人教B版 (2019)必修 第二册6.1.1 向量的概念教学设计
展开向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一,它是沟通代数、几何和三角函数的一种工具,它有着丰富的现实背景和物理背景。向量是刻画位置的重要数学工具,在诸如卫星定位、飞船设计等领域有着广泛的应用。向量也是刻画物理量——力、位移、速度、加速度、这些物理量的数学工具,它体现了数学和物理的天然联系。在本节中,学生将了解平面向量丰富的实际背景,理解平面向量的意义,能用向量的语言和方法表达和解决数学和物理中的一些问题。
本节课是一节概念课,在向量基本概念的形成过程中,需要将学生已有的旧知识作为新知识的固着点和生长点,在探究向量的几何表示时让学生经历以物理中学习力的图示,位移的表示,速度的表示为起点,归纳并确定向量的几何表示以及符号表示,而在探索向量间的特殊关系时,引导学生借助图形进行,这样不仅使研究有序,同时更锻炼学生的直观想象能力,有助于感受向量集数与形于一身的特性。通过类比学习数量的过程,让学生自然的获得新知识的探究方向,在基本概念的学习中,要让学生体验概念的生成过程。
二. 学生学情分析
学生在物理中已经学习了力、位移、速度等矢量的概念,认识到一些既有大小,又有方向的量,也能认识到生活中一些只有大小,没有方向的量,这些学习内容及生活经验为本节课奠定了一定的基础.
学生在之前也学习了实数的概念及实数的运算,也学习了直线平行等知识,这都为本节课的学习作了一定的准备.
我所任教的班级学生基础比较扎实,思维有一定的灵活性.但对于向量的学习,其研究内容和研究方法都是陌生的,学生的严谨性和深刻性仍需培养.
本节课的教学难点是:研究向量的基本方法.
教学目标设置
二、教学目标分析
根据以上分析,本节课的教学目标定位:
1)、知识目标
(1)通过对位移、速度、力等实例的分析,形成平面向量的概念;
(2)学会平面向量的表示方法,理解向量集形与数于一身的基本特征;
(3)理解零向量、单位向量、相等向量、平行向量的含义。
2)、能力目标
(1)培养用联系的观点,类比的方法研究向量;
(2)获得研究数学新问题的基本思路,学会概念思维;
3)、情感目标
(1)运用实例,激发爱国热情;
(2)使学生自然的、水到渠成的实现“概念的形成”;
(3)让学生积极参与到概念本质特征的概括活动中,享受寓教于乐。
重难点:
重点:向量概念、向量的几何表示、以及相等向量概念;
难点:让学生感受向量、平行或共线向量等概念形成过程;
四、教学策略分析
本节课的难点是平面向量的概念,共线向量的概念,向量的几何表示的生成过程,突破策略主要是:
1. 创设问题情境,让学生从初步感悟生活中既有大小,又有方向的量开始,逐步增加信息,以期达到上升到理性认识所需的信息量;
2. 学生适度模仿抽象数量概念的过程,从同类事物中抽象概括得到向量的概念;
3. 学生比较向量和数量的区别,进一步理解向量概念;
4. 类比实数的点表示,寻找向量几何表示
5.类比力的表示方法得出有向线的表示方法
6. 类比数的绝对值的几何意义,得出向量模的定义.
7.类比位移的大小和向量的模得出位移与向量的模的区别和联系
8.类比数的集合,认识向量的集合.
9. 类比直线的基本关系得出向量的基本关系.
10.让学生动起来,体会向量的形成过程.
五、教学过程设计
(1)创设情境,引入课题;(2)问题引领,逐步探究;
(3)击鼓传花,自主探究;(4)辨析概念,例题互动;
(5)归纳小结,延伸课堂;(6)引例再究,前后呼应。
教学过程
(一)创设情境,引入课题
(语音)朱老师您好,我们同学在离您(新余)660公里的大城市向您问好,您猜我们在哪个城市?
由于只知道从新余到这个城市的位移大小,不知道方向,位移不仅要求有大小,而且有方向,所以不能确定具体位置。
设计意图:设置语音节日问候,情境引入,新颖别致,此情景来源于学生生活,有效的激发了学生的学习兴趣,突出了向量的本质:方向和模,快速引入课题。
(二)问题引领,逐步探究
1、向量的相关概念:
问题1.你能列举出一些既有大小,又有方向的量?
问题2.你能列举出一些只有大小,没有方向的量?
