人教A版 (2019)必修 第二册7.1 复数的概念学案设计

复数的几何意义

【学习过程】

一、预习提问

复数如何用坐标进行表示？复数与平面向量之间有何关系？

二、合作探究

【例1】（1）复数所对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

（2）已知复数在复平面内的对应点位于第二象限，则点所成的平面区域是（    ）

（3）复数和在复平面内的对应点关于（    ）

A．实轴对称

B．一、三象限的角平分线对称

C．虚轴对称

D．二、四象限的角平分线对称

[解析]（1）由复数的几何意义知对应复平面中的点为，而是第二象限中的点，故选B.

（2）由题意，得，即，故点所成的平面区域为A项中的阴影部分．

（3）复数在复平面内的对应点为．

复数在复平面内的对应点为．

点与关于实轴对称，故选A.

[答案]（1）B

（2）A

（3）A

【例2】（1）向量对应的复数是，向量对应的复数是，则对应的复数是（    ）

A． B．

C．0 D．

（2）复数与分别表示向量与，则向量表示的复数是________．

[思路探究]（1）先写出向量，的坐标，再求出的坐标．

（2）利用，求出向量的坐标，从而确定表示的复数．

[解析]（1）因为向量对应的复数是，向量对应的复数是，所以，，所以，所以对应的复数是0.

（2）因为复数与分别表示向量与，所以，，又，所以向量表示的复数是.

[答案]（1）C

（2）

[探究问题]

1．复平面内的虚轴的单位长度是1，还是i？

提示：复平面内的虚轴上的单位长度是1，而不是i.

2．若复数在复平面内对应的点P在第四象限，则a满足什么条件？

提示：a满足，即．

【例3】（1）已知复数z的实部为1，且，则复数z的虚部是（    ）

A． B.

C． D．

（2）求复数及的模，并比较它们模的大小．

[思路探究]（1）设出复数z的虚部，由模的公式建立方程求解．

（2）用求模的公式直接计算．

（1）[解析]设复数z的虚部为b，，实部为1，，，选D.

[答案]D

（2）解：因为，，

所以，

.

因为，

所以.

三、学习小结

（一）复平面

1.建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．

2.在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．

3.x轴的单位是1，y轴的单位是i.实轴与虚轴的交点叫做原点，原点(0,0)对应复数0.

（二）复数的几何意义

1．复数一一对应复平面内的点．

2．复数一一对应平面向量.

（三）复数的模、共轭复数

1．设，则向量的长度叫做复数的模（或绝对值），记作，且.

2．如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数．复数z的共轭复数

四、精炼反馈

1．复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（    ）

A．第一象限　　　　 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

[解析]由,得复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于第二象限．

[答案]B

2．已知复数，则复数的模是（    ）

A．5 B．8

C．6 D.

[解析].

[答案]D

3．复数在复平面内的对应点在第四象限，则实数x的取值范围是________．

[解析]复数z在复平面内对应的点在第四象限，

，解得.

[答案]

4．已知复数的模是，则点的轨迹方程是________．

[解析]，

，

.

[答案]

5．已知复数z满足，求复数z.

[解]设，

则，

代入方程得，，

，

解得，

.