2022年小升初数学历年考试真题汇编专项复习 专题24《体积的等积变形》（有答案，带解析）

2022年小升初数学历年考试真题汇编专项复习

专题24《体积的等积变形》

姓名：__________ 班级：__________考号：__________

一、单选题:

1.把一个高为30cm的圆锥形容器盛满水，倒入和它等底的圆柱形容器里，水面的高度是（    ）cm。           

A. 10                                         B. 30                                         C. 60                                         D. 90

2.将一个圆柱体铝块熔铸成圆锥体，它的（      ）不变。           

A. 体积                                 B. 表面积                                 C. 底面积                                 D. 侧面积

3.一个底面直径是6cm的圆柱形容器中盛有一些水，现将一个圆锥形铁块完全浸没在水中，水面上升了x cm（水无溢出）。这个圆锥形铁块的体积是（    ）cm3.           

A. 36πx                                    B. 12πx                                    C. 9πx                                    D. 3πx

4.把一块长方体钢坯铸造成一根直径为6dm的圆柱形钢筋，钢筋的长度是（   ）dm。 

A. 7.5                                            B. 10                                            C. 15

5.如图所示是测量一颗玻璃球体积的过程：（1）将300cm3的水倒进一个容量为500cm3的杯子中；（2）将4颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；（3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出。根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积的范围为（   ）。 

A. 20cm3以上，30cm3以下                                   B. 30cm3以上，40cm3以下
C. 40cm3以上，50cm3以下                                   D. 50cm3以上，60cm3以下

二、填空题:

6.一个无盖长方体玻璃金鱼缸长是8分米，宽4分米，高6分米；制作这个金鱼缸至少要玻璃________平方分米，这个金鱼缸（玻璃厚度忽略不计）装满水约是________升，将这些水全部倒入底面积24平方分米的圆柱形容器，水面高度是________分米。   

7.如图，把一个底面周长是25.12分米、高10分米的圆柱体切拼成一个近似的长方体。这个长方体的表面积是________平方分米，体积是________立方分米。

8.用一块轻黏土正好可以捏成一个底面积是12cm2  ， 高是5cm的正方体，如果把这块轻黏土捏成底面积是6cm2的圆柱，这个圆柱的高是________ cm。   

9.把一个棱长为4厘米的正方体容器装满水，倒入一个深8厘米的圆柱体容器内，刚好倒满，这个圆柱体的底面积是________平方厘米。   

10.在一个盛满水的底面半径是20厘米的圆柱形容器里，有一个底面半径是10厘米的钢铸圆锥浸没在水中，取出圆锥后，容器内的水面下降5厘米，这个圆锥高________厘米。   

11.图中一个小球的体积是________立方厘米，一个大球的体积是________立方厘米。 

12.一个长方体容器内装满水，现在有大、中、小三个铁球。第一次把小球沉入水中；第二次把小球取出，把中球沉入水中；第三次把中球取出，把小球和大球一起沉入水中。已知每次从容器中溢出水量的情况是：第二次是第一次的3倍，第三次是第一次的2.5倍，那么大球的体积是小球的________倍。   

13.一个下面是圆柱体、上面是圆锥体的容器（如图，单位：厘米），圆柱体的高是10厘米，圆锥体的高是6厘米，容器内的液面高7厘米。当将这个容器倒过来放时，从圆锥的顶部到液面的高是________厘米。 

三、解答题:

14.一个圆锥形沙堆底面积是3.6m2  ， 高是2m，将这些沙子铺在一个长3m、高2m的长方体沙坑里，能铺多厚?   

15.学校把堆成底面直径是2米，高6米的圆锥形沙子填铺到一个长4米，宽3.14米的沙坑里，可以铺多厚？   

16.一个长方体容器，长5厘米，宽4厘米，高3厘米，装满水后将水全部倒入一个高6厘米的圆锥形的容器内刚好装满。这个圆锥形容器的底面积是多少平方厘米？ 

17.在一个高为8厘米，容积为50毫升的圆柱形容器A里面装满了水，现把长16厘米的实心圆柱B垂直放入，使B的底面与A的底面完全接触，这时一部分水从容器中溢出，当把B从A中拿出后，A中的水高度为6厘米，圆柱B的体积是多少立方厘米？   

18.一个近似圆锥的粮堆，高1.5米，底面直径是20米。   

（1）这个粮堆的体积是多少立方米? 

