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初中北师大版8 圆内接正多边形导学案
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这是一份初中北师大版8 圆内接正多边形导学案，共10页。学案主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.掌握正多边形和圆的关系；
2.理解正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念；
3.能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题；
4.会运用多边形知和圆的有关知识画多边形.
学习策略
1.学生在探讨正多边形和圆的关系学习中，体会到要善于发现问题、解决问题，从而培养学生的概括能力和实践能力.
2.通过学习，体验数学与生活的紧密相连；通过合作交流，探索实践培养学生的主体意识.
学习过程
一.复习回顾：
1.你能举出正多边形的例子吗？
2.三条边相等，三个角也相等（60°）. 四条边都相等，四个角也相等（90°）.
正多边形：
3.___________，_____________的多边形叫做正多边形.
4.正n边形：如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形.
二.新课学习：
1.圆内接正多边形的概念
定义：顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.这个圆叫做该正多边形的外接圆.
（1）把一个圆等分（），依次连接各分点，我们就可以作出一个圆内接正多边形.
（2）如图，五边形是圆的内接正五边形，圆心叫做这个正五边形的中心；是这个正五边形的半径；是这个正五边形的中心角；，垂足为，是这个正五边形的的边心距.
2. 尺规作图
（1）用尺规作一个已知圆的内接正六边形.
（2）用尺规作一个已知圆的内接正四边形.
（3）思考：作正多边形有哪些方法？
3.求正多边形的中心角、边长和边心距
例 如图，在圆内接正六边形中，半径，，垂足为，求这个正六边形的中心角、边长和边心距.
正六边形的中心角是多少度？
正六边形的中心角的一半是多少度？
如何做出正六边形的边心距？
你能利用已知条件构造直角三角形吗？
你能利用解直角三角形的知识解决问题吗？
正多边形的有关计算可转化为解直角三角形，这个直角三角形的构成是：斜边为半径，一直角边为边心距，另一直角边为边长的一半，顶点在中心的锐角为中心角的一半.
三.尝试应用：
1. 对于以下说法：①各角相等的多边形是正多边形；②各边相等的多边形是正多边形；③各角相等的圆内接多边形是正多边形；④各顶点等分外接圆的多边形是正多边形，你认为正确的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2. 若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是______度，半径是______，
边心距是______，它的每一个内角是______．
3. 如图，PA和PB分别与⊙O相切于A，B两点，作直径AC，
并延长交PB于点D．连结OP，CB．
（1）求证：OP∥CB；
（2）若PA＝12，DB：DC＝2：1，求⊙O的半径．
四.自主总结：
1.正多边形概念：各 相等、各 也相等的多边形叫做正多边形．
2.顶点都在同一个圆上的正多边形叫做 .这个圆叫做该正多边形的 .
3.一个正多边形的外接圆的 叫做这个正多边形的中心，外接圆的 叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的 叫做正多边形的 ，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的 .
五.达标测试
一、选择题
1．若一个正多边形的中心角为40°，则这个多边形的边数是（ ）
A．9B．8C．7D．6
2．图中的正三角形和正六边形有公共的外接圆⊙O．则这个正三角形和正六边形边长的比为（ ）
A．：2B．：2C．：1D．2：1
3．以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
4．正八边形的中心角等于 度．
5．为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为 ．
6．若正六边形的边心距为，则这个正六边形的半径为 ．
三、解答题
7．已知A、B两点，求作：过A、B两点的⊙O及⊙O的内接正六边形ABCDEF．（要求用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不必写作法及证明．）
8．已知圆内接正三角形的面积为12，求这个圆的外切正方形的对角线的长．
9．如图，四边形ABCD内接于大圆O，且各边与小圆相切于点E，F，G，H．求证：四边形ABCD是正方形．
10．如图，⊙O是直径为4cm的圆形铁片，现用它截取最大的正方形ABCD．
（1）求正方形ABCD的边长；
（2）求四周多余部分的面积（π取3.1）．
3.8圆内接正多边形达标测试答案
一、选择题
1．【解析】根据正多边形的中心角的计算公式：计算即可．
【解答】解：设这个多边形的边数是n，
由题意得，=40°，
解得，n=9，
故选：A．
【点评】本题考查的是正多边形和圆的有关知识，掌握正多边形的中心角的计算公式：是解题的关键．
2．【解析】根据题意画出图形，通过解直角三角形用R分别表示出它们的边长，进而可得出结论．
