2022山西大学附中高一下学期4月月考试题数学含答案

山西大学附中

2021--2022学年第二学期高一年级4月月考

数学试题

考查时间：90分钟满分：100分考查内容：平面向量、复数、立体几何初步

命题人：吴晨晨审核人：张耀军

一、选择题(本题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)

1. 设，，则在复平面内对应的点位于（）

A. 第一象限 B. 第二象限

C. 第三象限 D. 第四象限

【1题答案】

【答案】D

2. 一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一条(　　)

A. 相交 B. 异面 C. 相交或异面 D. 平行

【2题答案】

【答案】C

3. 已知，，，若，则（）

A.  B.

C.  D.

【3题答案】

【答案】D

4. 如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，，则平面ABC与平面β的交线是（　　）

A. 直线AC B. 直线AB C. 直线CD D. 直线BC

【4题答案】

【答案】C

5. 若的面积，则外接圆的半径为（）

A.  B.  C.  D.

【5题答案】

【答案】B

6. 已知向量，满足，，则（）

A.  B.  C.  D.

【6题答案】

【答案】A

7. 在中，已知，那么一定是（）

A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形

【7题答案】

【答案】B

8. 下列说法错误的是（）

A. 一个八棱柱有10个面 B. 任意面体都可以分割成个棱锥

C. 棱台侧棱的延长线必相交于一点 D. 矩形旋转一周一定形成一个圆柱

【8题答案】

【答案】D

9. 已知向量，不共线，且向量与的方向相反，则实数的值为

A. 1 B.  C. 1或 D. -1或

【9题答案】

【答案】B

10. 已知直三棱柱的各顶点都在同一球面上，且该棱柱的体积为，，，，则该球的表面积为（）

A.  B.  C.  D.

【10题答案】

【答案】C

11. 锐角中，角、、所对的边分别为、、，若、，，，且，则的面积为（）

A.  B.  C.  D.

【11题答案】

【答案】D

12. 2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图①中正三角形的边长为3，则图③中的值为（）

A.  B.  C. 6 D.

【12题答案】

【答案】C

二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）

13. 已知复数，则复数z的模为______.

【13题答案】

【答案】

14. 三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，长分别为a，b，c，则这个三棱锥的体积是________.

【14题答案】

【答案】##

15. 如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个观测点与．现测得，，，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高为______m．

【15题答案】

【答案】10

16. 在锐角中，，，则的取值范围为____________.

【16题答案】

【答案】

三、解答题（本题共4小题，每题12分，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 设为虚数单位，，复数，.

（1）若是实数，求的值；若是纯虚数，求的值；

（2）若所对应的向量与所对应的向量是平行向量，求的值.

【17题答案】

【答案】（1）；.

（2）

19. 如图，已知圆锥的底面半径为4，母线长为8，P为母线SA的中点．

（1）求圆锥的侧面积和体积；

（2）若AB为底面直径，求圆锥面上P点到B点的最短距离．

【19题答案】

【答案】（1），

（2）

21. 在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．

在中，角A，B，C的对边分别是a，b，C，S为的面积，若__________（填条件序号）

（1）求角C的大小；

（2）若边长，求的周长的最大值．

【21题答案】

【答案】（1）；（2）.

22. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．而向量正是数与形“沟通的桥梁”．在中，试解决以下问题：

（1）G是三角形的重心（三条中线的交点），过点G作一条直线分别交于点．

（i）记，请用表示；

（ii），求的最小值．

（2）已知点O是的________，且，求．

请从下面两个条件中选一个填在上述横线上，并完成解答．（注意：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）

①外心（三条垂直平分线的交点）；②垂心（三条高的交点）．

【22题答案】

【答案】（1）

（2）答案见解析

【小问1详解】

解：（i）设，由重心的坐标公式得，

且，

可得

，

.

（ii）因为，其中，所以，

则，

根据平面向量的共线定理，可得，其中，

所以，

当且仅当时，即时，等号成立，

所以的最小值为．

【小问2详解】

解：①如图所示，当O是的外心时，取的中点分别为和，

因，

可得，

，

由O是的外心，

可得，可得，即，

，可得，即，

所以，即，所以，

则，即.

若选②：如图所示，即O是的垂心

因为，

可得，

，

由O是的垂心，

则，可得，即，

，可得，即，

联立方程组，可得，即，所以，

所以，即.