专题03 （平面向量基本定理及坐标表示）（解析版）-2021-2022学年高一数学下学期期末考试考前必刷题 （人教A版 2019必修二）

2020-2021高一下学期期末考试考前必刷题 03

（平面向量基本定理及坐标表示）

试卷满分：150分           考试时长：120分钟

注意事项：

1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.

2.答卷前务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.

3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰.超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1．若向量，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

利用平面向量数量积的坐标运算可求得结果.

【详解】

已知向量，，则.

故选：D.

2．已知向量，，若，则（    ）

A．2 B．1 C． D．

【答案】B

【分析】

由可得，利用向量数量积的坐标运算即可求解.

【详解】

由两边同时平方可得：，

整理得：，而，

解得：，

故选：B.

3．在三角形中，点，在边上，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

利用向量的加法、减法线性运算即可求解.

【详解】

，

故选：C.

4．如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

根据向量的加法减法运算即可求解.

【详解】

依题意，，

故选：B

5．已知，为平面向量，且，，则，夹角的余弦值等于（    ）

A． B．－ C． D．－

【答案】C

【分析】

先根据向量减法得，再根据向量夹角余弦值的坐标公式计算即可得答案.

【详解】

∵，∴．

又，∴，

∴．

又，，

∴．

故选：C.

6．设，向量，，若，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

由数量积为0求得的三角函数关系，变形后可求得角．

【详解】

∵，

所以，

解得或，

∵，∴，．

故选：C．

7．已知向量、满足=，若，则的最小值为（    ）

A．1 B． C． D．3

【答案】C

【分析】

利用已知条件求出向量、的夹角，建立直角坐标系把所求问题转化为解析几何问题.

【详解】

设、所成角为，

由=2，，

则，因为

所以，

记，,

以所在的直线为轴，以过点垂直于的直线为轴，

建立平面直角坐标系，

则，，

所以，，

，

所以，

表示点与点两点间的距离，

由

，

所以，

表示点与点两点间的距离，

的最小值转化为

到两点的距离和最小，

在直线上，

关于直线的对称点为，

的最小值为.

故选：C

【点睛】

关键点点睛：本题考查了向量模的坐标运算以及模转化为两点之间距离的转化思想，解题的关键是将向量的模转化为点到、两点间的距离，考查了运算求解能力.

8．已知是半圆的直径，，等腰三角形的顶点､在半圆弧上运动，且，点是半圆弧上的动点，则的取值范围（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

由圆的参数方程，设出､点的坐标，进而找出与角的关系，通过三角转化为三角函数，结合三角函数的性质，即可求解.

【详解】

建立如图所示的平面直角坐标系，可得，

设，

设，其中，

所以，

所以

，

因为，所以，

可得，即的取值范围是.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，以及圆的参数方程，三角函数的化简及三角函数的性质的综合应用，试题有一定的综合性，属于中档试题.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9．己知向量，则（    ）

A．             B．向量在向量上的投影向量是

C．              D．与向量方向相同的单位向量是

【答案】ACD

【分析】

根据向量数量积的坐标运算可判断A；利用向量数量积的几何意义可判断B；利用向量模的坐标表示可判断C；根据向量方向相同的单位向量可判断D.

【详解】

由向量

A，，所以，所以，故A正确；

B，向量在向量上的投影向量为，故B错误；

C，，所以，故C正确；

D，与向量方向相同的单位向量，故D正确.

故选：ACD

10．定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的，，令，下面说法正确的是（    ）

A．若与共线，则

B．

C．对任意的，有

D．

【答案】ACD

【分析】

利用向量共线的坐标形式的充要条件及题中对运算的定义判断出A选项是真命题；利用对“”的定义分别求出判断出B假；利用对“”的定义求出判断出C真命题；利用对“”的定义求判断出D对；综合可得答案．

【详解】

对于A选项，若，则，所以，故A选项正确；

对于B选项，；，显然，故B选项错误；

对于C选项，因为；

，所以 ，故C选项正确；

对于D选项，，故D选项正确；

故选：ACD.

【点睛】

本题以向量运算新定义为背景，考查向量共线的充要条件，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于正确理解新定义的向量运算，同时要正确熟记向量共线的坐标表示与数量积的坐标表示等.

11．下列关于平面向量的说法中正确的是（    ）

A．已知均为非零向量，若，//则存在唯一的实数，使得

B．已知非零向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是

C．若且，则

D．若点为的重心，则

【答案】AD

【分析】

由向量共线定理可判断选项A；由向量夹角的的坐标表示可判断选项B；由数量积的运算性质可判断选项C；由三角形的重心性质即向量线性运算可判断选项D.

【详解】

对于选项A： 由向量共线定理知选项A正确；

对于选项B：，若与的夹角为锐角，则

解得，当与共线时，，解得：，此时，，此时夹角为，不符合题意，所以实数的取值范围是，故选项B不正确；

对于选项C：若，则，因为，则或与垂直，

故选项C不正确；

对于选项D：若点G为的重心，延长与交于，则为的中点，所以，所以，故选项D正确.

故选：AD

【点睛】

易错点睛：两个向量夹角为锐角数量积大于，但数量积大于向量夹角为锐角或，由向量夹角为锐角数量积大于，需要检验向量共线的情况. 两个向量夹角为钝角数量积小于，但数量积小于向量夹角为钝角或.

12．如图所示，四边形为梯形，其中，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】

根据向量运算法则依次计算每个选项得到答案.

【详解】

，正确；

，正确；

，错误；

，正确.

故选：.

【点睛】

本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13．在中，，，，则的值是______．

【答案】

【分析】

由，得：，代入坐标运算，即可得解.