类比数的概念,获得向量概念的定义
回顾数的起源,我们从一支笔、一棵树、一本书……中抽象出只有大小的数量“1”,类似地,我们可以对力、位移……这些既有大小,又有方向的量进行抽象,形成一种新的量,
从而引出向量,
问题3.数量、矢量、标量的定义是什么?
数学中,我们把这种既有大小,又有方向的量叫做向量,而把那些只有大小,没有方向的量称为数量、向量在物理学中常称为矢量,数量在物理学中常称为标量。
设计意图:激活学生的已有相关经验,进一步直观演示,加深印象,再追问有没有只有大小,没有方向的量的问题,通过两相对比,突显向量的两大要素。
2、向量的表示:
问题4.实数在数轴上是如何表示的
类比实数的点表示,寻找向量几何表示
数轴上的点和实数建立一一对应的关系,请同学们在数轴上画出表示实数的0,1的点,再画出表示实数的点.
问题5.实数是一个数量,数轴上表示它的点是一个点,一个点也是几何图形,那么向量呢?我们能不能也找到一种几何图形来表示平面向量呢?
类比力的表示方法得出有向线的表示方法
有两个木块浮在水面上,一个木块所受到的重力大小是,另一个木块所收到的重力的大小为,同学们试在练习纸中画出两个物体所受到的浮力,练习纸中已经给出了表示的线段长度。
问题6 我们用线段的长短表示了浮力的大小,那浮力的方向同学们又是如何表示的呢?
介绍有向线段的定义
类比力的表示方法得出有向线段的表示方法
线段我们可以用来表示,有向线段该如何用字母表示呢?以为起点,为终点的有向线段记作,或者用表示.
设计意图:
让学生通过作图,回顾物理中是如何表示力的,进而让学生进一步体会到向量的实际背景,自觉接受向量的几何表示;
字母表示是比较抽象的,通过回忆初中平面几何的学习中是如何表示一条线段、一条直线的,实数的学习中是如何表示一个实数的,让学生在已有的基础之上受到启发,得到向量的字母表示,并理解字母表示的抽象性;
通过对向量的几何表示和字母表示的探讨,让学生体会从大小和方向两个角度来思考向量的问题,体会到几何表示突出向量“形”的特征,而字母表示有利于我们进行表达,为后续学习作准备.
3、向量的模:
类比数的绝对值的几何意义,得出向量模的定义.
问题7 表示向量的方向是由指向的,那向量的大小又该如何用字母来表示呢?
在数轴上点表示实数,那点到原点的距离该如何表示呢?
拓展:
(1)与相同吗?相同吗?
(2)两个向量可以比较大小吗?(例如是否可以说)
(3)类比位移的大小和向量的模得出位移与向量的模的区别和联系。
4、特殊的向量
类比数的集合,认识向量的集合.
现在我们已经建立起了一个向量的集合,就像实数可以构成实数集一样,在实数轴上有两个特殊的实数,请问是哪两个?在向量的集合中有两个向量很特殊,一个是长度为零的向量,叫做零向量,一个是长度等于1个单位的向量,叫做单位向量。
拓展:
(1)这两个量仅从大小上刻画了向量.
(2)单位向量唯一吗?
(3)平面直角坐标系内,所有起点在原点的单位向量,它们终点的轨迹是什么图形?
设计意图:通过指导学生阅读教材,让学生重视教材,培养学生的阅读能力和自学能力,通过对例题的讨论,巩固向量的概念、向量的表示以及相等向量等概念
(三)击鼓传花,自主探究
5、向量的关系:
类比直线的基本关系得出向量的基本关系.
击鼓传花路线图如图所示
自主探究:
(1)有单位向量吗?
(2)有零向量吗?
(当起点和终点重合时,得到的向量为零向量)
(3)模相等的向量有.
(4)模相等,方向相同的向量有.
(5)模相等,方向相反的向量有.
(6)方向相同或相反的向量有.
(7)与是共线向量吗?
(8)与是平行向量吗?
从而得出:从大小方向的角度看相等向量与平行向量的定义
从方向角度看平行向量与共线的向量的定义
当起点与终点重合时,这个向量变为零向量
规定:零向量与任一向量平行.
问题8:向量与物理中的矢量有什么区别和联系?向量平行、共线与线段的平行、共线有什么区别和联系?
设计意图:和本节课开始的内容首尾呼应,让学生明确向量概念与其物理背景、几何背景的区别和联系,进一步体会向量是从实际背景中抽象出来的一个新的研究对象,抓住向量的本质特征.
