABCD的面积为 　（25+6）或（6﹣25）　cm2．
【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，
∴BE＝ED＝3cm．
在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2．
∴22+AE2＝32，
解得AE=5cm．
∴AD＝AE+ED＝（5+3）cm或AD＝ED﹣AE＝（3−5）cm
∴矩形ABCD的面积为为AD•AB＝（25+6）cm2或（6﹣25）cm2．
故答案为（25+6）或（6﹣25）．

21．（2021•大庆）已知，如图①，若AD是△ABC中∠BAC的内角平分线，通过证明可得ABAC=BDCD，同理，若AE是△ABC中∠BAC的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：
如图②，在△ABC中，BD＝2，CD＝3，AD是△ABC的内角平分线，则△ABC的BC边上的中线长l的取值范围是 　12＜l＜252　．

【解答】解：∵AD是△ABC的内角平分线，
∴ABAC=BDCD，
∵BD＝2，CD＝3，
∴ABAC=23，
作∠BAC的外角平分线AE，与CB的延长线交于点E，
∴ABAC=BECE，
∴BE5+BE=23，
∴BE＝10，
∴DE＝12，
∵AD是∠BAC的角平分线，AE是∠BAC外角平分线
∴∠EAD＝90°，
∴点A在以DE为直径的圆上运动，
取BC的中点为F，
∴DF＜AF＜EF，
∴12＜l＜252，
故答案为：12＜l＜252．

22．（2021•青海）如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值是 　10　．

【解答】解：∵正方形是轴对称图形，点B与点D是关于直线AC为对称轴的对称点，
∴连接BN，BD，
∴BN＝ND，
∴DN+MN＝BN+MN，
连接BM交AC于点P，
∵点 N为AC上的动点，
由三角形两边和大于第三边，
知当点N运动到点P时，
BN+MN＝BP+PM＝BM，
BN+MN的最小值为BM的长度，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD＝8，CM＝8﹣2＝6，∠BCM＝90°，
∴BM=62+82=10，
∴DN+MN的最小值是10．
故答案为：10．

三．解答题（共10小题）
23．（2021•牡丹江）Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝17，BC＝8，矩形CDEF的另三个顶点D，E，F均在Rt△ABC的边上，且邻边之比为1：2，画出符合题意的图形，并直接写出矩形周长的值．
【解答】解：如图1，当CF＝2EF时，

∵∠C＝90°，AB＝17，BC＝8，
∴AC=AB2−BC2=289−64=15，
∵四边形CDEF是矩形，
∴EF∥BC，EF＝CD，CF＝DE，
∴△AEF∽△ACB，
∴EFBC=AFAC，
∴EF8=15−2EF15，
∴EF=12031，
∴CF=24031，
∴矩形CDEF的周长＝2（CF+EF）=72031；
如图2，当EF＝2CF时，

∵∠C＝90°，AB＝17，BC＝8，
∴AC=AB2−BC2=289−64=15，
∵四边形CDEF是矩形，
∴EF∥BC，EF＝CD，CF＝DE，
∴△AEF∽△ACB，
∴EFBC=AFAC，
∴EF8=15−12EF15，
∴EF=12019，
∴CF=6019
∴矩形CDEF的周长＝2（CF+EF）=36019；
综上所述：矩形CDEF的周长的值为72031或36019．
24．（2021•哈尔滨）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点和线段DE的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后得到△MNP（点A的对应点是点M，点B的对应点是点N，点C的对应点是点P），请画出△MNP；
（2）在方格纸中画出以DE为斜边的等腰直角三角形DEF（点F在小正方形的顶点上）．连接FP，请直接写出线段FP的长．

【解答】解：（1）如图，△MNP为所作；
（2）如图，△DEF为所作；
FP=12+22=5．

25．（2021•黑龙江）已知∠ABC＝60°，点F在直线BC上，以AF为边作等边三角形AFE，过点E作ED⊥AB于点D．请解答下列问题：

（1）如图①，求证：AB+BF＝2BD；
（2）如图②、图③，线段AB，BF，BD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明．
【解答】（1）证明：如图①中，连接BE，在BC的延长线上截取BT，使得BT＝BA，连接AT．

∵BA＝BT，∠ABT＝60°，
∴△ABT是等边三角形，
∵△ABT，△AEF是等边三角形，
∴AT＝AB，AF＝AE，∠TAB＝∠FAE＝60°，
∴∠TAF＝∠BAE，
在△ATF与△ABE中，
AT=AB∠TAF=∠BAEAF=AE，
∴△ATF≌△ABE（SAS），
∴TF＝BE，∠ATB＝∠ABE＝60°，
∵ED⊥AB，
∴∠DEB＝30°，
∴BD=12BE，
∴TF＝2BD，
∵BT＝AB，
∴AB+BF＝2BD．

