北京市石景山区2021-2022学年中考数学适应性模拟试题含解析

这是一份北京市石景山区2021-2022学年中考数学适应性模拟试题含解析，共20页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，如图所示的几何体的俯视图是，下列运算正确的是等内容，欢迎下载使用。

1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．如图，是由几个大小相同的小立方块所搭几何体的俯视图，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
A．B．C．D．
2．某同学将自己7次体育测试成绩（单位：分）绘制成折线统计图，则该同学7次测试成绩的众数和中位数分别是（ ）
A．50和48B．50和47C．48和48D．48和43
3．点A（m﹣4，1﹣2m）在第四象限，则m的取值范围是 （ ）
A．m＞B．m＞4
C．m＜4D．＜m＜4
4．如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
5．某学校举行一场知识竞赛活动，竞赛共有4小题，每小题5分，答对给5分，答错或不答给0分，在该学校随机抽取若干同学参加比赛，成绩被制成不完整的统计表如下．
根据表中已有的信息，下列结论正确的是（ ）
A．共有40名同学参加知识竞赛
B．抽到的同学参加知识竞赛的平均成绩为10分
C．已知该校共有800名学生，若都参加竞赛，得0分的估计有100人
D．抽到同学参加知识竞赛成绩的中位数为15分
6．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，且，，则正方形的面积是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，任意转动正六边形转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向大于3的数的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（ ）
A．30°B．25°
C．20°D．15°
9．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣3，2），则该圆弧所在圆心坐标是（ ）
A．（0，0）B．（﹣2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（0，﹣1）
10．下列运算正确的是（ ）
A．a•a2＝a2B．（ab）2＝abC．3﹣1＝D．
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11．如图，已知AE∥BD，∠1=130°，∠2=28°，则∠C的度数为____．
12．如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为位似中心在y轴的左侧将△OAB缩小得到△OA′B′，若△OAB与△OA′B′的相似比为2：1，则点B（3，﹣2）的对应点B′的坐标为_____．
13．阅读下面材料：
数学活动课上，老师出了一道作图问题：“如图，已知直线l和直线l外一点P.用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q．”
小艾的作法如下：
（1）在直线l上任取点A，以A为圆心，AP长为半径画弧．
（2）在直线l上任取点B，以B为圆心，BP长为半径画弧．
（3）两弧分别交于点P和点M
（4）连接PM，与直线l交于点Q，直线PQ即为所求．
老师表扬了小艾的作法是对的．
请回答：小艾这样作图的依据是_____．
14．某校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组，参加区青少年科技创新大赛，表格反映的是各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差S2，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是_____．
15．在四张背面完全相同的卡片上分别印有等腰三角形、平行四边形、菱形和圆的图案，现将印有图案的一面朝下，混合后从中随机抽取两张，则抽到卡片上印有图案都是轴对称图形的概率为_____．
16．如图，在▱ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是 ▲ （结果保留π）．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，F为AB上一点，AF＝2，点E从点A出发，沿AC方向以2cm/s的速度匀速运动，同时点D由点B出发，沿BA方向以lcm/s的速度运动，设运动时间为t（s）（0＜t＜5），连D交CF于点G．若CG＝2FG，则t的值为_____．
三、解答题（共7小题，满分69分）
18．（10分）列方程或方程组解应用题：
为响应市政府“绿色出行”的号召，小张上班由自驾车改为骑公共自行车．已知小张家距上班地点10千米．他用骑公共自行车的方式平均每小时行驶的路程比他用自驾车的方式平均每小时行驶的路程少45千米，他从家出发到上班地点，骑公共自行车方式所用的时间是自驾车方式所用的时间的4倍．小张用骑公共自行车方式上班平均每小时行驶多少千米？
19．（5分）如图，分别延长▱ABCD的边到，使，连接EF，分别交于，连结求证：．
20．（8分）如图是根据对某区初中三个年级学生课外阅读的“漫画丛书”、“科普常识”、“名人传记”、“其它”中，最喜欢阅读的一种读物进行随机抽样调查，并绘制了下面不完整的条形统计图和扇形统计图（每人必选一种读物，并且只能选一种），根据提供的信息，解答下列问题：
（1）求该区抽样调查人数；
（2）补全条形统计图，并求出最喜欢“其它”读物的人数在扇形统计图中所占的圆心角度数；
（3）若该区有初中生14400人，估计该区有初中生最喜欢读“名人传记”的学生是多少人？
21．（10分）如图，某中学数学课外学习小组想测量教学楼的高度，组员小方在处仰望教学楼顶端处，测得，小方接着向教学楼方向前进到处，测得，已知，，.
