专题04 （平面向量的应用）（解析版）-2021-2022学年高一数学下学期期末考试考前必刷题 （人教A版 2019必修二）

2020-2021高一下学期期末考试考前必刷题 04

（平面向量的应用）

试卷满分：150分           考试时长：120分钟

注意事项：

1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.

2.答卷前务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.

3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰.超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1．在中，，，，则等于（    ）

A． B．3 C． D．21

【答案】A

【分析】

直接根据余弦定理即可得出结果.

【详解】

因为，，，

所以，

即，

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了通过余弦定理解三角形，属于基础题.

2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，则bcosC+ccosB＝（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】

直接利用余弦定理求解.

【详解】

由余弦定理得bcosC+ccosB＝+＝＝a＝3，

故选：C.

【点睛】

本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题.

3．在中，若，则的形状是（    ）

A．为钝角的三角形

B．为直角的直角三角形

C．锐角三角形

D．为直角的直角三角形

【答案】D

【分析】

由条件求得，可得，故，由此可得的形状．

【详解】

在中，，，

，则为直角三角形，

故选：D．

4．在中，若，，其面积为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

先由面积公式求出，再由余弦定理求出，最后利用正弦定理可得出答案.

【详解】

由面积公式，

由余弦定理有，

由正弦定理有.

故选：B.

5．在中，，，，则（    ）

A． B．或 C． D．或

【答案】C

【分析】

利用正弦定理和题设中，和A的值，进而求得的值，则C可求.

【详解】

由正弦定理，即，

∴.

∴(时，三角形内角和大于，不合题意舍去).

故选：C.

【点睛】

本题考查了正弦定理的应用，属于基础题.

6．在锐角中，内角，，所对的边分别为，，．若，则的取值范围是（    ）

A． B．  C． D．

【答案】B

【分析】

根据题中条件，由三角形的余弦定理、正弦定理和两角和的正弦公式，化简可得，再由两角和的正切公式，以及锐角三角形的定义，可得，，解不等式可得所求范围．

【详解】

因为，由余弦定理可得，，

则，可得，

由正弦定理可得：，

可得，

化为，

在锐角中，，，

则，

又，

由，，可得，

解得，

故选：B．

【点睛】

本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，以及两角和的三角函数公式，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．

7．在中，，，分别是内角，，的对边，若（其中表示的面积），且角的平分线交于，满足，则的形状是（    ）

A．有一个角是30°的等腰三角形 B．等边三角形

C．直角三角形 D．等腰直角三角形

【答案】D

【分析】

根据角的平分线交于，满足，得到是等腰三角形，再由，结合余弦定理求解.

【详解】

因为，

所以，

又因为是角A的平分线，

所以是等腰三角形，

又，

所以，

因为，

所以,

所以是等腰直角三角形，

故选：D

【点睛】

本题主要考查余弦定理，面积公式以及平面向量的数量积，属于中档题.

8．在锐角中，若，且，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

由，可得；再结合正弦定理余弦定理，将中的角化边，化简整理后可求得；根据锐角和，可推出，，再根据可得，，于是，最后结合正弦的两角差公式、辅助角公式和正弦函数的图象与性质即可得解．

【详解】

由，得，，

，．

由正弦定理知，，

由余弦定理知，，

，

，化简整理得，，

，，

由正弦定理，有，，，

锐角，且，，，解得，，

，

，，，，，，

的取值范围为，．

故选：．

【点睛】

本题考查解三角形中正弦定理与余弦定理的综合应用，还涉及三角函数的图象与性质，以及三角恒等变换的基础公式，并运用到了角化边的思想，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，若解该三角形有且只有一解，则b的可能值为（    ）

A．5 B． C． D．6

【答案】CD

【分析】

直接利用三角形的解的情况①b＝csinB或②b＜csinB的应用求出结果．

【详解】

解：①b＞csinB＝6．三角形有两解

②当b＝3时，三角形有一解．

③当b＝6时，三角形为等腰直角三角形，有一解．

④当b＜3时，三角形无解，

故选：CD．

【点睛】

本题考查的知识要点：三角形的解得情况的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．

10．在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知，，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】

利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简，结合，可求，结合范围，可求，进而根据三角形的面积公式和余弦定理可得.

