2021年全国统一高考数学试卷（北京卷）

2021年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学

一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1. 已知集合，，则（    ）.

A. ； B. ； C. ； D. .

2. 在复平面内，复数满足，则（    ）.

A. ； B. ； C. ； D. .

3. 已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（   ）.

A. 充分而不必要条件；  B. 必要而不充分条件；

C. 充分必要条件； D. 既不充分也不必要条件.

4. 某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（    ）.

A. ； B. 4； 

C. ； D. 2.

5. 双曲线过点，且离心率为，则该双曲线的标准方程为（    ）.

A. ；   B. ； C. ； D. .

6. 和是两个等差数列，其中为常值，，，，则（  ）.

A. ； B. ； C. ； D. .

7. 函数，试判断函数的奇偶性及最大值（    ）.

A. 奇函数，最大值为2； B. 偶函数，最大值为2；

C. 奇函数，最大值； D. 偶函数，最大值为.

8. 定义：24小时内降水在平地上积水厚度（）来判断降雨程度．其中小雨

（），中雨（），大雨（），暴雨  

（），小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这

  天降雨属于哪个等级（ ）.

A. 小雨；    B. 中雨；   C. 大雨；    D. 暴雨.

9. 已知圆，直线，当变化时，截得圆弦长的最小值为2，则（   ）.

A.  B.  C.  D.

10. 数列是递增的整数数列，且，，则的最大值为（    ）.

A. 9； B. 10； C. 11； D. 12.

二、填空题：5小题，每小题5分，共25分．

11. 展开式中常数项为__________．

12. 已知抛物线，焦点为，点为抛物线上的点，且，则的横坐标是_______；作轴于，则_______．

13. ，，，则_______；_______．

14. 若点与点关于轴对称，写出一个符合题意的___．

15. 已知函数，给出下列四个结论：

①若，则有两个零点；  ②，使得有一个零点；

③，使得有三个零点； ④，使得有三个零点．

以上正确结论得序号是_______．

三、解答题：共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

16. 已知中，，．

（1）求的大小；

（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度．①；②周长为；③面积为；

17. 已知正方体，点为中点，直线交平面于点．

（1）证明：点为的中点；

（2）若点为棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值．

18. 为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“合1检测法”，即将个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．

（1）①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；

②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组概率为，定义随机变量X为总检测次数，求检测次数X的分布列和数学期望E(X)；

（2）若采用“5合1检测法”，检测次数Y的期望为E(Y)，试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果)．

19. 已知函数．

（1）若，求处切线方程；

（2）若函数在处取得极值，求的单调区间，以及最大值和最小值．

20. 已知椭圆过点，以四个顶点围成四边形面积为．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）过点的直线斜率为，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC交于点M、N，直线AC交于点N，若，求k的取值范围．

21. 定义数列：对实数p，满足：①，；②；③，．

（1）对于前4项2，-2，0，1的数列，可以是数列吗？说明理由；

（2）若是数列，求的值；

（3）是否存在p，使得存在数列，对？若存在，求出所有这样的p；若不存在，说明理由．

————————————————————————————————————

《初高中数学教研微信系列群》简介：

    目前有15个群（13个高中群，2个初中群），共5000多优秀、特、高级教师，省、市、区县教研员、教辅公司数学编辑、报刊杂志高中数学编辑等汇聚而成，是一个围绕高中数学教学研究展开教研活动的微信群.

    宗旨：脚踏实地、不口号、不花哨、接地气的高中数学教研！

    特别说明：

    1.本系列群只探讨高中数学教学研究、高中数学试题研究等相关话题；

    2.由于本群是集“研究—写作—发表（出版）”于一体的“桥梁”，涉及业务合作，特强调真诚交流，入群后立即群名片：

     教师格式：省+市+真实姓名，如：四川成都张三

     编辑格式：公司或者刊物（简写）+真实姓名

   欢迎各位老师邀请你身边热爱高中数学教研（不喜欢研究的谢绝）的教师好友（学生谢绝）加入，大家共同研究，共同提高！

    群主二维码：见右图

————————————————————————————————————

2021年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学

参考答案与试题解析

第一部分（选择题共40分）

一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【思路分析】结合题意利用并集的定义计算即可.

【解析】：由题意可得：，即.故选：B.

2. 在复平面内，复数满足，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【思路分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.

【解析】：由题意可得：.故选：D.

3. 已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（    ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【思路分析】利用两者之间推出关系可判断两者之间的条件关系.