（1）求教学楼的高度；
（2）求的值.
22．（10分）先化简，再求值：a（a﹣3b）+（a+b）2﹣a（a﹣b），其中a=1，b=﹣
23．（12分）已知：如图，在Rt△ABO中，∠B=90°，∠OAB=10°，OA=1．以点O为原点，斜边OA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，以点P（4，0）为圆心，PA长为半径画圆，⊙P与x轴的另一交点为N，点M在⊙P上，且满足∠MPN=60°．⊙P以每秒1个单位长度的速度沿x轴向左运动，设运动时间为ts，解答下列问题：
（发现）（1）的长度为多少；
（2）当t=2s时，求扇形MPN（阴影部分）与Rt△ABO重叠部分的面积．
（探究）当⊙P和△ABO的边所在的直线相切时，求点P的坐标．
（拓展）当与Rt△ABO的边有两个交点时，请你直接写出t的取值范围．
24．（14分）在△ABC中，∠ACB＝45°．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
（1）如果AB＝AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论．
（2）如果AB≠AC，如图②，且点D在线段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什么？
（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC＝4，BC＝3，CD＝x，求线段CP的长．（用含x的式子表示）
参考答案
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1、C
【解析】
由俯视图知该几何体共2列，其中第1列前一排1个正方形、后1排2个正方形，第2列只有前排2个正方形，据此可得．
【详解】
由俯视图知该几何体共2列，其中第1列前一排1个正方形、后1排2个正方形，第2列只有前排2个正方形，
所以其主视图为：

故选C．
【点睛】
考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
2、A
【解析】
由折线统计图，可得该同学7次体育测试成绩，进而求出众数和中位数即可.
【详解】
由折线统计图，得：42，43，47，48，49，50，50，
7次测试成绩的众数为50，中位数为48，
故选：A．
【点睛】
本题考查了众数和中位数，解题的关键是利用折线统计图获取有效的信息.
3、B
【解析】
根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数列出不等式组，然后求解即可．
【详解】
解：∵点A（m-1，1-2m）在第四象限，
∴
解不等式①得，m＞1，
解不等式②得，m＞
所以，不等式组的解集是m＞1，
即m的取值范围是m＞1．
故选B．
【点睛】
本题考查各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
4、B
【解析】
根据俯视图是从上往下看得到的图形解答即可.
【详解】
从上往下看得到的图形是：
故选B.
【点睛】
本题考查三视图的知识，解决此类图的关键是由三视图得到相应的立体图形.从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，被遮挡的线画虚线
5、B
【解析】
根据频数÷频率=总数可求出参加人数，根据分别求出5分、15分、0分的人数，即可求出平均分，根据0分的频率即可求出800人中0分的人数，根据中位数的定义求出中位数，对选项进行判断即可.
【详解】
∵5÷0.1=50（名），有50名同学参加知识竞赛，故选项A错误；
∵成绩5分、15分、0分的同学分别有：50×0.2=10（名），50×0.4=20（名），50﹣10﹣5﹣20﹣5=10（名）
∴抽到的同学参加知识竞赛的平均成绩为：=10，故选项B正确；
∵0分同学10人，其频率为0.2，
∴800名学生，得0分的估计有800×0.2=160（人），故选项C错误；
∵第25、26名同学的成绩为10分、15分，
∴抽到同学参加知识竞赛成绩的中位数为12.5分，故选项D错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查利用频率估算概率，平均数及中位数的定义，熟练掌握相关知识是解题关键.
6、D
【解析】
作BE⊥OA于点E.则AE=2-(-3)=5，△AOD≌△BEA（AAS）,
∴OD=AE=5，
,
∴正方形的面积是: ,故选D.