【解答】解：设外接圆的半径为R，
如图所示：
连接O2 A，O2 B，
则O2 B⊥AC，
∵O2 A=R，∠O2 AF=30°，∠AO2 B=60°，
∴△AO2 B是等边三角形，AF=O2A•cs30°=R，
∴AB=R，AC=2AF=R；
∴外接圆的半径相等的正三角形、正六边形的边长之比为R：R=：1．
故选C．
【点评】本题考查的是正多边形和圆、解直角三角形；熟知正三角形、正方形和正六边形的性质是解答此题的关键．
3．【解析】由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而可得其面积．
【解答】解：如图1，
∵OC=2，
∴OD=2×sin30°=1；
如图2，
∵OB=2，
∴OE=2×sin45°=；
如图3，
∵OA=2，
∴OD=2×cs30°=，
则该三角形的三边分别为：1，，，
∵（1）2+（）2=（）2，
∴该三角形是直角边，
∴该三角形的面积是×1××=，
故选：D．
【点评】本题主要考查多边形与圆，解答此题要明确：多边形的半径、边心距、中心角等概念，根据解直角三角形的知识解答是解题的关键．
二、填空题
4．【解析】根据中心角是正多边形相邻的两个半径的夹角来解答．
【解答】解：正八边形的中心角等于360°÷8=45°；
故答案为45．
【点评】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是牢记中心角的定义及求法．
5. 【解析】△ABC是等腰直角三角形，斜边长是a，据此解求得△ABC的面积，则阴影部分的面积即可求解．
【解答】解：△ABC是等腰直角三角形，且AB=a，
则AC=BC=a，
则S△ABC=AC•BC=ו=，
中间的正方形的面积是：a2，
则阴影部分的面积是：4×+a2=2a2．
故答案是：2a2．
【点评】本题考查了正多边形的计算，正确求得三角形ABC的面积是关键．
6．【解析】首先根据题意作出图形，由正六边形的性质，易得△BOC是等边三角形，然后由三角函数的性质，可求得OB的值，继而可求得答案．
【解答】解：如图所示，连接OB、OC；
∵此六边形是正六边形，
∴∠BOC==60°，
∵OB=OC，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠OBC=60°，
∵OH=，
∴在Rt△OBH中，OB===2，
∴OB=OC=BC=2，即这个正六边形的半径为2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了正多边形与圆的知识．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
三、解答题
7．【解析】根据题意可知作出以AB为直径的圆，且以AB的一半为半径的圆内接正六边形即可．
【解答】解：如图所示：
首先以AB为直径作圆，在以AB的一半为半径在圆上截取相等的弧，然后顺次连接六个等分点即可．
【点评】本题考查了正多边形和圆及作图的相关知识，解题的关键是弄清正六边形和圆及线段AB的关系．
8. 【解析】如图，作辅助线，证明DC=GH=2OG；根据已知条件求出OG，结合勾股定理问题即可解决．
【解答】解：如图，连接GO并延长，交EF于点H，交BC于点M；
由题意得：点O为正方形ABCD的中心，也是正△GEF的中心；
∴OG=OM，GH⊥EF；而AD为⊙O的切线，
∴GM⊥AD，而∠D=∠C，
∴四边形MCDG为矩形，DC=GM=2OG；
设⊙O的半径为λ，正方形ABCD的对角线为μ，
由题意得：∠GOE==120°，
sin120°=12，
∴λ=4，DC=2λ=8；
由勾股定理得：μ2=82+82，
∴μ=，即这个圆的外切正方形的对角线的长为．
【点评】该题主要考查了正多边形和圆的性质及其应用问题；灵活运用正多边形和圆的关系来解析、判断是解题的关键．
9．【解析】连结OE、OF、OG、OH，利用切线的性质以及弦心距相等则弦相等可证明A、B、C、D是大圆O的四等分点，进而可证明四边形ABCD是正方形．
【解答】证明：
连结OE、OF、OG、OH．
∵四边形ABCD与小圆分别切于点E、F、G、H，
∴OE=OF=OG=OH，OE⊥AB、OF⊥BC、OG⊥CD、OH⊥AD．
∴AB=BC=CD=DA．
∴A、B、C、D是大圆O的四等分点．
∴四边形ABCD是正方形．
【点评】本题考查了正多边形与圆的关系，解题的关键是熟记把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
10. 【解析】（1）连接AO，DO，由题意可知∠AOD=90°，进而利用勾股定理即可求出正方形ABCD的边长；
（2）由题意可知四周多余部分的面积=圆的面积﹣正方形的面积，问题得解．
【解答】解：（1）连接AO，DO，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOB==90°，
∵⊙O是直径为4cm，
∴AO=OD=2cm，
∴AD==2cm，
即正方形ABCD的边长为2cm；
（2）∵S圆=π×2×2=12.4cm2，S正方形ABCD=2×2=8cm2，
∴四周多余部分的面积=12.4﹣8=4.4cm2．
【点评】此题主要考查了正多边形与圆的有关知识，本题需仔细解析图形，利用勾股定理即可解决问题．
1.掌握正多边形和圆的关系；
2.理解正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念；
3.能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题；
4.会运用多边形知和圆的有关知识画多边形.