【解析】：若函数在上单调递增，则在上的最大值为，

若在上的最大值为，比如，

但在为减函数，在为增函数，

故在上的最大值为推不出在上单调递增，

故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，

故选：A.

4. 某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（    ）

A.  B. 4 C.  D. 2

【思路分析】根据三视图可得如图所示的几何体（三棱锥），根据三视图中的数据可计算该几何体的表面积.

【解析】：根据三视图可得如图所示的几何体-正三棱锥，

其侧面为等腰直角三角形，底面等边三角形，

由三视图可得该正三棱锥的侧棱长为1，

故其表面积为，故选：A.

5. 双曲线过点，且离心率为，则该双曲线的标准方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

【思路分析】分析可得，再将点代入双曲线的方程，求出的值，即可得出双曲线的标准方程.

【解析】：，则，，则双曲线的方程为，

将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，

因此，双曲线的方程为.故选：A.

6. 和是两个等差数列，其中为常值，，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【思路分析】由已知条件求出的值，利用等差中项的性质可求得的值.

【解析】：由已知条件可得，则，因此，.

故选：B.

7. 函数，试判断函数的奇偶性及最大值（    ）

A. 奇函数，最大值为2 B. 偶函数，最大值为2

C. 奇函数，最大值为 D. 偶函数，最大值为

【思路分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.

【解析】：由题意，，所以该函数为偶函数，

又，

所以当时，取最大值.

故选：D.

8. 定义：24小时内降水在平地上积水厚度（）来判断降雨程度．其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（），小明用一个圆锥形容器接了24小时雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（ ）

A. 小雨 B. 中雨 C. 大雨 D. 暴雨

【思路分析】计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解.

【解析】：由题意，一个半径为的圆面内的降雨充满一个底面半径为

，高为的圆锥，

所以积水厚度，属于中雨.

故选：B.

9. 已知圆，直线，当变化时，截得圆弦长的最小值为2，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【思路分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出

【解析】：由题可得圆心为，半径为2，

则圆心到直线的距离，

则弦长为，

则当时，弦长取得最小值为，解得.故选：C.

10. 数列是递增的整数数列，且，，则的最大值为（    ）

A. 9 B. 10 C. 11 D. 12

【思路分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式即可得解.

【解析】：若要使n尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小，

不妨设数列是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为，

则，，，

所以n的最大值为11.故选：C.

二、填空题：5小题，每小题5分，共25分．

11. 展开式中常数项为__________．

【解析】：试题分析：的展开式的通项 令得常数项为.

12. 已知抛物线，焦点为，点为抛物线上的点，且，则的横坐标是_______；作轴于，则_______．

【思路分析】根据焦半径公式可求的横坐标，求出纵坐标后可求.

【解析】：因为抛物线的方程为，故且.

因为，，解得，故，

所以，故答案为：5，.

13. ，，，则_______；_______．

【思路分析】根据坐标求出，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.

【解析】：，

，，

.故答案为：0；3.

14. 若点与点关于轴对称，写出一个符合题意的___．

【思路分析】根据在单位圆上，可得关于轴对称，得出求解.

【解析】：与关于轴对称，

即关于轴对称， ，则，

当时，可取的一个值为.

故答案为：（满足即可）.

15. 已知函数，给出下列四个结论：

①若，则有两个零点；  ②，使得有一个零点；

③，使得有三个零点；  ④，使得有三个零点．

以上正确结论得序号是_______．

【思路分析】由可得出，考查直线与曲线的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.

【解析】：对于①，当时，由，可得或，①正确；

对于②，考查直线与曲线相切于点，

对函数求导得，由题意可得，解得，

所以，存，使得只有一个零点，②正确；

对于③，当直线过点时，，解得，

所以，当时，直线与曲线有两个交点，

若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点，

直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解，

因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误；

对于④，考查直线与曲线相切于点，

对函数求导得，由题意可得，解得，

所以，当时，函数有三个零点，④正确.

故答案为：①②④.

【归纳总结】已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：

（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；

（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；

（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．

三、解答题：共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

16. 已知在中，，．

（1）求的大小；

（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度．

①；②周长为；③面积为；

【思路分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解；

（2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在；

若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求；

若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求.

【解析】：（1），则由正弦定理可得，

，，，，，解得；

（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得，

与矛盾，故这样的不存在；

若选择②：由（1）可得，设的外接圆半径为，

则由正弦定理可得，，

则周长，解得，则，

由余弦定理可得边上的中线的长度为：；

若选择③：由（1）可得，即，则，解得，

则由余弦定理可得边上的中线的长度为：

.