7、D
【解析】
分析：根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
详解：∵共6个数，大于3的有3个，
∴P（大于3）=.
故选D．
点睛：本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
8、B
【解析】
根据题意可知∠1+∠2+45°=90°，∴∠2=90°﹣∠1﹣45°=25°，
9、C
【解析】
如图：分别作AC与AB的垂直平分线，相交于点O，
则点O即是该圆弧所在圆的圆心．
∵点A的坐标为（﹣3，2），
∴点O的坐标为（﹣2，﹣1）．
故选C．
10、C
【解析】
根据同底数幂的乘法法则对A进行判断；根据积的乘方对B进行判断；根据负整数指数幂的意义对C进行判断；根据二次根式的加减法对D进行判断．
【详解】
解：A、原式＝a3，所以A选项错误；
B、原式＝a2b2，所以B选项错误；
C、原式＝，所以C选项正确；
D、原式＝2，所以D选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次根式的加减法：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．也考查了整式的运算．
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11、22°
【解析】
由AE∥BD，根据平行线的性质求得∠CBD的度数，再由对顶角相等求得∠CDB的度数，继而利用三角形的内角和等于180°求得∠C的度数．
【详解】
解：∵AE∥BD，∠1=130°，∠2=28°，
∴∠CBD=∠1=130°，∠CDB=∠2=28°，
∴∠C=180°﹣∠CBD﹣∠CDB=180°﹣130°﹣28°=22°．
故答案为22°
【点睛】
本题考查了平行线的性质，对顶角相等及三角形内角和定理．熟练运用相关知识是解决问题的关键．
12、（-，1）
【解析】
根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k进行解答．
【详解】
解：∵以原点O为位似中心，相似比为：2：1，将△OAB缩小为△OA′B′，点B（3，−2）
则点B（3，−2）的对应点B′的坐标为：（-，1），
故答案为（-，1）．
【点睛】
本题考查了位似变换：位似图形与坐标，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
13、到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上或两点确定一条直线或sss或全等三角形对应角相等或等腰三角形的三线合一
【解析】
从作图方法以及作图结果入手考虑其作图依据..
【详解】
解：依题意，AP＝AM，BP＝BM，根据垂直平分线的定义可知PM⊥直线l.因此易知小艾的作图依据是到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上;两点确定一条直线.故答案为到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上;两点确定一条直线.
【点睛】
本题主要考查尺规作图，掌握尺规作图的常用方法是解题关键.
14、丙
【解析】
先比较平均数得到乙组和丙组成绩较好，然后比较方差得到丙组的状态稳定，于是可决定选丙组去参赛．
【详解】
因为乙组、丙组的平均数比甲组、丁组大，而丙组的方差比乙组的小，
所以丙组的成绩比较稳定，
所以丙组的成绩较好且状态稳定，应选的组是丙组．
故答案为丙．
【点睛】
本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数的意义．
15、
【解析】
用字母A、B、C、D分别表示等腰三角形、平行四边形、菱形和圆，画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽到卡片上印有图案都是轴对称图形的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】
解：用字母A、B、C、D分别表示等腰三角形、平行四边形、菱形和圆，
画树状图：
共有12种等可能的结果数，其中抽到卡片上印有图案都是轴对称图形的结果数为6，
所以抽到卡片上印有图案都是轴对称图形的概率．
故答案为．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．也考查了轴对称图形．
16、
【解析】
过D点作DF⊥AB于点F．
∵AD=1，AB=4，∠A=30°，
∴DF=AD•sin30°=1，EB=AB﹣AE=1．
∴阴影部分的面积=平行四边形ABCD的面积－扇形ADE面积－三角形CBE的面积
=.
故答案为：.
17、1
【解析】
过点C作CH∥AB交DE的延长线于点H，则，证明，可求出CH，再证明，由比例线段可求出t的值．
【详解】
如下图，过点C作CH∥AB交DE的延长线于点H，
则，
∵DF∥CH，
∴，
∴，
∴，
同理，
∴，
∴，解得t＝1，t＝（舍去），
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查了三角形中的动点问题，熟练掌握三角形相似的相关方法是解决本题的关键.