【详解】

∵，

整理可得：，

可得，

∵A为三角形内角，，

∴，故A正确，B错误，

∵，

∴，

∵，且，

∴，

解得，

由余弦定理得，

解得，故C错误，D正确.

故选：AD.

【点睛】

本题主要考查正弦定理，余弦定理以及两角和与差的三角函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

11．在中，，，分别是内角，，所对的边，，且，，则以下说法正确的是（    ）

A．

B．若，则

C．若，则是等边三角形

D．若的面积是，则该三角形外接圆半径为4

【答案】AC

【分析】

对于，利用正弦定理可将条件转化得到，即可求出；

对于，利用正弦定理可求得，进而可得；

对于，利用正弦定理条件可转化为，结合原题干条件可得，进而求得；

对于，根据三角形面积公式求得，利用余弦定理求得，进而由正弦定理求得．

【详解】

解：由正弦定理可将条件转化为，

因为，故，

因为，则，故正确；

若，则由正弦定理可知，则，

因为，则，故错误；

若，根据正弦定理可得，

又因为，即，即有，所以，

因为，则，故，

整理得，即，

解得，故，则，

即，所以是等边三角形，故正确；

若的面积是，即，解得，

由余弦定理可得，即

设三角形的外接圆半径是，

由正弦定理可得，则该三角形外接圆半径为2，故D错误，

故选：AC．

【点睛】

本题考查正余弦定理的应用及同角三角函数的基本关系和两角和与差的三角公式，转化思想，计算能力，属于中档题．

12．如图，的内角，，所对的边分别为，，．若，且，是外一点，，，则下列说法正确的是（    ）

A．是等边三角形

B．若，则，，，四点共圆

C．四边形面积最大值为

D．四边形面积最小值为

【答案】AC

【分析】

利用三角函数恒等变换化简已知等式可求，再利用，可知为等边三角形，从而判断；利用四点，，，共圆，四边形对角互补，从而判断；设，，在中，由余弦定理可得，利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的，可求，利用正弦函数的性质，求出最值，判断．

【详解】

由正弦定理，

得，

，

，B是等腰的底角，，

是等边三角形，A正确；

B不正确：若四点共圆，则四边形对角互补，

由A正确知，

但由于时，

，

∴B不正确．

C正确，D不正确：

设，则，

，

，

，

，

，

，

，∴C正确，D不正确；

故选：AC.．

【点睛】

本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13．在中，角，，的对边分别为，，.若，则角的大小为________.

【答案】

【分析】

利用余弦定理结合已知条件求的余弦值即得结果.

【详解】

因为，所以，

又中，，故，

故答案为：.

【点睛】

本题考查了利用余弦定理求角，属于基础题.

14．如图所示，，，三点在地面的同一条直线上，，从，两点测得点的仰角分别为，，则点离地面的高度等于_______.

【答案】

【分析】

设高度为，从而可得，在中，由即可求解.

【详解】

设高度为，

在中，，

可得，

在中，，

解得.

故答案为：

【点睛】

本题考查了解三角形，考查了基本运算求解能力，属于基础题.

15．在中，，点M为三边上的动点，PQ是外接圆的直径，则的取值范围是_______________________

【答案】

【分析】

根据向量关系可得，即判断的取值范围即可，由图可知的最大值为，最小值为.

【详解】

设外接圆的圆心为，半径为，

可得

，

M为三边上的动点，可知的最大值为到三角形顶点的距离，即为半径，

且的最小值为到边的距离，过作，垂足为，

则，

的最大值为，最小值为，

故的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】

关键点睛：本题考查数量积的取值范围，解题的关键是利用向量关系整理出，从而转化为的取值范围.

16．如图，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝4，A＝60°．若D为BC边上的任意一点，M为线段AD的中点，则的最大值是_____．

【答案】7

【分析】

根据余弦定理求得，以B为原点，BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求得点坐标，向量坐标，运用向量的数量积的坐标运算法则计算，再利用二次函数的最值，求得答案.

【详解】

由余弦定理得，，

所以以B为原点，BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，

，

，

当时，的最大值，最大值是7.

故答案为：7.

【点睛】

本题考查向量的数量积运算，求向量数量积的最值，属于较难题.