拓展
平行向量:即自由向量,可自由飞翔,平面向量即在平面中自由飞翔,空中向量则在空中自由飞翔。
零向量它的方向是任意的一个即想哪个方向就哪个方向。
从点出发,最终回到点,从而得到零向量的图形解析。做人,适时把自己“归零”,就会心胸开阔,顺境时,把自己适时“归零”,可以戒骄戒躁,消除“骄娇”二气,逆境时勇于“归零”,才能重新面对自己,从头开始,积极奋斗,只有归零,才会有新的周期与辉煌。
(四)辨析概念,例题互动
例1 判断下面的说法是否正确
(1)向量的模的取值范围是. ( )
(2)若与都是单位向量,则. ( )
(3)若∥,则与的方向相同. ( )
(4)若,则. ( )
(5)若则 ( )
(6)四点不共线,若,则四边形为平行四边形。( )
例2 如图,设是正六边形的中心。
(1)向量相等吗?
(2)与向量长度相等的向量有多少个?
(3)与向量共线的向量有哪几个?
(五)归纳小结,延伸课堂
【归纳小结】教师与学生一起回顾本节课所学知识,并请学生回答下列问题
(1)这节课你学到了哪些知识?
(2)通过本节课的学习,对于研究数学新对象,你有什么体会?
向量概念
向量
特殊关系
大小
数
方向形
向量表示
几何表示
字母表示
特殊向量
零向量
数
单位向量
相等向量
数
相反向量
数
共线向量
数
(3)你觉得后续我们还将学习什么内容?
设计意图:通过设置三个问题,回顾本节课所学知识,并且用结构图来进行展示,使得知识间的逻辑关系更清晰.通过本节课的学习,学生体会研究数学新对象的基本思路.并且作为章起始课,向学生交代本章大致学习内容和学习方法,构建研究蓝图.
(六)引例再究,前后呼应
我回应学生可能在三个地方
学生的语音微信:孔雀东南飞——厦门
突出我们本节课的主题:大小和方向
由一个学生朗诵
我的向量
给你一个方向, 你就成为我的向量。
给你一个坐标系, 你就在我心空飞翔。
给你一个基底, 带着我,征途启航。
繁复的几何关系, 变成纯代数的情殇。
优美的动态结构, 没有人情冷暖世态炎凉。
不管起点在哪里, 你始终在水一方,
哪怕山高路远, 哪怕风雨苍茫。
啊,我的向量, 你是一股力量,
溶进了我的身体, 在我的血管里,
静静地流淌!
课外作业
1.(必做作业)教材P77 A组习题
2.(选做作业)平面向量既有大小,又有方向,集数与形于一身.我们也知道,平面直角坐标系中,坐标与点是一一对应的,实质上也是沟通了数与形之间的关系,那么,平面向量有没有坐标表示呢?如果有,你觉得应该怎么定义?请课后进行研究.
目标检测设计
判断下列结论是否正确.
(1) 若都是单位向量,则;
(2) 若,则是共线向量;
(3) 平行向量方向一定相同.
课外阅读
不管多少个向量相加,只要从一个起点出发,依次首尾相连,最后一个向量的终点回到了起点,其结果均为零向量!
是啊,回到起点,向量之和均关乎零,这不禁令我们想到了人生的归零智慧。
大而言之,我们每天上主管工作,家是你的起点,一天的工作不管再累,心情再烦,最后你还是要回到一天的起点—温馨的家,从而抚慰心灵,归零芜杂,迎接明天的太阳!
做人,适时把自己“归零”,就会心胸开阔。人生,难免全有成功与失败、顺境与逆境。顺境时,把自己适时“归零”,可以戒骄戒躁,消除“骄娇”二气,不把成功和顺境当“包袱”背起来;逆境时,固然会失去很多,但能够在失去时勇于“归零”,才能重新面对自己,从头开始,积极奋斗。就像春节前的大扫除,把那些没用处的东西清除掉,把有用的珍品拂拭干净,就可以窗明几净、心情舒畅地迎接新春。
其实,人生也像时钟一样,到了子夜就要“从零开始”,只有归零,才会有新的周期与辉煌。著名作家刘震云也说过:“归零心态就是把自己心灵里的一切清空,把已经拥有的一切剥除,一切归于零的心态。”实际上,无论何种境况,能适时把自己“归零”,总是海阔天空,心胸豁达。
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