（2）①如图②，结论：AB﹣BF＝2BD．
理由：连接BE，在BC的延长线上截取BT，使得BT＝BA，连接AT．

∵△ABT，△AEF是等边三角形，
∴AT＝AB，AF＝AE，∠TAB＝∠FAE＝60°，
∴∠TAF＝∠BAE，
在△ATF与△ABE中，
AT=AB∠TAF=∠BAEAF=AE，
∴△ATF≌△ABE（SAS），
∴TF＝BE，∠ATF＝∠ABE＝60°，
∴∠EBD＝60°，
∵ED⊥AB，
∴∠DEB＝30°，
∴BD=12BE，
∴TF＝2BD，
∵BT＝AB，
∴AB＝2BD，
∴AB﹣BF＝2BD．
②如图③，结论：BF﹣AB＝2BD．
理由：连接BE，在BC上截取BT，使得BT＝BA，连接AT．


∵△ABT，△AEF是等边三角形，
∴AT＝AB，AF＝AE，
∴∠TAF＝∠BAE，
在△ATF与△ABE中，
AT=AB∠TAF=∠BAEAF=AE，
∴△ATF≌△ABE（SAS），
∴TF＝BE，∠ATF＝∠ABE＝120°，
∴∠EBD＝60°
∵ED⊥AB，
∴∠DEB＝30°，
∴BD=12BE，
∴TF＝2BD，
∵BT＝AB，
∴BF﹣AB＝2BD
26．（2021•黑龙江）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位似比为2：1，并写出点A1的坐标；
（2）作出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的图形△A2B2C；
（3）在（2）的条件下，求出点B所经过的路径长．

【解答】解：（1）如图，△A1B1C为所作，点A1的坐标为（3，﹣3）；
（2）如图，△A2B2C为所作；

（3）CB=12+42=17，
所以点B所经过的路径长=90×π×17180=172π．
27．（2021•大庆）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，点E为线段AB的三等分点（靠近点A），点F为线段CD的三等分点（靠近点C），且CE⊥AB．将△BCE沿CE对折，BC边与AD边交于点G，且DC＝DG．
（1）证明：四边形AECF为矩形；
（2）求四边形AECG的面积．

【解答】（1）证明：∵ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵点E为线段AB的三等分点（靠近点A），
∴AE=13AB，
∵点F为线段CD的三等分点（靠近点C），
∴CF=13CD，
∴AE＝CF，
又∵AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵CE⊥AB，
∴四边形AECF为矩形；
（2）∵AB＝3，
∴AE＝CF＝1，BE＝2，
∵将△BCE沿CE对折得到△ECB'，
∴B'E＝BE＝2，
∴AB'＝1，
∵DC＝DG＝3，
∴∠DGC＝∠DCG，
∵BB'∥CD，
∴∠DCG＝∠B'，
∴∠B'＝∠B'GA，
∴AB'＝AG＝1，
∴DA＝BC＝B'C＝4，
∵AB'∥CD，
∴B'GCG=AGDG，
∴B'G4−B'G=13，
∴B'G＝1，
∴△AGB'是等边三角形，
在Rt△BCE中，BC＝4，BE＝2，
∴EC＝23，
∴S四边形AECG＝S△EB'C﹣S△AB'G=12×2×23−12×1×32=734．
28．（2021•黑龙江）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABO的三个顶点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，3），O（0，0）．
（1）画出△ABO关于x轴对称的△A1B1O，并写出点A1的坐标；
（2）画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2O，并写出点A2的坐标；
（3）在（2）的条件下，求点A旋转到点A2所经过的路径长（结果保留π）．

【解答】解：（1）如图，△A1B1O即为所求，点A1的坐标（﹣1，﹣3）；
（2）如图，△A2B2O即为所求，点A2的坐标（3，1）；
（3）点A旋转到点A2所经过的路径长=90π⋅10180=102π

29．（2021•绥化）一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为△ABC，点B、C、D在同一条直线上，测得∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝32cm，∠BDE＝75°，其中一段支撑杆CD＝84cm，另一段支撑杆DE＝70cm．求支撑杆上的点E到水平地面的距离EF是多少？（用四舍五入法对结果取整数，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，3≈1.732）

【解答】解：方法一：如图1，过点D作DM⊥EF于M，过点D作DN⊥BA交BA延长线于N，
在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝32（cm），
∴BC＝AB•cos60°＝32×12=16（cm），
∵DC＝84（cm），
∴BD＝DC+BC＝84+16＝100（cm），
∵∠F＝90°，∠DMF＝90°，
∴DM∥FN，
∴∠MDB＝∠ABC＝60°，
在Rt△BDN中，sin∠DBN＝sin60°=DNBD，
∴DN=32×100＝503（cm），
∵∠F＝90°，∠N＝90°，∠DMF＝90°，
∴四边形MFND是矩形，
∴DN＝MF＝503，
∵∠BDE＝75°，∠MDB＝60°，
∴∠EDM＝∠BDE﹣∠MDB＝75°﹣60°＝15°，
∵DE＝70（cm），
∴ME＝DE•sin∠EDM＝70×sin15°≈18.2（cm），
∴EF＝ME+MF＝503+18.2≈104.8≈105（cm），
答：支撑杆上的点E到水平地面的距离EF大约是105cm．
方法二：如图2，过点D作DH⊥BA交BA延长线于H，过点E作EG⊥HD延长线于G，
在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝32（cm），
∴BC＝AB•cos60°＝32×12=16（cm），
∵DC＝84（cm），
∴BD＝DC+BC＝84+16＝100（cm），
同方法一得，DH＝BD•sin60°＝503（cm），
∵在Rt△BDH中，∠DBH＝60°，
∴∠BDH＝30°，
∵∠BDE＝75°，
∴∠EDG＝180°﹣∠BDH﹣∠BDE＝180°﹣75°﹣30°＝75°，
∴∠DEG＝90°﹣75°＝15°，
∴DG＝DE•sin15°≈18.2（cm），
∴GH＝DG+DH＝18.2+503≈104.8≈105（cm），
∵∠F＝90°，∠H＝90°，∠G＝90°，
∴EF＝GH≈105（cm），
答：支撑杆上的点E到水平地面的距离EF大约是105cm．


