专题07 （基本立体图形）（解析版）-2021-2022学年高一数学下学期期末考试考前必刷题 （人教A版 2019必修二）

2020-2021高一下学期期末考试考前必刷题 07

（基本立体图形）

试卷满分：150分           考试时长：120分钟

注意事项：

1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.

2.答卷前务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.

3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰.超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1．下面四个几何体中，是棱台的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据棱柱、棱锥、棱台的结构特征，观察可得答案.

【详解】

A项中的几何体是棱柱．

B项中的几何体是棱锥；

D项中的几何体的棱AA′，BB′，CC′，DD′没有交于一点，则D项中的几何体不是棱台；

C项中的几何体是由一个棱锥被一个平行于底面的平面截去一个棱锥剩余的部分，符合棱台的定义，是棱台．

故选：C

2．如图，已知等腰三角形，是一个平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

利用斜二测画法，由直观图作出原图三角形，再利用三角形面积公式即可求解.

【详解】

因为是等腰直角三角形，，所以，

所以原平面图形为：

且，，

所以原平面图形的面积是，

故选：D

3．如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的轴截面对应的等腰三角形的底角是（    ）

A．30° B．45° C．60° D．90°

【答案】C

【分析】

由圆锥侧面展开所得扇形的弧长与底面周长相等可得圆锥母线与底面半径的数量关系，即可求轴截面底角的大小.

【详解】

若圆锥如下图所示，则侧面展开图半圆的半径，底面半径，

由题意知：，即，

∴轴截面对应等腰三角形的底角，

∴，

故选：C

4．某数学小组进行“数学建模”社会实践调查.他们在调查过程中将一实际问题建立起数学模型，现展示如下：四个形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口容器，如图所示.盛满液体后倒出一半，设剩余液体的高度从左到右依次为，，，.则它们的大小关系正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

可根据几何体的图形特征，结合题目，选择答案.

【详解】

观察图形可知体积减少一半后剩余就的高度最高为，最低为.

故选：A

【点睛】

本题考查旋转体的结构特征，属于基础题.

5．一个正三棱锥的底面边长是，高为，则它的斜高是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

画出正三棱锥的图像，得到底面正三角形的中心到正三角形的的距离，再利用勾股定理求斜高即可.

【详解】

正三棱锥的底面边长,

高，

所以底面正三角形的中心到正三角形的的距离为，

故正三棱锥的斜高；

故选：D.

6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的侧棱最长的是（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】C

【分析】

画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解棱锥最长的棱长即可．

【详解】

由三视图可知，该三棱锥的直观图如图所示，

取的中点，则，

易知，，

又底面，

所以，

从而最长棱为和，

所以最长的棱长为：．

故选：．

【点睛】

本题考查三视图求解几何体的几何量，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．关键在于根据三视图还原出几何体的形状，画出直观图，并分析几何体的结构特征.

7．给出下列四个命题：

①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；

②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；

③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥；

④长方体一定是正四棱柱．

其中正确的命题个数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

利用底面为菱形的直四棱柱可判断①的正误；利用底面为等腰梯形的直四棱柱可判断②的正误；利用正六棱锥的几何特征可判断③的正误；取长、宽、高都不相等的长方体可判断④的正误.

【详解】

对于①，底面是菱形（不是正方形）的直四棱柱满足条件，但它不是正棱柱，①错误；

对于②，底面为等腰梯形的直四棱柱的对角面全等，但它不是长方体，②错误；

对于③，如下图所示：

在正六棱锥中，六边形为正六边形，

设为正六边形的中心，则平面，

平面，则，

由正六边形的几何性质可知，为等边三角形，则，

，③错误；

对于④，在长方体中，若、、的长两两不相等，

则长方体不是正四棱柱，④错误.

故选：A.

8．小蚂蚁的家住在长方体的处，小蚂蚁的奶奶家住在处，三条棱长分别是，，，小蚂蚁从点出发，沿长方体的表面到小蚂蚁奶奶家的最短距离是（     ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据题意知蚂蚁所走的路线有三种情况，利用勾股定理能求出小蚂蚁从点出发，沿长方体的表面到小蚂蚁奶奶家的最短距离．

【详解】

解：根据题意知：

蚂蚁所走的路线有三种情况，如下图所示①②③，

由勾股定理得：

图①中，，

图②中，，

图③中，．

故小蚂蚁从点出发，沿长方体的表面到小蚂蚁奶奶家的最短距离是．

故选：D．

【点睛】

本题考查最短距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，属于中档题．

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9．已知圆锥的顶点为，母线长为2，底面半径为，，为底面圆周上两个动点，则下列说法正确的是

