专题06 （复数的四则运算）（解析版）-2021-2022学年高一数学下学期期末考试考前必刷题 （人教A版 2019必修二）

2020-2021高一下学期期末考试考前必刷题 06

（复数的四则运算）

试卷满分：150分           考试时长：120分钟

注意事项：

1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.

2.答卷前务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.

3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰.超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1．在复平面内，复数（为虚数单位），则对应的点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据复数运算法则进行运算后，再由复数的几何意义得解.

【详解】因为，所以，

所以复数所对应的点的坐标为.

故选:D.

2．已知是虚数单位，，则复数所对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】利用复数的运算法则求解复数，再利用共轭复数的性质求，进而确定所对应的点的位置.

【详解】由，

得，

所以，

所以复数所对应的点为，在第四象限，

故选：D.

【点睛】

对于复数的乘法，类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可；对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式.

3．已知复数z满足：，则复数z的模为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】把已知等式变形，由复数的除法运算化简，再求复数的模即可．

【详解】由，

得，

所以复数z的模为2，

故选：B.

4．设复数满足，则下列说法正确的是（    ）

A．为纯虚数 B．在复平面内，对应的点位于第二象限

C．的虚部为 D．

【答案】D

【分析】根据复数的除法运算求出复数，根据复数的概念可知、不正确；根据共轭复数的概念和几何意义可知不正确；利用模长公式求出可知正确.

【详解】

由得，，

不为纯虚数，不正确；

对应的点位于第三象限，不正确；

的虚部为，不正确；

，正确.

故选：D

5．若复数满足，则下列说法正确的是（   ）

A．的虚部为 B．为实数 C． D．

【答案】C

【分析】根据复数的除法运算求出，根据复数的概念、复数的模长公式、共轭复数的概念可得答案

【详解】

因为，所以，
 

所以的虚部为，为虚数，，，

故错误，正确.

故选：C

【点睛】

本题考查了复数的除法运算法则，考查了复数的概念、复数的模长公式、共轭复数的概念，属于基础题.

6．若虚数是关于的方程(，)的一个根，则（    ）

A．29 B． C． D．3

【答案】B

【分析】

先把代入方程，然后根据复数相等的条件可求，，再根据模长公式即可求解.

【详解】

解：由题意可得，，

所以，

故，，

则.

故选：B.

【点睛】

本题考查实系数方程的复数根，考查复数的模，解决实系数方程的复数根的方法是复数根代入方程利用复数相等的定义求解．

7．若(是虚数单位),则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

易得复数表示的点在单位圆上，而要求的值为单位圆上的点到复数表示的点的距离，由数形结合的思想可得答案．

【详解】

解：由复数的几何意义可知：表示的点在单位圆上，
而|z−2−2i|表示该单位圆上的点到复数表示的点的距离，

由图象可知：的最小值应为点到的距离，
而 ，圆的半径为1，
故的最小值为，
故选D．

【点睛】

本题考查复数的模长的最值，涉及复数的几何意义和数形结合的思想，属基础题．

8．设是虚数，是实数，且，则的实部取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

设，由是实数可得，即得，由此可求出.

【详解】

设，，

则，

是实数，，则，

，则，解得，

故的实部取值范围是.

故选：B.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9．已知复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点为，复数z满足，下列结论正确的是（    ）

A．点的坐标为             B．复数的共轭复数对应的点与点关于虚轴对称

C．复数z对应的点Z在一条直线上   D．与z对应的点Z间的距离的最小值为

【答案】ACD

【分析】根据复数对应的坐标，判断A选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B选项的正确性.设出，利用，结合复数模的运算进行化简，由此判断出点的轨迹，由此判读C选项的正确性.结合C选项的分析，由点到直线的距离公式判断D选项的正确性.

【详解】

复数在复平面内对应的点为，A正确；

复数的共轭复数对应的点与点关于实轴对称，B错误；

设，代入，得，即，整理得，；即Z点在直线上，C正确；

易知点到直线的垂线段的长度即为、Z之间距离的最小值，结合点到直线的距离公式可知，最小值为，故D正确.

故选：ACD

【点睛】

本小题主要考查复数对应的坐标，考查共轭复数，考查复数模的运算，属于基础题.

10．已知i为虚数单位，下列说法中正确的是（    ）

A．若复数z满足，则复数z对应的点在以为圆心，为半径的圆上

B．若复数z满足，则复数

C．复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模

D．复数对应的向量为，复数对应的向量为，若，则

【答案】CD

【分析】根据复数减法的模的几何意义，判断A选项的正确性.设，结合求得，由此判断B选项的正确性.根据复数模的定义判断C选项的正确性.根据复数加法、减法的模的几何意义，判断D选项的正确性.

【详解】满足的复数z对应的点在以为圆心，为半径的圆上，A错误；

在B中，设，则.

由，得，解得，B错误；由复数的模的定义知C正确；

由的几何意义知，以，为邻边的平行四边形为矩形，从而两邻边垂直，D正确.

故选：CD

【点睛】

本小题主要考查复数模的运算以及复数加法、减法的模的几何意义，属于基础题.

11．对任意，，，下列结论成立的是（    ）

A．当m，时，有

B．当，时，若，则且

C．互为共轭复数的两个复数的模相等，且

D．的充要条件是

【答案】AC

【分析】

根据复数乘法的运算律和复数的模及共轭复数的概念可判断出答案A和C正确；C中可取，进行判断；D中的必要不充分条件是.

