北京市东城区名校2021-2022学年中考数学五模试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

考生须知：

1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．等腰中，，D是AC的中点，于E，交BA的延长线于F，若，则的面积为(     )

A．40 B．46 C．48 D．50

2．下列运算正确的是（   ）

A．（a2）3 =a5 B． C．（3ab）2=6a2b2 D．a6÷a3 =a2

3．如图，在平面直角坐标系中，以A（-1，0），B（2，0），C（0，1）为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（　　）

A．（3，1） B．（-4，1） C．（1，-1） D．（-3，1）

4．如图是由三个相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是（　　）

A． B． C． D．

5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）

A． B． C． D．

6．-5的相反数是（     ）

A．5 B． C． D．

7．下列图形中，是轴对称图形的是（      ）

A． B． C． D．

8．如图，点A、B、C在⊙O上，∠OAB=25°，则∠ACB的度数是（　　）

A．135° B．115° C．65° D．50°

9．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是(　　)

A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上

B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等

C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等

D．以上均不正确

10．以坐标原点为圆心，以2个单位为半径画⊙O，下面的点中，在⊙O上的是(　　)

A．(1，1) B．(，) C．(1，3) D．(1，)

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．在实数范围内分解因式：x2y﹣2y＝_____．

12．    如图，已知,要使,还需添加一个条件，则可以添加的条件是            ．（只写一个即可，不需要添加辅助线）

13．在数轴上与表示的点距离最近的整数点所表示的数为_____．

14．关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是     ．

15．计算：6﹣=_____

16．若关于x的方程（k﹣1）x2﹣4x﹣5=0有实数根，则k的取值范围是_____．

17．数据5，6，7，4，3的方差是                    ．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）综合与探究：

如图，已知在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=90°，点 A 在 x 轴上，点 B 在 y 轴上，点在二次函数的图像上．

（1）求二次函数的表达式；

（2）求点 A，B 的坐标；

（3）把△ABC 沿 x 轴正方向平移， 当点 B 落在抛物线上时， 求△ABC 扫过区域的面积．

19．（5分）如图，在平行四边形中，的平分线与边相交于点．

（1）求证；

（2）若点与点重合，请直接写出四边形是哪种特殊的平行四边形．

20．（8分）先化简，再求值：，其中x＝－5

21．（10分）已知甲、乙两地相距90km，A，B两人沿同一公路从甲地出发到乙地，A骑摩托车，B骑电动车，图中DE，OC分别表示A，B离开甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数关系的图象，根据图象解答下列问题：

（1）请用t分别表示A、B的路程sA、sB；

（2）在A出发后几小时，两人相距15km？

22．（10分）如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．

（1）“抛物线三角形”一定是           三角形；

（2）若抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求的值；

（3）如图，△是抛物线的“抛物线三角形”，是否存在以原点为对称中心的矩形？若存在，求出过三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．

23．（12分）某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，AC和BC表示两条互相垂直的公路．甲勘测员在A处测得点O位于北偏东45°，乙勘测员在B处测得点O位于南偏西73.7°，测得AC=840m，BC=500m．请求出点O到BC的距离．参考数据：sin73.7°≈，cos73.7°≈，tan73.7°≈

24．（14分）计算：|﹣|+（π﹣2017）0﹣2sin30°+3﹣1．

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、C

【解析】

∵CE⊥BD，∴∠BEF=90°，∵∠BAC=90°，∴∠CAF=90°，

∴∠FAC=∠BAD=90°，∠ABD+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°，

∴∠ABD=∠ACF，

又∵AB＝AC，∴△ABD≌△ACF，∴AD=AF，

∵AB=AC，D为AC中点，∴AB=AC=2AD=2AF，

∵BF=AB+AF=12，∴3AF=12，∴AF=4，

∴AB=AC=2AF=8，

∴S△FBC= ×BF×AC=×12×8=48，故选C．

2、B

【解析】

分析：本题考察幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方和同底数幂的除法.

解析： ，故A选项错误； a3·a = a4故B选项正确；(3ab)2 = 9a2b2故C选项错误; a6÷a3 = a3故D选项错误.

故选B.

3、B

【解析】
作出图形，结合图形进行分析可得.

【详解】

如图所示：

①以AC为对角线，可以画出▱AFCB，F（-3，1）；

②以AB为对角线，可以画出▱ACBE，E（1，-1）；

③以BC为对角线，可以画出▱ACDB，D（3，1），

故选B.