【详解】

由，

得：，

即： ，

解得：.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了向量的坐标运算，考查了向量垂直的性质，总体难度不大，属于基础题.

14．如图，在矩形中，分别为和上的中点，若m+n，其中则的值为_______．

【答案】

【分析】

由平面向量的线性运算，化简得到，即可求解的值得到答案．

【详解】

由题意，，

因为,,

所以两式相加得，,

所以，

得，所以，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了平面向量的线性运算，以及平面向量的基本定理的应用，其中解答中根据平面向量的基本定理，合理进行向量的线性运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．

15．O为坐标原点，已知向量，，，为非负实数且，，则的最小值为_______________

【答案】

【分析】

根据题意得表示的区域为及内部的点，进而得当时，取得最小值，再计算即可得答案.

【详解】

，，，

又为非负实数且，，

所以表示的区域为及内部的点，

当时，取得最小值，

因为所在的直线方程为，即，

则取得最小值为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查向量的模的求解与线性规划，解题的关键是根据题意明确表示的区域，是中档题.

16．如图，在四边形中，，，点和点分别是边和的中点，延长和交的延长线于两点，则的值为___________.

【答案】0

【分析】

由图可知四点共线,则,将问题转化为,以边为轴正方向,建系,设,,,分别写出各点坐标,利用数量积求解即可

【详解】

设,,,如图建系,

则,,

因为,所以,,

因为点和点分别是边和的中点,

所以,,

则,,

所以,

因为,

所以

因为四点共线,所以,

则,

故答案为:0

【点睛】

本题考查数量积的运算,考查向量的坐标表示的应用,考查三角函数的应用,考查数形结合思想

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17．已知平面向量，.

(1)若，求的值；

(2)若，与共线，求实数m的值.

【答案】（1）；（2）4.

【分析】

（1）求出，即可由坐标计算出模；

（2）求出，再由共线列出式子即可计算.

【详解】

(1)，

所以；

(2)，

因为与共线，所以，解得m＝4.

18．已知向量，.

（1）已知，求点坐标；

（2）若，求的值

【答案】（1），（2）

【分析】

（1）利用向量的坐标算法可求出点坐标；

（2）由，可得，化简再利用同角三角函数的关系可求出的值

【详解】

解：（1）设点坐标为，

因为，所以，

因为，所以，解得，

所以点坐标为，

（2）因为，，且，

所以，

所以，所以，所以，

【点睛】

此题考查向量的坐标运算，考查共线向量的坐标表示，属于基础题

19．已知向量与，，.

（1）求；

（2）设，的夹角为，求的值；

（3）若向量与互相平行，求k的值.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【分析】

（1）结合向量减法的坐标表示即可求解；

（2）结合向量夹角公式的坐标表示即可求解；

（3）结合向量平行的坐标表示即可求解.

【详解】

（1）因为，，

所以；

（2），

（3），，

由题意可得，，

整理可得，，

解可得，.

【点睛】

本题考查向量坐标表示的运算，重点考查计算能力，熟练掌握公式，属于基础题型.

20．如图，在四边形中，，，，为等边三角形，是的中点.设，.

（1）用，表示，，

（2）求与夹角的余弦值.

【答案】（1），；（2）.

【分析】

（1）利用向量的线性运算即平面向量基本定理确定，与，的关系；

（2）解法一：利用向量数量积运算公式求得向量夹角余弦值；解法二：建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标表示确定向量夹角余弦值.

【详解】

解法一：

（1）由图可知.

因为E是CD的中点，所以.

（2）因为，为等边三角形，所以，，

所以，

所以，

.

设与的夹角为，则，

所以在与夹角的余弦值为.

解法二：（1）同解法一.

（2）以A为原点，AD所在直线为x轴，过A且与AD垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，

则，，，.

因为E是CD的中点，所以，

所以，，

所以，

.

设与的夹角为，则，

所以与夹角的余弦值为.

【点睛】

求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．

21．已知向量，，.

（1）若，求的值；

（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值.

【答案】（1）；（2）时，取到最大值2，时，取到最小值.

【分析】

（1）利用向量垂直的坐标表示可求得，结合的范围可求得的值；

（2）将函数化简为，根据的范围可求得的范围，结合正弦函数图象可确定最大值和最小值取得的点，进而求得结果.

【详解】

解:（1）因为，

所以，

于是，

又，所以；

（2）

.

因为，所以，

从而

于是，当，即时，取到最大值2；

当，即时，取到最小值.

【点睛】

本题考查平面向量垂直的坐标表示、平面向量与三角函数的综合应用，涉及到三角函数最值的求解问题；求解三角函数最值的关键是能够利用整体对应的方式，结合正弦函数的图象来进行求解.

22．中，为的中点，为外心，点满足.

（1）证明：；

（2）若，设与相交于点，关于点对称，且，求的取值范围.

【答案】（1）见解析（2）

【分析】

（1）根据平面向量的加法与减法运算,化简即可求解.

（2）根据题意,可得.而为的中点,与重合,为的重心,建立平面直角坐标系, 设,,写出各个点的坐标,表示出与,即可根据平面向量数量积的定义用三角函数式表示出来.利用辅助角公式,即可求得的取值范围.

【详解】

（1）证明:为的中点,为外心,点满足

根据平面向量的减法运算可得

而

则代入可得

即

（2）由,

两边同时平方,展开化简可得

所以.此时为的中点,与重合,为的重心,

如图建立平面直角坐标系,

设,则,且

设,则,

则有,,

且.

设

∴

.

由正弦函数的性质可知,

即

【点睛】

本题考查了平面向量的线性运算,利用坐标研究平面向量的数量积形式,三角函数式的化简,利用辅助角公式求三角函数的最值,属于中档题.