30．（2021•黑龙江）在等腰△ADE中，AE＝DE，△ABC是直角三角形，∠CAB＝90°，∠ABC=12∠AED，连接CD、BD，点F是BD的中点，连接EF．
（1）当∠EAD＝45°，点B在边AE上时，如图①所示，求证：EF=12CD；
（2）当∠EAD＝45°，把△ABC绕点A逆时针旋转，顶点B落在边AD上时，如图②所示，当∠EAD＝60°，点B在边AE上时，如图③所示，猜想图②、图③中线段EF和CD又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

【解答】（1）证明：如图①中，

∵EA＝ED，∠EAD＝45°，
∴∠EAD＝∠EDA＝45°，
∴∠AED＝90°，
∵BF＝FD，
∴EF=12DB，
∵∠CAB＝90°，
∴∠CAD＝∠BAD＝45°，
∵∠ABC=12∠AED＝45°，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，
∴AC＝AB，
∴AD垂直平分线段BC，
∴DC＝DB，
∴EF=12CD．

（2）解：如图②中，结论：EF=12CD．

理由：取CD的中点T，连接AT，TF，ET，TE交AD于点O．
∵∠CAD＝90°，CT＝DT，
∴AT＝CT＝DT，
∵EA＝ED，
∴ET垂直平分线段AD，
∴AO＝OD，
∵∠AED＝90°，
∴OE＝OA＝OD，
∵CT＝TD，BF＝DF，
∴BC∥FT，
∴∠ABC＝∠OFT＝45°，
∵∠TOF＝90°，
∴∠OTF＝∠OFT＝45°，
∴OT＝OF，
∴AF＝ET，
∵FT＝TF，∠AFT＝∠ETF，FA＝TE，
∴△AFT≌△ETF（SAS），
∴EF＝AT，
∴EF=12CD．

如图③中，结论：EF=32CD．

理由：取AD的中点O，连接OF，OE．
∵EA＝ED，∠AED＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∵AO＝OD，
∴OE⊥AD，∠AEO＝∠OED＝30°，
∴tan∠AEO=AOOE=33，
∴OEAD=32，
∵∠ABC=12∠AED＝30°，∠BAC＝90°，
∴AB=3AC，
∵AO＝OD，BF＝FD，
∴OF=12AB，
∴OFAC=32，
∴OEAD=OFAC，
∵OF∥AB，
∴∠DOF＝∠DAB，
∵∠DOF+∠EOF＝90°，∠DAB+∠DAC＝90°，
∴∠EOF＝∠DAC，
∴△EOF∽△DAC，
∴EFCD=OEAD=32，
∴EF=32CD．
31．（2021•大庆）小明在A点测得C点在A点的北偏西75°方向，并由A点向南偏西45°方向行走到达B点测得C点在B点的北偏西45°方向，继续向正西方向行走2km后到达D点，测得C点在D点的北偏东22.5°方向，求A，C两点之间的距离．（结果保留0.1km．参数数据3≈1.732）

【解答】解：过点A作AM∥BD，过B点作BM⊥BD，AM与BM交于点M，
∵在A点测得C点在A点的北偏西75°方向，
∴∠NAC＝75°，
∴∠CAM＝15°，
∵由A点向南偏西45°方向行走到达B点，
∴∠MAB＝45°，
∴∠MBA＝45°，
∵C点在B点的北偏西45°方向，
∴∠CBM＝45°，
∴∠CBA＝90°，∠CBD＝45°，
∵C点在D点的北偏东22.5°方向，
∴∠PDC＝22.5°，
∴∠DCB＝67.5°，
∴∠BDC＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，
∴BD＝BC，
由题可得DB＝2km，
∴BC＝2km，
在Rt△ABC中，∠CAB＝15°+45°＝60°，BC＝2，
∴AC=433≈2.3km．

32．（2021•黑龙江）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABO的三个顶点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，3），O（0，0）．
（1）画出△ABO关于x轴对称的△A1B1O，并写出点B1的坐标；
（2）画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2O，并写出点B2的坐标；
（3）在（2）的条件下，求点B旋转到点B2所经过的路径长（结果保留π）．

【解答】解：（1）如图，△A1B1O即为所求，B1（﹣4，﹣3）．

（2）如图，△A2B2O即为所求，B2（3，4）．
（3）点B旋转到点B2所经过的路径长=90π⋅5180=5π2．