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17．的内角，，的对边分别为，，.已知，，.

（1）求的值；

（2）求的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

由正弦定理求出，由余弦定理列出关于的方程，然后求出．

【详解】

解：（1）因为，，.

由正弦定理，可得，所以；

（2）由余弦定理，，

，（舍），所以.

【点睛】

本题考查正弦定理和余弦定理，在已知两边和一边对角时可用余弦定理列方程求出第三边．

18．如图，在中，，点在边上，

（1）求的度数；

（2）求的长度.

【答案】（1）（2）

【分析】

（1）中直接由余弦定理可得，然后得到的度数；

（2）由（1）知，在中，由正弦定理可直接得到的值．

【详解】

解：（1）在中，，，

由余弦定理，有，

在中，；

（2）由（1）知，

在中，由正弦定理，有，

．

【点睛】

本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，考查了计算能力，属于基础题．

19．在中，内角，，的对边分别为，，，若，.

（1）求的值；

（2）设在边上，且，求的面积.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）利用正弦定理化角为边，再由余弦定理求出cosB，从而求出sinB的值；

（2）根据题意画出图形，利用余弦定理求出BD的值，再求△ABC的面积．

【详解】

（1）△ABC中，sin2A+sin2C﹣sin2B＝sinAsinC，由正弦定理得，a2+c2﹣b2＝ac，

所以cosB＝＝＝；又B∈（0，π），所以sinB＝＝＝；

（2）如图所示，

设BD＝AD＝2DC＝x，由c＝AB＝2，利用余弦定理得，AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BD•cosB，

即x2＝22+x2﹣2×2×x×，解得x＝3，CD＝x＝，

所以△ABC的面积为S△ABC＝AB•BC•sinB＝×2×（3+）×＝3．

【点睛】

方法点睛：三角形面积的常用方法：.

20．在中，分别为内角所对的边长，.

（1）求角；

（2）若的中线的长为，求的面积的最大值.

【答案】（1）；（2）

【分析】

（1）由正弦定理可得，即，由余弦定理可得，所以，即可求解；

（2）由是中线，可得，两边同时平方结合基本不等式可求得的最大值，进而可得面积的最大值.

【详解】

（1）由正弦定理可得，，

所以可化为，

所以

在中，由余弦定理可得，

所以，解得：，

因为，所以，

（2）在中，若是中线，则，

所以，

即，

所以，所以，

所以，解得，

所以，

所以面积的最大值为

【点睛】

方法点睛：求解三角形中有关边长、角、面积的最值（范围）问题时，常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，建立，，之间的等量关系与不等关系，然后利用函数或基本不等式求解.

21．在中，设角的对边分别为，已知.

（1）求角的大小；

（2）若，求周长的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【分析】

（1）由三角函数的平方关系及余弦定理即可得出（2）利用正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性转化为三角函数求值域即可得出.

【详解】

（1）由题意知，

即，

由正弦定理得

由余弦定理得，

又.

（2），

则的周长

.

，

，

周长的取值范围是.

【点睛】

本题主要考查了三角函数的平方关系，正余弦定理，两角和差的正弦公式，三角函数的单调性，属于中档题.

22．中，为的中点，为外心，点满足.

（1）证明：；

（2）若，设与相交于点，关于点对称，且，求的取值范围.

【答案】（1）见解析（2）

【分析】

（1）根据平面向量的加法与减法运算,化简即可求解.

（2）根据题意,可得.而为的中点,与重合,为的重心,建立平面直角坐标系, 设,,写出各个点的坐标,表示出与,即可根据平面向量数量积的定义用三角函数式表示出来.利用辅助角公式,即可求得的取值范围.

【详解】

（1）证明:为的中点,为外心,点满足

根据平面向量的减法运算可得

而

则代入可得

即

（2）由,

两边同时平方,展开化简可得

所以.此时为的中点,与重合,为的重心,

如图建立平面直角坐标系,

设,则,且

设,则,

则有,,

且.

设

∴

.

由正弦函数的性质可知,

即

【点睛】

本题考查了平面向量的线性运算,利用坐标研究平面向量的数量积形式,三角函数式的化简,利用辅助角公式求三角函数的最值,属于中档题.