【详解】

解：由复数乘法的运算律知，A正确；

取，；，满足，但且不成立，B错误；

由复数的模及共轭复数的概念知结论成立，C正确；

由能推出，但推不出，

因此的必要不充分条件是，D错误.

故选：AC

【点睛】

本题主要考查复数乘法的运算律和复数的基本知识以及共轭复数的概念，属于基础题.

12．（多选题）已知虚数z满足，下列结论正确的是（    ）

A．虚数z对应的点在某个圆上

B．虚数z对应的点在某条直线上

C．当实数时，为实数

D．若在复平面内对应的点在直线上，则复数：

【答案】AC

【分析】设（x，且），根据模长关系的出，结合几何意义即可对四个选项进行判断.

【详解】设（x，且），

由，得，

化简得，即，

因此虚数z对应的点在以为圆心，5为半径的圆上，A正确，B错误；

若为实数，则，又且，

，解得，因此C正确；

由及已知得，，

即，代入，解得或，

故或，因此D错误.

故选：AC.

【点睛】

此题考查复数的几何意义结合基本运算，涉及平面解析几何相关知识.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13．已知复数，其中i是虚数单位，则z的虚部为___________.

【答案】.

【分析】利用复数的乘法运算以及复数的概念即可求解.

【详解】，

所以复数z的虚部为.

故答案为：.

14．已知复数，满足，则__________．

【答案】

【详解】

分析：根据复数的模都为1，可求得 及 间的关系，根据方程，得；表示出，代入即可求值．

详解：设

因为

所以

即化简得

点睛：本题主要考查了复数模的定义及其相关运算，运算过程中注意熟练运用解题的技巧，属于基础题．

15．若复数满足，则复数________________.

【答案】

【分析】

由一定为实数,由题可知的虚部为,设,进而求解即可

【详解】

因为,所以的虚部为,

设,则,解得,所以,

故答案为:

【点睛】

本题考查相等复数,考查复数的模的应用

16．在复平面内，等腰直角三角形以为斜边（其中为坐标原点），若对应的复数，则直角顶点对应的复数_____________.

【答案】或

【分析】

根据复数的几何意义 由，得到，点的坐标为，设点的坐标为，再根据三角形是以为斜边的等腰直角三角形，则有，再运算求解..

【详解】

因为，

所以，点的坐标为.

设点的坐标为，

则.

由题意得，，

所以，

解得或，

所以复数或.

故答案为：或.

【点睛】

本题主要考查了复数的几何意义，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17．(1)已知i为虚数单位,复数z满足,求z;

(2)已知i为虚数单位,复数z满足,求z.

【答案】(1).(2).

【分析】

（1）设，根据复数的加减运算法则及复数相等的充要条件得到方程组，解得；

（2）设，根据复数的加减运算法则，复数的模及复数相等的充要条件得到方程组，解得；

【详解】

解：（1）设,因为,所以,即且,解得,,所以.

 (2)设,则,又,所以,由复数相等的定义得解得所以.

【点睛】本题考查复数的加减运算，复数相等的充要条件，属于基础题.

18．设复数z1＝2＋ai(其中a∈R)，z2＝3－4i.

（1）若z1＋z2是实数，求z1·z2的值；

（2）若是纯虚数，求|z1|.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）由已知求得，再由复数代数形式的乘除运算求的值；

（2）利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为0且虚部不为0求得，则可求．

【详解】

解：（1）（其中，，

，

由是实数，得．

，，

则；

（2）由是纯虚数，

得，即．

．

19．已知－3＋2i是关于x的方程2x2＋px＋q＝0的一个根，求实数p、q的值．

【答案】

【解析】

∵－3＋2i方程2x2＋px＋q＝0的一个根，

∴2(－3＋2i)2＋p(－3＋2i)＋q＝0

即(10－3p＋q)＋(2p－24)i＝0.

∴解得

20．（1）计算：（i为虚数单位）；

（2）已知是一个复数，求解关于的方程，（i为虚数单位）.

【答案】（1）8；（2）或

【分析】（1）即可化简得值；

（2）设，建立等式，列方程组求解.

【详解】（1）；

（2）设，，即，

，所以，解得或，

所以或.

故答案为：或

【点睛】

此题考查复数的运算，关键在于根据题意利用复数的运算法则，准确计算求解.

21．已知复数.

（1）当实数为何值时，复数为实数；

（2）若实数，且（为的共轭复数），求实数，的值.

【答案】（1）；，

【分析】

（1）根据题意得到，再解方程组即可.

（2）首先得到，根据题意得到，从而得到，解方程组即可得到答案.

【详解】

（1）由题知：为实数，

所以，解得.

（2）若，则.

因为，所以，

即，解得，.

【点睛】

本题主要考查共轭复数，同时考查了复数的定义，属于简单题.

22．已知在复平面内，为坐标原点，向量分别对应复数，且，，.

(1)求实数的值；

(2)求以为邻边的平行四边形的面积.

【答案】(1)3；(2).

【分析】

（1）,代入中,由相等复数求解即可；

（2）由（1）可知,利用数量积求得的夹角,进而求解即可

【详解】

(1)∵,

∴，解得

(2)由(1)知,

∴,

∴,

设向量的夹角为,

∴,

∴,

∴

【点睛】

本题考查相等复数的应用,考查复数的几何意义,考查数量积的应用,考查运算能力