A．圆锥的高为1 B．三角形为等边三角形

C．三角形面积的最大值为 D．直线与圆锥底面所成角的大小为

【答案】AD

【分析】

根据圆锥的性质判断各选项．

【详解】

由题意圆锥的高为，A正确；

中是母线长，是底面圆的一条弦，与不一定相等，B错；

当是轴截面时，，，则，当在底面圆上运动时，，当且仅当时取等号．即面积最大值为2．C错；

设底面圆圆心为，则为与底面所成的角，易知，D正确．

故选：AD．

【点睛】

本题考查圆锥的性质，圆锥的轴截面是等腰三角形，腰即为圆锥的母线，底为底面直径，轴截面的高即为圆锥的高.

10．下列命题中正确的有

A．空间内三点确定一个平面

B．棱柱的侧面一定是平行四边形

C．分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上

D．一条直线与三角形的两边都相交，则这条直线必在三角形所在的平面内

【答案】BC

【分析】

利用平面的定义，棱柱的定义，对选项逐一判断即可.

【详解】

对于A选项，要强调该三点不在同一直线上，故A错误；

对于B选项，由棱柱的定义可知，其侧面一定是平行四边形，故B正确；

对于C选项，可用反证法证明，故C正确；

对于D选项，要强调该直线不经过给定两边的交点，故D错误.

故选：BC.

【点睛】

本题考查平面的基本性质及其推论的应用，考查棱柱的定义，属于基础题.

11．长方体的长、宽、高分别为3，2，1，则（    ）

A．长方体的表面积为20

B．长方体的体积为6

C．沿长方体的表面从A到的最短距离为

D．沿长方体的表面从A到的最短距离为

【答案】BC

【分析】

由题意，可利用柱体体积公式和多面体表面积公式进行计算，沿表面最短距离可将临近两个面侧面展开图去计算，即可求解正确答案.

【详解】

长方体的表面积为，A错误.长方体的体积为，B正确.如图（1）所示，长方体中，，，.求表面上最短（长）距离可把几何体展开成平面图形，如图（2）所示，将侧面和侧面展开，

则有，即经过侧面和侧面时的最短距离是；如图（3）所示，将侧面和底面展开，则有，即经过侧面和底面时的最短距离是；如图（4）所示，将侧面和底面展开，

则有，即经过侧面和底面时的最短距离是.因为，所以沿长方体表面由A到的最短距离是，C正确，D不正确.

故选：BC.

【点睛】

本题考查长方体体积公式、表面积公式和沿表面的最短距离，考查空间想象能力，属于基础题.

12．如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器一边于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论，其中正确的命题有（    ）

A．没有水的部分始终呈棱柱形

B．水面所在四边形的面积为定值

C．随着容器倾斜度的不同，始终与水面所在平面平行

D．当容器倾斜如图（3）所示时，为定值

【答案】AD

【分析】

想象容器倾斜过程中，水面形状（注意始终在桌面上），可得结论．

【详解】

由于始终在桌面上，因此倾斜过程中，没有水的部分，是以左右两侧的面为底面的棱柱，A正确；

图（2）中水面面积比（1）中水面面积大，B错；

图（3）中与水面就不平行，C错；

图（3）中，水体积不变，因此面积不变，从而为定值，D正确．

故选：AD．

【点睛】

本题考查空间线面的位置关系，考查棱柱的概念，考查学生的空间想象能力，属于中档题．

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13．如果用半径为的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是___________.

【答案】3

【分析】先求半圆的弧长，就是圆锥的底面周长，求出底面圆的半径，然后利用勾股定理求出圆锥的高.

【详解】半径为的半圆弧长为，

圆锥的底面圆的周长为，

圆锥的底面半径为：，所以圆锥的高：，

故答案为：3.

14．若正三棱锥的侧棱长为8，底面边长为4，，分别为，上的动点（如图），则截面的周长最小值为______．

【答案】11

【分析】将正三棱锥的侧面沿AB剪开，然后展开即为所求，然后利用相似，分别求得BE，EF，即可.

【详解】正三棱锥的侧面展开图如图，

由平面几何知识可得，

所以，

所以BE=BC=4，，

所以．即，

所以，

所以，

又，

解得．

所以截面的周长最小值为：．

故答案为：11

15．正方体中，棱长为2，E是线段上的动点，则的最小值是_______．

【答案】

【分析】在正方体中，由图形可知，且当重合时，等号同时成立，即可求解.