4、C

【解析】

分析：细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可．

详解：从左边看竖直叠放2个正方形．

故选：C．

点睛：此题考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，左视图是从物体左面看所得到的图形，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项．

5、A

【解析】

分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来，选出符合条件的选项即可．

详解：

由①得，x≤1，

由②得，x>-1，

故此不等式组的解集为：-1<x≤1．

在数轴上表示为：

故选A．

点睛：本题考查的是在数轴上表示一元一此不等式组的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．

6、A

【解析】

由相反数的定义：“只有符号不同的两个数互为相反数”可知-5的相反数是5.

故选A.

7、B

【解析】

分析：根据轴对称图形的概念求解．

详解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；

B、是轴对称图形，故此选项符合题意；

C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；

D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；

故选B．

点睛：本题考查了轴对称图形，轴对称图形的判断方法：把某个图象沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个是轴对称图形．

8、B

【解析】
由OA=OB得∠OAB=∠OBA=25°，根据三角形内角和定理计算出∠AOB=130°，则根据圆周角定理得∠P= ∠AOB，然后根据圆内接四边形的性质求解．

【详解】

解:在圆上取点 P ，连接 PA 、 PB.

∵OA=OB ，

∴∠OAB=∠OBA=25° ，

∴∠AOB=180°−2×25°=130° ，

∴∠P=∠AOB=65°，

∴∠ACB=180°−∠P=115°.

故选B.

【点睛】

本题考查的是圆，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.

9、A

【解析】
过两把直尺的交点C作CF⊥BO与点F，由题意得CE⊥AO，因为是两把完全相同的长方形直尺，可得CE=CF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB

【详解】

如图所示：过两把直尺的交点C作CF⊥BO与点F，由题意得CE⊥AO，

∵两把完全相同的长方形直尺，

∴CE=CF，

∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），

故选A．

【点睛】

本题主要考查了基本作图，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上这一判定定理．

10、B

【解析】
根据点到圆心的距离和半径的数量关系即可判定点与圆的位置关系.

【详解】

A选项,(1,1)到坐标原点的距离为<2,因此点在圆内,

B选项(,) 到坐标原点的距离为=2,因此点在圆上,

C选项 (1,3) 到坐标原点的距离为>2,因此点在圆外

D选项(1，) 到坐标原点的距离为<2,因此点在圆内,

故选B.

【点睛】

本题主要考查点与圆的位置关系,解决本题的关键是要熟练掌握点与圆的位置关系.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、y（x+）（x﹣）

【解析】
先提取公因式y后，再把剩下的式子写成x2-()2，符合平方差公式的特点，可以继续分解．

【详解】

x2y-2y=y（x2-2）=y（x+）（x-）．

故答案为y（x+）（x-）．

【点睛】

本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．

12、可添∠ABD=∠CBD或AD=CD．

【解析】
由AB=BC结合图形可知这两个三角形有两组边对应相等，添加一组边利用SSS证明全等，也可以添加一对夹角相等，利用SAS证明全等，据此即可得答案.

【详解】

.可添∠ABD=∠CBD或AD=CD，

①∠ABD=∠CBD，

在△ABD和△CBD中，

∵，

∴△ABD≌△CBD（SAS）；

②AD=CD，

在△ABD和△CBD中，

∵，

∴△ABD≌△CBD（SSS），

故答案为∠ABD=∠CBD或AD=CD．

【点睛】

本题考查了三角形全等的判定，结合图形与已知条件灵活应用全等三角形的判定方法是解题的关键. 熟记全等三角形的判定方法有：SSS，SAS，ASA，AAS．

13、3

【解析】

≈3.317，且在3和4之间，∵3.317-3=0.317，4-3.317=0.683，

且0.683＞0.317，∴距离整数点3最近．

14、k＜1且k≠1

【解析】

试题分析：根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠1且△＞1，即（﹣2）2﹣4×k×1＞1，然后解不等式即可得到k的取值范围．

解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=1有两个不相等的实数根，

∴k≠1且△＞1，即（﹣2）2﹣4×k×1＞1，

解得k＜1且k≠1．

∴k的取值范围为k＜1且k≠1．

故答案为k＜1且k≠1．

考点：根的判别式；一元二次方程的定义．

15、3

【解析】
按照二次根式的运算法则进行运算即可.

【详解】

【点睛】

本题考查的知识点是二次根式的运算，解题关键是注意化简算式.

16、

【解析】

当k−1=0，即k=1时，原方程为−4x−5=0，

解得：x=−，

∴k=1符合题意；

当k−1≠0，即k≠1时，有，

解得：k⩾且k≠1.

综上可得：k的取值范围为k⩾.

故答案为k⩾.

17、1

【解析】
先求平均数，再根据方差的公式S1=[（x1-）1+（x1-）1+…+（xn-）1]计算即可．

【详解】

解：∵=（5+6+7+4+3）÷5=5，

∴数据的方差S1=×[（5-5）1+（6-5）1+（7-5）1+（4-5）1+（3-5）1]=1．

故答案为：1.

