2020届山西省阳泉市高三第二次模拟考试理科数学卷及答案（文字版）

2020年阳泉市高三第二次教学质量监测试题

理科数学

注意事项：

1．本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至7页．

2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题答题卡相应的位置．

3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效．

4．考试结束后，将本试题的答题卡交回．

5．试题满分150分，考试时间120分钟．

参考公式：柱体体积公式，其中为底面面积，为高

锥体体积公式，其中为底面面积，为高

球的表面积、体积公式，，其中为球的半径

第I卷

一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1.已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

2.已知为实数，若复数为纯虚数，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

3.在中，“”是“为钝角三角形”的（   ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

4.勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如图中的两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

5.执行如图所示的程序框图，输出的值为（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

6.函数的函数图象是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

7.已知，，任意点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，则向量（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

8.已知数列中，，，则（    ）

A.  B.  C.  D. 5051

【答案】D

9.已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点逆时针方向旋转角得到点．已知平面内点，点．把点绕点顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

10.已知双曲线的右支与抛物线相交于两点，记点到抛物线焦点的距离为，抛物线的准线到抛物线焦点的距离为，点到抛物线焦点的距离为，且构成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

11.如图，正方形的边长为1，，分别为边，上的动点（，不取端点），且．设，则的范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

12.过点作曲线（其中为自然对数底数）的切线，切点为，设在轴上的投影是点，过点再作曲线的切线，切点为，设在轴上的投影是点，依次下去，得到第个切点，则点的坐标是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

13.某地区为了组建援鄂抗疫医疗队，现从4名医生，5名护士中选3名医护人员组成一个团队，要求医生、护士都有，则不同的组队方案种数是__________．

【答案】

14.已知二项式的展开式中各项系数和为256，则展开式中的常数项为____. （用数字作答）

【答案】28

15.已知抛物线的方程为，其焦点为，为过焦点的抛物线的弦，过，分别作抛物线的切线，，设，相交于点．则__________．

【答案】0

16.如图，在四面体中，、分别是、的中点，、分别是和上的动点，且与相交于点．下列判断中：

①直线经过点；

②；

③、、、四点共面，且该平面把四面体的体积分为相等的两部分．

所有正确的序号为

__________．

【答案】①③

三、解答题；（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

（一）必考题

17.已知锐角的内角的对边分别为，且.

（1）求；

（2）若，，求.

【答案】(1) (2)

18.如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，、分别是、上的点，且平面．

（Ⅰ）求证：为的中点；

（Ⅱ）当与平面所成的角最大时，求二面角的余弦值．

【答案】（Ⅰ）证明见详解；（Ⅱ）

19.在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．

（1）一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格，

该传染病的潜伏期受诸多因素影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关

（2）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立．为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能（即概率最大）是多少？

附：下面的临界值表仅供参考．

（参考公式：，其中．）

【答案】（1）没有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；（2）8

20.已知椭圆：的离心率为，且椭圆上一点的坐标为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆交于，两点，且以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，求面积的最大值.

【答案】（1）；（2）

21.已知函数，为的导数．

（1）求的最值；

（2）若对恒成立，求的取值范围．

【答案】（1）最小值为，无最大值（2）

（二）选考题

请考生在第22、23二题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．

选修4-4：坐标系与参数方程

22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为，为曲线上异于极点的动点，点在射线上，且，，成等比数列.

（1）求点的轨迹的直角坐标方程；

（2）已知，是曲线上的一点且横坐标为，直线与交于，两点，试求的值.

【答案】(1);(2) .

【选修4-5：不等式选讲】

23.已知函数．

（Ⅰ）求函数的最小值；

（Ⅱ）若，证明：．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析