【详解】如图，

取的中点为P,

连接，

则由，知，

, ,

所以，

所以，

在正方体中，棱长为2，

所以,

故当E在线段上运动，与重合时，有最小值

【点睛】关键点点睛：根据图象可知，当E在线段上运动时，垂线段最短，可得，同理，当E在线段上运动时，，且当与重合时等号同时成立.

16．如图，圆锥的底面直径，母线长，点在母线上，且，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点到达点，则这只蚂蚁爬行的最短距离是______．

【答案】

【分析】蚂蚁爬行距离最短，即将圆锥侧面展开后A到C的直线距离，根据已知条件、余弦定理可求出最短距离.

【详解】圆锥的侧面展开图为半径为3的扇形，弧长为，

∴，则，

由余弦定理可知，．

故答案为：．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17．画出图中水平放置的四边形的直观图.

【答案】图见解析.

【分析】在四边形中，过作出轴的垂直确定坐标，进而利用斜二测画法画出直观图.

【详解】由斜二测画法：纵向减半，横向不变；即可知A、C在对应点，而B、D对应点位置不变，如下图示：

18．已知球的半径为5.

（1）求球的表面积；

（2）若球有两个半径分别为3和4的平行截面，求这两个截面之间的距离.

【答案】（1）；（2）1或7.

【分析】（1）利用球的表面积公式计算即可；

（2）先求球心到两个截面的距离，再计算即可.

【详解】解：（1）因为球的半径为，所以球的表面积为.

（2）设两个半径分别为和的平行截面的圆心分别为和，

所以，

所以，

所以，

或，

所以两个截面之间的距离为1或7.

【点睛】

本题考查了球的表面积和截面问题，属于基础题.

19．如图所示，在正三棱柱中，，，为的中点，是上的一点，且由沿棱柱侧面经过棱到的最短路线为.设这条最短路线与的交点为，求：

（1）该三棱柱的侧面展开图的对角线的长；

（2）和的长.

【答案】（1）；（2）的长为2，的长为.

【分析】（1）由展开图为矩形，用勾股定理求出对角线长；

（2）在侧面展开图中三角形是直角三角形，可以求出线段的长度，进而可以求的长度，再由相似比可以求出的长度.

【详解】（1）由题意，该三棱柱的侧面展开图是宽为4，长为的矩形，

所以对角线的长为；

（2）将该三棱柱的侧面沿棱展开，如图所示.

设的长为，则.

因为，，，

所以(负值舍去)，即的长为2.

又因为，

所以，即，

所以.

【点睛】本题考查求侧面展开图的对角线长，以及三棱柱中的线段长，熟记三棱柱的结构特征即可，属于常考题型.

20．已知一个圆锥的底面半径为，母线长为.

（1）求圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角;

（2）若圆锥中内接一个高为的圆柱.求圆柱的表面积.

【答案】（1） （2）

【分析】

（1）由圆锥侧面展开图的定义计算；

（2）由圆锥截面性质，在轴截面中得到相似三角形，由比例性质可得圆柱的底面半径后可得圆柱表面积．

【详解】（1）

（2）如图所示，设圆锥的底面半径为,圆柱的底面半径为，表面积为,

则

易知

，即

【点睛】本题考查圆锥的侧面展开图，考查圆柱表面积，考查圆锥的内接圆柱性质．解题关键是掌握圆锥平行于底面的截面的性质．

21．如图，在三棱柱中，分别是，的中点，连接，试判断几何体是什么几何体，并指出它的底面与侧面.

【答案】几何体是三棱台.面是下底面，面是上底面，面，面和面是侧面

【分析】根据题意以及三棱台的结构特征，可以猜想几何体是三棱台，再根据三棱台的定义证明即可，然后由三棱台定义可指出它的底面与侧面．

【详解】分别是的中点，且，，，

.

，且延长后交于一点.

又面与面平行，

∴几何体是三棱台.

其中面是下底面，面是上底面，面，面和面是侧面.

【点睛】本题主要考查三棱台的结构特征，以及利用三棱台定义判断几何体的形状，属于基础题．

22．在正三棱台中，已知，棱台一个侧面梯形的面积为，分别为上、下底面正三角形的中心，连接，并延长，分别交，于点，，，求上底面的边长.

【答案】

【分析】

由题意，可设上底面边长为，利用题中所给侧面梯形面积列方程，求值即可.

【详解】

，，.

设上底面的边长为，则.

如图所示，连接，过作于点H，则四边形为矩形，且.

，

在中，.

四边形的面积为，

，

即，

，故上底面的边长为.

【点睛】

本题考查正棱台几何性质，空间想象能力，计算能力，属于中等题型.