学习策略
1.学生在探讨正多边形和圆的关系学习中，体会到要善于发现问题、解决问题，从而培养学生的概括能力和实践能力.
2.通过学习，体验数学与生活的紧密相连；通过合作交流，探索实践培养学生的主体意识.
学习过程
一.复习回顾：
1.你能举出正多边形的例子吗？
2.三条边相等，三个角也相等（60°）. 四条边都相等，四个角也相等（90°）.
正多边形：
3.___________，_____________的多边形叫做正多边形.
4.正n边形：如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形.
二.新课学习：
1.圆内接正多边形的概念
定义：顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.这个圆叫做该正多边形的外接圆.
（1）把一个圆等分（），依次连接各分点，我们就可以作出一个圆内接正多边形.
（2）如图，五边形是圆的内接正五边形，圆心叫做这个正五边形的中心；是这个正五边形的半径；是这个正五边形的中心角；，垂足为，是这个正五边形的的边心距.
2. 尺规作图
（1）用尺规作一个已知圆的内接正六边形.
（2）用尺规作一个已知圆的内接正四边形.
（3）思考：作正多边形有哪些方法？
3.求正多边形的中心角、边长和边心距
例 如图，在圆内接正六边形中，半径，，垂足为，求这个正六边形的中心角、边长和边心距.
正六边形的中心角是多少度？
正六边形的中心角的一半是多少度？
如何做出正六边形的边心距？
你能利用已知条件构造直角三角形吗？
你能利用解直角三角形的知识解决问题吗？
正多边形的有关计算可转化为解直角三角形，这个直角三角形的构成是：斜边为半径，一直角边为边心距，另一直角边为边长的一半，顶点在中心的锐角为中心角的一半.
三.尝试应用：
1. 对于以下说法：①各角相等的多边形是正多边形；②各边相等的多边形是正多边形；③各角相等的圆内接多边形是正多边形；④各顶点等分外接圆的多边形是正多边形，你认为正确的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2. 若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是______度，半径是______，
边心距是______，它的每一个内角是______．
3. 如图，PA和PB分别与⊙O相切于A，B两点，作直径AC，
并延长交PB于点D．连结OP，CB．
（1）求证：OP∥CB；
（2）若PA＝12，DB：DC＝2：1，求⊙O的半径．
四.自主总结：
1.正多边形概念：各 相等、各 也相等的多边形叫做正多边形．
2.顶点都在同一个圆上的正多边形叫做 .这个圆叫做该正多边形的 .
3.一个正多边形的外接圆的 叫做这个正多边形的中心，外接圆的 叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的 叫做正多边形的 ，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的 .
五.达标测试
一、选择题
1．若一个正多边形的中心角为40°，则这个多边形的边数是（ ）
A．9B．8C．7D．6
2．图中的正三角形和正六边形有公共的外接圆⊙O．则这个正三角形和正六边形边长的比为（ ）
A．：2B．：2C．：1D．2：1
3．以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
4．正八边形的中心角等于 度．
5．为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为 ．
6．若正六边形的边心距为，则这个正六边形的半径为 ．
三、解答题
7．已知A、B两点，求作：过A、B两点的⊙O及⊙O的内接正六边形ABCDEF．（要求用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不必写作法及证明．）
8．已知圆内接正三角形的面积为12，求这个圆的外切正方形的对角线的长．
9．如图，四边形ABCD内接于大圆O，且各边与小圆相切于点E，F，G，H．求证：四边形ABCD是正方形．
10．如图，⊙O是直径为4cm的圆形铁片，现用它截取最大的正方形ABCD．
（1）求正方形ABCD的边长；
（2）求四周多余部分的面积（π取3.1）．
3.8圆内接正多边形达标测试答案
一、选择题
1．【解析】根据正多边形的中心角的计算公式：计算即可．
【解答】解：设这个多边形的边数是n，
由题意得，=40°，
解得，n=9，
故选：A．
【点评】本题考查的是正多边形和圆的有关知识，掌握正多边形的中心角的计算公式：是解题的关键．
2．【解析】根据题意画出图形，通过解直角三角形用R分别表示出它们的边长，进而可得出结论．
【解答】解：设外接圆的半径为R，
如图所示：
连接O2 A，O2 B，
则O2 B⊥AC，
∵O2 A=R，∠O2 AF=30°，∠AO2 B=60°，
∴△AO2 B是等边三角形，AF=O2A•cs30°=R，
∴AB=R，AC=2AF=R；