三、解答题（共7小题，满分69分）
18、15千米．
【解析】
首先设小张用骑公共自行车方式上班平均每小时行驶x千米，根据题意可得等量关系：骑公共自行车方式所用的时间=自驾车方式所用的时间×4，根据等量关系，列出方程，再解即可．
【详解】
：解：设小张用骑公共自行车方式上班平均每小时行驶x千米，根据题意列方程得：
=4×
解得：x=15，经检验x=15是原方程的解且符合实际意义．
答：小张用骑公共自行车方式上班平均每小时行驶15千米．
19、证明见解析
【解析】
分析：根据平行四边形的性质以及已知的条件得出△EGD和△FHB全等，从而得出DG=BH，从而说明AG和CH平行且相等，得出四边形AHCG为平行四边形，从而得出答案．
详解：证明：在▱ABCD中，，
，又 ，≌，
，，又，
四边形AGCH为平行四边形， ．
点睛：本题主要考查的是平行四边形的性质以及判定定理，属于基础题型．解决这个问题的关键就是根据平行四边形的性质得出四边形AHCG为平行四边形．
20、（1）该区抽样调查的人数是2400人；（2）见解析，最喜欢“其它”读物的人数在扇形统计图中所占的圆心角是度数21.6°；（3）估计最喜欢读“名人传记”的学生是4896人
【解析】
（1）由“科普知识”人数及其百分比可得总人数；
（2）总人数乘以“漫画丛书”的人数求得其人数即可补全图形，用360°乘以“其他”人数所占比例可得；
（3）总人数乘以“名人传记”的百分比可得．
【详解】
（1）840÷35%=2400（人），
∴该区抽样调查的人数是2400人；
（2）2400×25%=600（人），
∴该区抽样调查最喜欢“漫画丛书”的人数是600人，
补全图形如下：
×360°=21.6°，
∴最喜欢“其它”读物的人数在扇形统计图中所占的圆心角是度数21.6°；
（3）从样本估计总体：14400×34%=4896（人），
答：估计最喜欢读“名人传记”的学生是4896人．
【点睛】
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图能够清楚地表示各部分所占的百分比．
21、（1）12m；（2）
【解析】
（1）利用即可求解；
（2）通过三角形外角的性质得出，则，设，则，在 中利用勾股定理即可求出BC,BD的长度，最后利用即可求解．
【详解】
解：（1）在中，，
答：教学楼的高度为；
（2）
设，则，
故，
解得：，
则
故．
【点睛】
本题主要考查解直角三角形，掌握勾股定理及正切，余弦的定义是解题的关键．
22、
【解析】
原式去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值；
【详解】
解：原式=a2﹣3ab+a2+2ab+b2﹣a2+ab
=a2+b2，
当a=1、b=﹣时，
原式=12+（﹣）2
=1+
=．
【点睛】
考查了整式的加减-化简求值，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23、【发现】（3）的长度为；（2）重叠部分的面积为；【探究】：点P的坐标为；或或；【拓展】t的取值范围是或，理由见解析．
【解析】
发现：（3）先确定出扇形半径，进而用弧长公式即可得出结论；
（2）先求出PA=3，进而求出PQ，即可用面积公式得出结论；
探究：分圆和直线AB和直线OB相切，利用三角函数即可得出结论；
拓展：先找出和直角三角形的两边有两个交点时的分界点，即可得出结论．
【详解】
[发现]
（3）∵P（2，0），∴OP=2．
∵OA=3，∴AP=3，∴的长度为．
故答案为；
（2）设⊙P半径为r，则有r=2﹣3=3，当t=2时，如图3，点N与点A重合，∴PA=r=3，设MP与AB相交于点Q．在Rt△ABO中，∵∠OAB=30°，∠MPN=60°．
∵∠PQA=90°，∴PQPA，∴AQ=AP×cs30°，∴S重叠部分=S△APQPQ×AQ．
即重叠部分的面积为．
[探究]
①如图2，当⊙P与直线AB相切于点C时，连接PC，则有PC⊥AB，PC=r=3．
∵∠OAB=30°，∴AP=2，∴OP=OA﹣AP=3﹣2=3；
∴点P的坐标为（3，0）；

②如图3，当⊙P与直线OB相切于点D时，连接PD，则有PD⊥OB，PD=r=3，∴PD∥AB，∴∠OPD=∠OAB=30°，∴cs∠OPD，∴OP，∴点P的坐标为（，0）；