（2）把这堆粮食装在长20米、宽3米的火车车厢里，大约可以装几米高?（得数保留一位小数）

19.一个圆锥形沙堆，底面积是25平方米，高是1.2米。用这堆沙子去填一个长10米、宽4米的长方体沙坑，沙坑里沙子的厚度是多少厘米?   

20.一个圆锥形沙堆底面积是80平方米，高是15米，用这堆沙在5米宽的路上铺2厘米厚的路面，能铺多少米?   

21.一个底面半径是6厘米的圆柱形玻璃器皿里装有一部分水，水中浸没着一个高9厘米的圆锥体铅锤。当铅锤从水中取出后，水面下降了0.5厘米。这个圆锥体的底面积是多少平方厘米?（π取3.14）

22.快乐阅读，智慧理解。 

例：将一个长60厘米、宽45厘米、高5厘米的长方体铁块锻造成棱长为15厘米的正方体，可以做几个?

同学们，这两位同学的计算方法，哪一种更简单呢?你学会了吗？在解决下面问题时赶紧用上吧！

一个装有水的圆柱形容器的底面半径是10cm，现将一个底面半径为5cm，高为9cm的圆锥，完成浸没在水中后，水面比原来高了多少厘米?

23.有一个圆柱形无盖铁皮水桶，底面半径是2dm，高是4dm。用这个铁皮水桶装了一些水，水的高度是桶高的 。 

（1）做这个水桶需要铁皮多少平方分米?   

（2）把这些水倒入下面这个长方体玻璃鱼缸中，水面的高度是多少分米?（得数保留一位小数）   

答案解析部分

一、单选题

1.【答案】 A  

【考点】圆柱的体积（容积），圆锥的体积（容积），体积的等积变形   

【解析】【解答】解：水面的高（圆柱的高）=×10=10（cm）
故答案为：A。
【分析】分析题意可得水的体积相等，即×圆锥的底面积×圆锥的高=圆柱的底面积×圆柱的高，由于圆柱的底面积和圆锥的底面积相等，所以×圆锥的高=圆柱的高，代入数值计算即可。

2.【答案】 A  

【考点】体积的等积变形   

【解析】【解答】 将一个圆柱体铝块熔铸成圆锥体，它的形状变了，体积不变。
故答案为：A。
【分析】 物体占据空间的大小叫做体积， 将一个圆柱体铝块铸成圆锥体，只是形状发生了变化，铝块所占空间的大小没变，像这样由一种形状转化为另一种形状但体积不变的现象叫做“等积变形”，解决此类问题找出不变的量是关键。

3.【答案】 C  

【考点】体积的等积变形   

【解析】【解答】解：圆柱的底面半径：6÷2=3（厘米）
圆锥形铁块体积：π×3×3×x= 9πx（立方厘米）。
故答案为：C。

【分析】将一个圆锥形铁块完全浸没在水中，水面上升的体积就等于圆柱的体积。这个圆锥形铁块的体积=圆柱的底面积×水面上升的高度。

4.【答案】 B  

【考点】体积的等积变形   

【解析】【解答】钢坯的体积：
9.42×6×5
=56.52×5
=282.6（dm3）
6÷2=3（dm）
圆柱形钢筋的底面积：
3.14×32
=3.14×9
=28.26（dm2）
282.6÷28.26=10（dm）
故答案为：B。
【分析】根据题意可知，钢坯在铸造的过程中体积不变，先求出长方体钢坯的体积，用公式：长方体的体积=长×宽×高，然后求出圆柱形钢筋的底面积，最后用钢坯的体积÷圆柱形钢筋的底面积=钢筋的长度，据此列式解答。

5.【答案】 C  

【考点】体积的等积变形   

【解析】【解答】500–300=200（立方厘米）；200÷4=50（立方厘米）；200÷5=40（立方厘米）
故答案为：C

【分析】题意可知，将300立方厘米的水倒进一个容量为500立方厘米的杯子中，杯子上面还空200cm3，从图可知，将4颗相同的玻璃球放入水中，水接近满，说明，4个玻璃球的体积小于200立方厘米，一个玻璃球的体积小于50立方厘米，再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出，说明，5个玻璃球的体积大于200立方厘米，一个玻璃球的体积大于40立方厘米。

二、填空题

6.【答案】 176；192；8  

【考点】圆柱的体积（容积），体积的等积变形，长方体、正方体的容积   

【解析】【解答】8×4+8×6×2+4×6×2=32+96+48=176（dm2），
8×4×6=192（dm3）=192L，
192÷24=8（dm）。
故答案为：176；192；8。
【分析】求制作这个金鱼缸至少要多少玻璃 ，就是求这个无盖长方体的表面积，即：长×宽+长×高×2+宽×高×2。求这个金鱼缸能装满多少水，就是求这个长方体的容积，即：长×宽×高，算出体积后，再换算成容积单位。将水全部倒入圆柱形容器时，体积不变，高=体积÷圆柱的底面积。