考点：方差．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、（1）；（2）；（3）．

【解析】
（1）将点代入二次函数解析式即可；

（2）过点作轴，证明即可得到即可得出点 A，B 的坐标；

（3）设点的坐标为，解方程得出四边形为平行四边形，求出AC，AB的值，通过扫过区域的面积=代入计算即可．

【详解】

解：(1)∵点在二次函数的图象上，

．

解方程，得

∴二次函数的表达式为．

 (2)如图1，过点作轴，垂足为．

．

，

．

在和中，

∵，

．

∵点的坐标为 ，

．

．

(3)如图2，把沿轴正方向平移，

当点落在抛物线上点处时，设点的坐标为．

解方程得：(舍去)或

由平移的性质知，且，

∴四边形为平行四边形，

．

扫过区域的面积== ．

【点睛】

本题考查了二次函数与几何综合问题，涉及全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质与判定，勾股定理解直角三角形，解题的关键是灵活运用二次函数的性质与几何的性质．

19、（1）见解析；(2)菱形.

【解析】
（1）根据角平分线的性质可得∠ADE=∠CDE，再由平行线的性质可得AB∥CD,易得AD=AE，从而可证得结论；

（2）若点与点重合，可证得AD=AB，根据邻边相等的平行四边形是菱形即可作出判断.

【详解】

（1）∵DE平分∠ADC，

∴∠ADE=∠CDE.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD,AB=CD,AD=BC,AB=CD.

∵∠AED=∠CDE.

∴∠ADE=∠AED.

∴AD=AE.

∴BC=AE.

∵AB=AE+EB.

∴BE+BC=CD.

(2)菱形，理由如下：

由（1）可知，AD=AE,

∵点E与B重合，

∴AD=AB.

∵四边形ABCD是平行四边形

∴平行四边形ABCD为菱形.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，菱形的性质，熟练掌握各知识是解题的关键.

20、,-

【解析】

分析：首先把括号里的式子进行通分,然后把除法运算转化成乘法运算,进行约分化简,最后代值计算.

详解：

．

当时，原式.

点睛：本题主要考查分式的混合运算,注意运算顺序,并熟练掌握同分、因式分解、约分等知识点.

21、（1）sA＝45t﹣45，sB＝20t；（2）在A出发后小时或小时，两人相距15km．

【解析】
（1）根据函数图象中的数据可以分别求得s与t的函数关系式；

（2）根据（1）中的函数解析式可以解答本题．

【详解】

解：（1）设sA与t的函数关系式为sA＝kt+b，

，得，

即sA与t的函数关系式为sA＝45t﹣45，

设sB与t的函数关系式为sB＝at，

60＝3a，得a＝20，

即sB与t的函数关系式为sB＝20t；

（2）|45t﹣45﹣20t|＝15，

解得，t1＝，t2＝，

，，

即在A出发后小时或小时，两人相距15km．

【点睛】

本题主要考查一次函数的应用，涉及到直线上点的坐标与方程，利用待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键．

22、（1）等腰（2）（3）存在，

【解析】解：（1）等腰

       （2）∵抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，

        ∴该抛物线的顶点满足．

        ∴．

       （3）存在．

        如图，作△与△关于原点中心对称，

        则四边形为平行四边形．

        当时，平行四边形为矩形．

         又∵，

        ∴△为等边三角形．

        作，垂足为．

        ∴．

        ∴．

        ∴．

        ∴，．

        ∴，．

        设过点三点的抛物线，则

             解之，得

        ∴所求抛物线的表达式为．

23、点O到BC的距离为480m．

【解析】
作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，设OM=x，根据矩形的性质用x表示出OM、MC，根据正切的定义用x表示出BM，根据题意列式计算即可．

【详解】

作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，

则四边形ONCM为矩形，

∴ON=MC，OM=NC，

设OM=x，则NC=x，AN=840﹣x，

在Rt△ANO中，∠OAN=45°，

∴ON=AN=840﹣x，则MC=ON=840﹣x，

在Rt△BOM中，BM==x，

由题意得，840﹣x+x=500，

解得，x=480，

答：点O到BC的距离为480m．

【点睛】

本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键．

24、

【解析】

分析：化简绝对值、0次幂和负指数幂，代入30°角的三角函数值，然后按照有理数的运算顺序和法则进行计算即可．

详解：原式=+1﹣2×+=．

点睛：本题考查了实数的运算，用到的知识点主要有绝对值、零指数幂和负指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟记相关法则和性质是解决此题的关键．