③如图2，当⊙P与直线OB相切于点E时，连接PE，则有PE⊥OB，同②可得：OP；
∴点P的坐标为（，0）；

[拓展]
t的取值范围是2＜t≤3，2≤t＜4，理由：
如图4，当点N运动到与点A重合时，与Rt△ABO的边有一个公共点，此时t=2；
当t＞2，直到⊙P运动到与AB相切时，由探究①得：OP=3，∴t3，与Rt△ABO的边有两个公共点，∴2＜t≤3．
如图6，当⊙P运动到PM与OB重合时，与Rt△ABO的边有两个公共点，此时t=2；
直到⊙P运动到点N与点O重合时，与Rt△ABO的边有一个公共点，此时t=4；
∴2≤t＜4，即：t的取值范围是2＜t≤3，2≤t＜4．
【点睛】
本题是圆的综合题，主要考查了弧长公式，切线的性质，锐角三角函数，三角形面积公式，作出图形是解答本题的关键．
24、（1）CF与BD位置关系是垂直,理由见解析；（2）AB≠AC时，CF⊥BD的结论成立，理由见解析；（3）见解析
【解析】
（1）由∠ACB=15°，AB=AC，得∠ABD=∠ACB=15°；可得∠BAC=90°，由正方形ADEF，可得∠DAF=90°，AD=AF，∠DAF=∠DAC+∠CAF；∠BAC=∠BAD+∠DAC；得∠CAF=∠BAD．可证△DAB≌△FAC（SAS），得∠ACF=∠ABD=15°，得∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD．
（2）过点A作AG⊥AC交BC于点G，可得出AC=AG，易证：△GAD≌△CAF，所以∠ACF=∠AGD=15°，∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD．
（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC=1 ，BC=3，CD=x，求线段CP的长．考虑点D的位置，分两种情况去解答．①点D在线段BC上运动，已知∠BCA=15°，可求出AQ=CQ=1．即DQ=1-x，易证△AQD∽△DCP，再根据相似三角形的性质求解问题．②点D在线段BC延长线上运动时，由∠BCA=15°，可求出AQ=CQ=1，则DQ=1+x．过A作AQ⊥BC交CB延长线于点Q，则△AGD∽△ACF，得CF⊥BD，由△AQD∽△DCP，得再根据相似三角形的性质求解问题．
【详解】
（1）CF与BD位置关系是垂直；
证明如下：
∵AB=AC，∠ACB=15°，
∴∠ABC=15°．
由正方形ADEF得AD=AF，
∵∠DAF=∠BAC=90°，
∴∠DAB=∠FAC，
∴△DAB≌△FAC（SAS），
∴∠ACF=∠ABD．
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．
即CF⊥BD．
（2）AB≠AC时，CF⊥BD的结论成立．
理由是：
过点A作GA⊥AC交BC于点G，
∵∠ACB=15°，
∴∠AGD=15°，
∴AC=AG，
同理可证：△GAD≌△CAF
∴∠ACF=∠AGD=15°，∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，
即CF⊥BD．
（3）过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，
①点D在线段BC上运动时，
∵∠BCA=15°，可求出AQ=CQ=1．
∴DQ=1﹣x，△AQD∽△DCP，
∴，
∴，
∴．
②点D在线段BC延长线上运动时，
∵∠BCA=15°，
∴AQ=CQ=1，
∴DQ=1+x．
过A作AQ⊥BC，
∴∠Q=∠FAD=90°，
∵∠C′AF=∠C′CD=90°，∠AC′F=∠CC′D，
∴∠ADQ=∠AFC′，
则△AQD∽△AC′F．
∴CF⊥BD，
∴△AQD∽△DCP，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
综合性题型，解题关键是灵活运用所学全等、相似、正方形等知识点.
成绩
人数（频数）
百分比（频率）
0
5
0.2
10
5
15
0.4
20
5
0.1
甲
乙
丙
丁

7
8
8
7
s2
1
1.2
0.9
1.8