17. 已知正方体，点为中点，直线交平面于点．

（1）证明：点为中点；

（2）若点为棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值．

【思路分析】(1)首先将平面进行扩展，然后结合所得的平面与直线的交点即可证得题中的结论；

(2)建立空间直角坐标系，利用空间直角坐标系求得相应平面的法向量，然后解方程即可求得实数的值.

【解析】：(1)如图所示，取的中点，连结，

由于为正方体，为中点，故，

从而四点共面，即平面CDE即平面，

据此可得：直线交平面于点，

当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点与点重合，

即点为中点.

(2)以点为坐标原点，方向分别为轴，轴，轴正方形，建立空间直角坐标系，

不妨设正方体的棱长为2，设，

则：，

从而：，

设平面的法向量为：，则：

，

令可得：，

设平面的法向量为：，则：

，

令可得：，

从而：，

则：，

整理可得：，故（舍去）.

【归纳总结】本题考查了立体几何中的线面关系和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.

18. 为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．

（1）①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；

②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为，定义随机变量X为总检测次数，求检测次数X的分布列和数学期望E(X)；

（2）若采用“5合1检测法”，检测次数Y的期望为E(Y)，试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果)．

【思路分析】（1）①由题设条件还原情境，即可得解；

②求出X的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列，再由期望的公式即可得解；

（2）求出两名感染者在一组的概率，进而求出，即可得解.

【解析】：（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；

所以总检测次数为20次；

②由题意，两名患者在同一组需检测20次，不在同一组需检测30次，所以可以取20，30，

，，

则的分布列:

所以；

（2）由题意，两名患者在同一组需检测25次，不在同一组需检测30次，可以取25，30，

两名感染者在同一组的概率为，不在同一组的概率为，

则.

19. 已知函数．

（1）若，求在处切线方程；

（2）若函数在处取得极值，求的单调区间，以及最大值和最小值．

【思路分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；

（2）由可求得实数的值，然后利用导数分析函数的单调性与极值，由此可得出结果.

【解析】：（1）当时，，则，，，

此时，曲线在点处的切线方程为，即；

（2）因为，则，

由题意可得，解得，

故，，列表如下：

所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.

当时，；当时，.

所以，，.

20. 已知椭圆过点，以四个顶点围成的四边形面积为．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC交y=-3于点M、N，直线AC交y=-3于点N，若|PM|+|PN|≤15，求k的取值范围．

【思路分析】（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求，从而可求椭圆的标准方程.

（2）设，求出直线的方程后可得的横坐标，从而可得，联立直线的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简，从而可求的范围，注意判别式的要求.

【解析】：（1）因为椭圆过，故，

因为四个顶点围成的四边形的面积为，故，即，

故椭圆的标准方程为：.

（2）

设，

因为直线的斜率存在，故，

故直线，令，则，同理.

直线，由可得，

故，解得或.

又，故，所以

又

故即，

综上，或.

21. 定义数列：对实数p，满足：①，；②；③，．

（1）对于前4项2，-2，0，1的数列，可以是数列吗？说明理由；

（2）若是数列，求的值；

（3）是否存在p，使得存在数列，对？若存在，求出所有这样的p；若不存在，说明理由．

【思路分析】(1)由题意考查的值即可说明数列不是数列；

(2)由题意首先确定数列的前4项，然后讨论计算即可确定的值；

(3)构造数列，易知数列是的，结合(2)中的结论求解不等式即可确定满足题意的实数的值.

【解析】：(1)由性质③结合题意可知，

矛盾，故前4项的数列，不可能是数列.

(2)性质①，

由性质③，因此或，或，

若，由性质②可知，即或，矛盾；

若，由有，矛盾.

因此只能是.

又因为或，所以或.

若，则，

不满足，舍去.

当，则前四项为:0，0，0，1，

下面用纳法证明：

当时，经验证命题成立，假设当时命题成立，

当时：

若，则，利用性质③：

，此时可得：；

否则，若，取可得：，

而由性质②可得：，与矛盾.

同理可得：

，有；

，有；

，又因为，有

即当时命题成立，证毕.

综上可得：，.

(3)令，由性质③可知：

，

由于，

因此数列为数列.

由（2）可知:

若；

，，

因此，此时，，满足题意.

【归纳总结】本题属于数列中的“新定义问题”，“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.