7.【答案】 431.68；502.4  

【考点】长方体的表面积，长方体的体积，体积的等积变形   

【解析】【解答】25.12÷3.14÷2=4（dm），25.12÷2=12.56（dm），
（12.56×4+12.56×10+4×10）×2=215.84×2=431.68（dm2），
12.56×4×10=502.4（dm3）.
故答案为：431.68；502.4。
【分析】把一个圆柱切拼成一个近似的长方体，这个长方体的长是圆柱底面周长的一半，宽是圆柱的底面半径，高是圆柱的高，长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2，长方体的体积=长×宽×高。

8.【答案】 10  

【考点】圆锥的体积（容积），体积的等积变形   

【解析】【解答】12×5=60（cm3）,60÷6=10（cm）。
故答案为：10。

【分析】由正方体捏成圆柱体的过程中，体积不变。正方体的体积=底面积×高，圆柱的高=体积÷底面积。

9.【答案】 8  

【考点】体积的等积变形   

【解析】【解答】4×4×4÷8=64÷8=8（平方厘米）。
故答案为：8。
【分析】正方体体积=边长×边长×边长；圆柱的底面积=体积÷高。

10.【答案】 60  

【考点】圆柱的体积（容积），圆锥的体积（容积），体积的等积变形   

【解析】【解答】解：下降的水的体积：π×20×20×5=2000π（立方厘米）
圆锥的底面积：π×10×10=100π（平方厘米）
圆锥的高：2000π×3÷100π
=6000π÷100π
=60（厘米）
故答案为：60.

【分析】底面积×高=圆柱的体积，圆柱的体积是容器内的水面下降的体积，也是圆锥的体积；
π×半径的平方=圆锥的底面积；圆锥的体积×3÷圆锥的底面积=圆锥的高。

11.【答案】 30；35  

【考点】体积的等积变形   

【解析】【解答】第一次溢出水的体积：5×5×4=100（立方厘米）；
第二次溢出水的体积：5×5×8.8=220（立方厘米）；
4个小球的体积：220－100=120（立方厘米）；
1个小球的体积：120÷4=30（立方厘米）；
1个大球的体积：（100－30）÷2=35（立方厘米）
故填：30；35.

【分析】观察图可知，第一次放入2个大球1个小球，溢出水的体积是100立方厘米，又放入4个小球后，溢出水的体积是220立方厘米，因此，可以用体积差求出4个小球的体积，然后求出1个小球的体积。最后根据第一次放入2个大球1个小球后溢出水的体积求出1个大球的体积。

12.【答案】 5.5  

【考点】倍的应用，体积的等积变形   

【解析】【解答】解：假设第一次溢出水的体积是1，1+3×1+2.5-1=5.5，5.5÷1=5.5，所以大球的体积是小球的5.5倍。
故答案为：5.5。
【分析】假设第一次溢出水的体积是1，第一次把小球沉入水中，说明小球的体积是1，第二次是第一次的3倍，第二次把中球沉入水中，所以中球的体积是1+3=4，第三次是第一次的2.5倍，第三次把小球和大球沉入水中，所以大球的体积=4+2.5-1=5.5，所以大球的体积是小球的5.5倍。

13.【答案】 11  

【考点】圆柱的体积（容积），圆锥的体积（容积），体积的等积变形   

【解析】【解答】6÷3=2（厘米）
7-2=5（厘米）
5+6=11（厘米）
故答案为：11
【分析】当圆柱和圆锥的体积和底面积都相等时，圆柱的高是圆锥的高的三分之一，即，圆柱的高=圆锥的高÷3，当这个容器倒过来放时，可以根据此公式求出圆锥内的液体在原来圆柱里的高度；然后，原来液面高度-进入圆锥内的液体在圆柱中的高度=倒放后液体在圆柱内的高度；最后，倒放后液面总高度=圆锥的高+倒放后液体在圆柱内的高度。

三、解答题

14.【答案】 解：3.6×2÷3÷（3×2）
=2.4÷6
=0.4（米）
答：能铺0.4米。  

【考点】体积的等积变形   

【解析】【分析】本题属于等积变形，圆锥形沙堆体积=沙坑里沙子的体积；圆锥体积=底面积×高÷3，长方体底面积=长×宽；圆锥体积÷长方体的底面积=沙子的厚度，据此解答。