∴外接圆的半径相等的正三角形、正六边形的边长之比为R：R=：1．
故选C．
【点评】本题考查的是正多边形和圆、解直角三角形；熟知正三角形、正方形和正六边形的性质是解答此题的关键．
3．【解析】由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而可得其面积．
【解答】解：如图1，
∵OC=2，
∴OD=2×sin30°=1；
如图2，
∵OB=2，
∴OE=2×sin45°=；
如图3，
∵OA=2，
∴OD=2×cs30°=，
则该三角形的三边分别为：1，，，
∵（1）2+（）2=（）2，
∴该三角形是直角边，
∴该三角形的面积是×1××=，
故选：D．
【点评】本题主要考查多边形与圆，解答此题要明确：多边形的半径、边心距、中心角等概念，根据解直角三角形的知识解答是解题的关键．
二、填空题
4．【解析】根据中心角是正多边形相邻的两个半径的夹角来解答．
【解答】解：正八边形的中心角等于360°÷8=45°；
故答案为45．
【点评】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是牢记中心角的定义及求法．
5. 【解析】△ABC是等腰直角三角形，斜边长是a，据此解求得△ABC的面积，则阴影部分的面积即可求解．
【解答】解：△ABC是等腰直角三角形，且AB=a，
则AC=BC=a，
则S△ABC=AC•BC=ו=，
中间的正方形的面积是：a2，
则阴影部分的面积是：4×+a2=2a2．
故答案是：2a2．
【点评】本题考查了正多边形的计算，正确求得三角形ABC的面积是关键．
6．【解析】首先根据题意作出图形，由正六边形的性质，易得△BOC是等边三角形，然后由三角函数的性质，可求得OB的值，继而可求得答案．
【解答】解：如图所示，连接OB、OC；
∵此六边形是正六边形，
∴∠BOC==60°，
∵OB=OC，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠OBC=60°，
∵OH=，
∴在Rt△OBH中，OB===2，
∴OB=OC=BC=2，即这个正六边形的半径为2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了正多边形与圆的知识．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
三、解答题
7．【解析】根据题意可知作出以AB为直径的圆，且以AB的一半为半径的圆内接正六边形即可．
【解答】解：如图所示：
首先以AB为直径作圆，在以AB的一半为半径在圆上截取相等的弧，然后顺次连接六个等分点即可．
【点评】本题考查了正多边形和圆及作图的相关知识，解题的关键是弄清正六边形和圆及线段AB的关系．
8. 【解析】如图，作辅助线，证明DC=GH=2OG；根据已知条件求出OG，结合勾股定理问题即可解决．
【解答】解：如图，连接GO并延长，交EF于点H，交BC于点M；
由题意得：点O为正方形ABCD的中心，也是正△GEF的中心；
∴OG=OM，GH⊥EF；而AD为⊙O的切线，
∴GM⊥AD，而∠D=∠C，
∴四边形MCDG为矩形，DC=GM=2OG；
设⊙O的半径为λ，正方形ABCD的对角线为μ，
由题意得：∠GOE==120°，
sin120°=12，
∴λ=4，DC=2λ=8；
由勾股定理得：μ2=82+82，
∴μ=，即这个圆的外切正方形的对角线的长为．
【点评】该题主要考查了正多边形和圆的性质及其应用问题；灵活运用正多边形和圆的关系来解析、判断是解题的关键．
9．【解析】连结OE、OF、OG、OH，利用切线的性质以及弦心距相等则弦相等可证明A、B、C、D是大圆O的四等分点，进而可证明四边形ABCD是正方形．
【解答】证明：
连结OE、OF、OG、OH．
∵四边形ABCD与小圆分别切于点E、F、G、H，
∴OE=OF=OG=OH，OE⊥AB、OF⊥BC、OG⊥CD、OH⊥AD．
∴AB=BC=CD=DA．
∴A、B、C、D是大圆O的四等分点．
∴四边形ABCD是正方形．
【点评】本题考查了正多边形与圆的关系，解题的关键是熟记把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
10. 【解析】（1）连接AO，DO，由题意可知∠AOD=90°，进而利用勾股定理即可求出正方形ABCD的边长；
（2）由题意可知四周多余部分的面积=圆的面积﹣正方形的面积，问题得解．
【解答】解：（1）连接AO，DO，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOB==90°，
∵⊙O是直径为4cm，
∴AO=OD=2cm，
∴AD==2cm，
即正方形ABCD的边长为2cm；
（2）∵S圆=π×2×2=12.4cm2，S正方形ABCD=2×2=8cm2，
∴四周多余部分的面积=12.4﹣8=4.4cm2．
【点评】此题主要考查了正多边形与圆的有关知识，本题需仔细解析图形，利用勾股定理即可解决问题．
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