初中数学北师大版九年级下册5 三角函数的应用学案

2021春北师版九下数学1.5.3坡度与坡角问题导学案

1．加强对坡度、坡角、坡面概念的理解，了解坡度与坡面陡峭程度的关系．

2．能解决堤坝等关于斜坡的实际问题，提高解决实际问题的能力．

对堤坝等关于斜坡的实际问题的解决．

对坡度、坡角、坡面概念的理解．

一、创设情景　明确目标

1．修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度．什么叫坡度(坡比)?

2．坡度等于什么？用什么表示？

3．坡度和坡角之间有什么关系？

坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面坡度(或坡比)．记作i，即i＝.坡度通常写成l∶m的形式，如i＝1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i＝tanα＝显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．

4．利用解直角三角形的方法解决实际问题时应注意什么？

二、自主学习　指向目标

阅读教材第19页做一做内容，完成《名师学案》“课前预习”部分．

三、合作探究　达成目标

　倾斜角有关的实际问题

活动：出示幻灯动画，动画内容如下：

如图，水库大坝的截面是梯形ABCD，坝顶AD＝6m，坡长CD＝8m.坡底BC＝30m，∠ADC＝135°.

(1)求坡角∠ABC的大小；

(2)如果坝长100m，那么修建这个大坝共需多少土石料(结果精确到0.01m3)．

展示点评：作AF⊥BC，DE⊥BC建立直角三角形模型，首先在Rt△DCE中，EC＝DE＝DC·tan45°，又可以得到四边形AFED为矩形，即AF＝DE，再解Rt△ABF，其中BF＝BC－CF，tan∠ABC＝.

解：略

反思小结：有关坡度(坡角)或倾斜角的实际问题，首先要通过作垂线把平面几何图形转化一个或者几个直角三角形来解．在解直角三角形中中主要利用公式i＝tanα＝求题目中未知条件．

针对训练：

《名师学案》中“当堂练习”部分．

四、总结梳理　内化目标

本节课从对坡度、坡角、坡面概念的复习，了解坡度与坡面陡峭程度的关系．学会解决堤坝等关于斜坡的实际问题，提高解决实际问题的能力．

五、达标测试

1. 一只小蚂蚁沿着倾斜角为α的斜坡前进了mcm，那么它上升的高度是(　　)

A. msinαcm             B. mcosαcm            C. mtanαcm          D. cm

2. 某坡面的坡度是1∶，则此坡的坡角是(　　)

A. 30°                  B. 45°                 C. 60°              D. 90°

3. 如图，坡角为30°的斜坡上两树间的水平距离AC为2m，则两树间的坡面距离AB为(　　)

A. 4m                  B. m                C. m           D. 4m

4. 某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动.如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度(或坡比)i＝1∶2.4，那么大树CD的高度约为(参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73)(　　)

A. 8.1米              B. 17.2米              C. 19.7米            D. 25.5米

第4题                             第5题

5. 如图，小华站在河岸上的G点，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来.此时，测得小船C的俯角是∠FDC＝30°，若小华的眼睛与地面的距离是1.6米，BG＝0.7米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡的坡度i＝4∶3，坡长AB＝8米，点A，B，C，D，F，G在同一个平面上，则此时小船C到岸边的距离CA的长为　       　米.(结果保留根号)

6. 某校加强社会主义核心价值观教育，在清明节期间，为缅怀先烈足迹，组织学生参观滨湖渡江战役纪念馆.渡江战役纪念馆实物如图①所示.某数学兴趣小组同学突发奇想，我们能否测量斜坡的长和馆顶的高度？他们画出渡江战役纪念馆示意图如图②，经查资料，获得以下信息：斜坡AB的坡比i＝1∶，BC＝50m，∠ACB＝135°，求AB的长及过点A作的高是多少.(结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73)

图①                  图②

7. 某市为提高某段海堤的防海潮能力，计划将长96m的一堤段(原海堤的横断面形如图中的梯形ABCD)的堤面加宽1.6m，背水坡坡度由原来的1∶1改成1∶2，已知原背水坡长AD＝8.0m，求完成这一工程所需的土方，要求保留两个有效数字.(参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24)

达标测试答案

1. A  2. A   3.A  4. B  5. 8－5.5 

6. 解：过点A作AD⊥BC交其延长线于点D，

∵∠ACB＝135°，∴∠ACD＝45°，

∴△ADC为等腰直角三角形，

设AD＝x，则CD＝x，

在Rt△ADB中，BD＝50＋x，

∵斜坡AB的坡比i＝1∶，∴x∶(50＋x)＝1∶，解得x≈68.5，

∴AD≈68.5.

∵在Rt△ABD中，∠B＝30°，∠D＝90°，

∴AB＝2AD≈137.0.

答：AB的长约为137.0m，过点A作的高约是68.5m.

7. 解：作EG⊥FB于点G，DH⊥FB于点H，设堤高为h，则EG＝DH＝h.

由tan∠DAH＝1∶1＝1，得∠DAH＝45°.

∴h＝DH＝ADsin∠DAH＝8sin45°＝8×＝4，

∴AH＝DH＝4，

由tanF＝EG∶FG＝1∶2，得FG＝2EG＝2h＝8，

∴FA＝FG－AG＝8－(4－1.6)＝4＋1.6，

∴海堤横断面增加的面积：S梯形FADE＝(ED＋FA)·h＝(4＋3.2)×4≈25.0(m2)，

∴工程所需土方＝96×S梯形FADE≈96×25.0＝2400＝2.4×103(m3).

答：完成这工程约需土方2.4×103m3.