15.【答案】 解：［3.14×（2÷1）2×6÷3 ］÷（4×3.14）
=（3.14×6÷3）÷（3.14×4）
=2÷4
=0.5（米）
答：可以铺0.5米。  

【考点】体积的等积变形   

【解析】【分析】本题属于等积变形，圆锥的体积=沙坑内沙子的体积；圆锥体积=π×半径的平方×高÷3，圆锥的体积÷沙坑的底面积=沙坑可以铺的厚度。

16.【答案】 解：（5×4×3）÷（×6）
=60÷2
=30（平方厘米）
答：这个圆锥形容器的底面积是30平方厘米。  

【考点】长方体的体积，圆锥的体积（容积），体积的等积变形   

【解析】【分析】长方体的体积=长×高×宽，圆锥的体积=×圆锥的底面积×圆锥的高，本题中长方体的体积=圆锥的体积，所以圆锥的底面积=长方体的体积÷（×圆锥的高），代入数值计算即可。

17.【答案】 解： 50÷8×（8-6）×（16÷8）
=50÷8×2×2
=50×2×2÷8
=200÷8
=25（立方厘米）
答：圆柱B的体积是25立方厘米。  

【考点】圆柱的体积（容积），体积的等积变形   

【解析】【分析】圆柱容器A的底面积=水的容积÷容器A的高度，溢出水的体积=圆柱容器A的底面积×（没放圆柱B水的高度-取出圆柱B后水的高度），根据题意可得水的体积是圆柱B体积的一半即可得出答案。

18.【答案】 （1）解：3.14×（20÷2）2×1.5×
=3.14×100×1.5×
=314×1.5×
=314×0.5
=157（立方米）
答：这个粮堆的体积是157立方米。
（2）解：157÷（20×3）
=157÷60
≈2.6（米）
答：大约可以装2.6米高。  

【考点】圆锥的体积（容积），体积的等积变形   

【解析】【分析】（1）圆锥的体积=底面积×高×。
（2）根据等积变形原理，圆锥的体积÷圆柱的底面积=粮食的高度。

19.【答案】 解：25×1.2×=10（立方米）
10÷10÷4=0.25（米）=25（厘米）  

【考点】圆锥的体积（容积），体积的等积变形   

【解析】【分析】沙堆的体积=底面积×高×  ，  沙坑里沙子的厚度=沙堆的体积÷沙坑的长÷沙坑的宽，然后进行单位换算即可，即1米=100厘米。

20.【答案】 解：2cm=0.02m
80×15×÷5÷0.02
=1200×÷5÷0.02
=400÷5÷0.02
=80÷0.02
=4000（米）
答：能铺4000米。  

【考点】体积的等积变形   

【解析】【分析】1米=100厘米，V锥=Sh， 能铺多少米=V锥÷路宽÷路厚。

21.【答案】 解：3.14×62×0.5÷（×9）
=3.14×36×0.5÷3
=56.52÷3
=18.84（平方厘米）
答：这个圆锥体的底面积是18.84平方厘米。  

【考点】圆柱的体积（容积），圆锥的体积（容积），体积的等积变形   

【解析】【分析】圆柱的体积=圆柱底面积（π×半径的平方）×圆柱的高，圆锥的体积=×圆锥的底面积×圆锥的高，本题中圆锥的体积=圆柱体水位下降部分的体积。

22.【答案】 解：   =0.75（cm） 

答：水面比原来高了0.75厘米。

【考点】体积的等积变形   

【解析】【分析】第一题属于等体积变形，长方体体积÷正方体体积=可以做的个数；
第二题属于等体积变形，圆锥的体积÷圆柱的底面积=水面上升的高度；
做题时可以先约分再计算，可以使运算简便。
 

23.【答案】 （1）解：3.14×22+2×3.14×2×4=62.8(dm2)

答：做这个水桶需要铁皮62.8平方分米。

（2）解：3.14×22×4× ÷（3×6）≈2.1(dm) 

答：水面的高度是2.1分米。

【考点】正方体的体积，圆柱的侧面积、表面积，圆柱的体积（容积），体积的等积变形   

【解析】【分析】（1）需要铁皮的面积是水桶的底面积和侧面积，根据圆面积公式计算底面积，用底面周长乘高来计算侧面积；
（2）用水桶中水的体积除以玻璃鱼缸的底面积即可求出水面的高度。